Плоскость

Проецирование плоских углов

 

В общем случае плоский угол ни на одну из плоскостей проекций не будет проецироваться без искажения.

Любой плоский угол проецируется в натуральную величину, если обе его стороны параллельны какой-либо плоскости проекций (АВС угол лежит в плоскости, параллельной плоскости проекций) (рис.23). Одно из инвариантных свойств ортогонального проецирования утверждает, что прямой угол проецируется в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Имеется несколько способов доказательства данного положения. Возьмем, пожалуй, самый простой. Прямой угол АВС расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости H, тогда угол abc – прямой. Возьмем на перпендикуляре Aa любую точку D и соединим ее с точкой В. Угол DBC = 90⁰ , т.к. ВС перпендикулярен плоскости ABba. Проекции углов АВС и DBC совпадают, т.к. точки А и D находятся на одном перпендикуляре к плоскости H, т.о. < abc = < dbc = 90⁰.

Комплексный чертеж угла, одна из сторон которого ( АВ параллельна горизонтальной плоскости проекций) дан на рисунке 23.

 

Способы задания плоскостей

 

Плоскостью является простейшая поверхность. Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками А, В, С, не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на эпюре Монжа (комплексном чертеже), (рис. 24 ) достаточно указать проекции:

1) трех различных, не принадлежащих одной прямой точек (рис. 24 а ),

2) прямой и не принадлежащей ей точки (рис. 24 б ),

3) двух параллельнымых прямых (рис. 24 в),

4) двух пересекающихся прямых (рис. 24 г),

5) проекциями любой плоской фигуры ( рис. 24 д).

Все эти способы задания плоскости равноценны. Нетрудно, имея одну комбинацию элементов перейти к любой другой.

Например, проведя через точки А и В прямую, получим задание плоскости прямой и точкой. От него можно перейти к двум последующим или к последнему – быть заданной на чертеже любой плоской фигурой( треугольником, четырехугольником, кругом и т. д.).

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта

а б в

Рис.24

г д

Рис. 25 Рис. 26

пересекает плоскость проекций.

Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами. На рисунке 25 показана плоскость Q. Прямые, по которым плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами плоскости:

Q_H – горизонтальный след плоскости Q,

Q_V - фронтальный след плоскости Q,

Q _W – профильный след плоскости Q.

Точки пересечения плоскости с осями проекций (Q_x , Q_y ,Q_z ) называются точками схода следов.

Чтобы построить след плоскости, необходимо построить одноименные следы двух прямых, лежащих в этой плоскости (рис 26).

Сопоставляя между собой наглядное изображение ( рис.25) и его плоскостную модель – эпюр Монжа (рис. 26), мы видим, что задание плоскости следами обладает преимуществом перед другими вариантами. Ее изображение на эпюре:

во-первых, сохраняет наглядность изображения, что позволяет легко представить положение плоскости в пространстве;

во-вторых – при задании плоскости следами требуется указать только две прямые вместо четырех (рис. 24 в , 24г ), или шести (рис. 24д ).

Показанная на рисунке 25 и 26 плоскость Q, занимает общее (произвольное) положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций – произвольные, но отличные от 0 и 90⁰). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На рис 26 видно, что на эпюре Монжа следы плоскости общего положения составляют с осью проекции также произвольные углы. Угол между следами плоскости на эпюре не равен углу, образованному ими в пространстве. Действительно, в точке схода следов находится вершина трехгранного угла, две грани которого совпадают с плоскостями проекций. Сумма двух плоских углов данного трехгранного угла больше третьего плоского угла.