Задание 2. Решение задач на нахождение производных и дифференциалов с использованием правил и формул дифференцирования – 1 ч.

Цель: формирование умения находить производные и дифференциалы функций, используя правила и формулы дифференцирования.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

&2.1.Выучите определение производной функции в точке. Изучите таблицу «Формулы дифференцирования». Запомните правила дифференцирования функций.

&2.2. Прочитайте о нахождении производной функции в точке.

? 2.3. Найдите производную функции в указанной точке:

а) , ;

б) , .

&2.4. Выучите определение и формулу дифференциала функции.

? 2.5. Найдите дифференциал функции:

а) ;

б) .

! 2.6. Найдите нули производной исходной функции: .

Методические указания по выполнению работы:

Необходимый теоретический материал:

или .
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

 

Производная функции есть некоторая функция , производная из данной функции. Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой на этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для нахождения производных основных элементарных функций будем использовать следующую таблицу: «Формулы дифференцирования».

Формулы дифференцирования:

  1. c' = 0
  2. x' = 1
  3. (xn)' = п·xn-1
  1. (sin x)' = cos x
  2. (cos x)' = -sin x
  3. (tg x)' =
  4. (ctg x)' = -
  		1. (ex)' = ex 2. (ax)' = ax lna 3. (ln x)' = 4. (logax)' =
  1. (arcsin x)' =
  2. (arccos x)' =
  3. (arctgx)' =
  4. (arcctgx)' =

Нахождениепроизводной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. Мы будем использовать ряд правил, называемых правилами дифференцирования.

Пусть u(х) и v(х) – дифференцируемые функции, с – константа. Тогда справедливы правила:

1. (cu)' = c u'

  1. (u ± v)' = u' ±v'
  2. (u∙v)' = u'v + v'u

Пример 1. Найдите производную функции .

Решение: Для вычисления производной воспользуемся правилом (u ± v)' = u' ±v':

.

Постоянный множитель можно вынести за знак производной по правилу: (cu)' = c u'.

Следовательно, .

Обратимся к формулам производных:

= .

Ответ: .

Пример 2. Найдите производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом (u·v)' = u'v + v'u:

= = .

Ответ: .

Пример 2.Найдите производную функции в точке

Решение. Воспользуемся правилом :

= =

= .

Для нахождения производной функции в точке в полученное выражение вместо аргумента подставим указанную точку.

Ответ: .

Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ): . Поскольку дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: , дифференциал функцииравен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

Пример 4. Найдите дифференциал функции .

Решение. По формуле :

.

Ответ: .

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010 .-Глава 7, §2, стр. 94-95; §3, стр. 95-98.

2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 33, стр. 205-210; § 36, стр.215-217; § 44, стр.240-245.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §4, стр. 208– 228; §6, стр. 245– 247.