МОДУЛЬ 7. АНАЛИЗ ТОЧЕЧНЫХ ДИАГРАММ

Анализ точечных диаграмм результатов многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений) является сравнительно простым и достаточно эффективным средством выявления и оценки погрешностей. Он позволяет выявлять и оценивать переменные систематические и случайные составляющие погрешности измерений и отбраковывать результаты с явно выраженными грубыми погрешностями.

Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения (наблюдение при измерении) X – номер измерения n». При построении диаграммы из технических соображений по оси ординат обычно предпочитают откладывать не сами результаты измерений, а их отклонения от некоторого условного значения. Масштаб желательно выбрать таким, чтобы размах R результатов измерений на диаграмме можно было оценить двумя значащими цифрами.

Идеальная точечная диаграмма серии измерений должна представлять собой ряд точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величины Q (рисунок 7.1).

 

 

Постоянная систематическая погрешность вызывает только эквидистантное смещение экспериментальной тенденции относительно идеальной, а характер тенденции при этом не меняется. Поэтому делать какие-либо выводы о постоянной составляющей погрешности в серии измерений по точечной диаграмме нельзя. Можно только высказать предположение о наличии такой погрешности на основании постулата об обязательном присутствии в погрешности измерения систематической составляющей, которая в лучшем случае будет пренебрежимо мала по сравнению со случайной составляющей.

Тенденция изменения результатов измерений в серии может быть вызвана только наличием систематической переменной погрешности определенного вида, следовательно, при наличии точечной диаграммы появляется возможность качественного описания такой погрешности, которое может быть дополнено некоторыми количественными (числовыми) оценками. Наличие значимых случайных составляющих погрешности в каждом из наблюдений затрудняет анализ диаграммы, однако достаточно продолжительные серии, как правило, позволяют выявить тенденции, если они имеют место.

Тенденции изменения результатов в сериях измерений, проявляющиеся на точечных диаграммах, представлены на рисунке 7.2 (7.2а – наклон, 7.2б – мода, 7.2в – гармонические изменения аппроксимирующей линии).

Наличие закономерностей изменения результатов свидетельствуют о присутствии в серии переменных систематических погрешностей. Характер таких погрешностей в первом приближении можно оценить по виду наблюдаемой тенденции изменения результатов (монотонно возрастающие или убывающие, переменные с одним или несколькими экстремумами…), для оформления которой используют аппроксимирующие линии. Аппроксимацию, как правило, осуществляют простейшими линиями: прямой, участком дуги окружности или параболы, для периодических изменений – чаще всего синусоидой (косинусоидой).

 

 

 

 

Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Если отклонения результатов от аппроксимирующей линии полагают случайными, их оценивают предельными (максимальным) значениями – либо одним (максимальным по модулю), либо двумя (максимальными верхним и нижним с учетом знака). Значения отклонений определяют в направлении оси ординат точечной диаграммы с учетом масштаба. Сумма модулей двух максимальных отклонений (верхнего и нижнего) составляет размах случайных отклонений, который чаще всего используют для ориентировочной оценки случайной составляющей погрешности измерения. Более представительной оценкой принято считать среднее квадратическое значение отклонений, которое рассчитывают с использованием статистической обработки всех значений отклонений в серии.

Следует помнить, что точечная диаграмма не является графиком результатов измерений, поскольку по оси абсцисс не откладывают аргумент какой-либо функции. Любая тенденция изменения результатов свидетельствует только об изменении во времени аргументов, вызывающих переменные систематические погрешности измерений, причем сам аргумент по точечной диаграмме выявить невозможно. Проведение аппроксимирующей линии и оценка тенденции и отклонений от нее осуществляются на основе предположения (допущения) о равномерном изменении аргумента от измерения к измерению, что приводит к закономерному изменению результатов. Такое допущение накладывает определенные ограничения на методику проведения серии многократных измерений одной и той же физической величины. Обязательными условиями являются неизменность самой измеряемой физической величины и методики выполнения ее измерений. Наблюдения следует проводить через примерно одинаковые промежутки времени без перерывов для сохранения постоянства условий в широком смысле, включая не только поддержание влияющих величин в нормальной или рабочей области значений, но и психофизиологическое состояние оператора. Серию не следует продолжать до явного утомления оператора, а его замена может привести к фактическому получению второй серии.

Многократные измерения одной и той же физической величины с использованием одной методики выполнения измерений позволяют численно оценить сходимость измерений внутри серии. Высокая сходимость результатов отражается на диаграмме отсутствием тенденций изменения результатов и малыми случайными отклонениями от аппроксимирующей линии.

В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии, включающей систематическую и случайную составляющие, может быть использован размах результатов многократных измерений (рисунок 7.3)

R′ = X_max – X_min.

Чтобы получить геометрическое представление размаха R′ результатов измерений в серии, следует провести две прямые, параллельные оси абсцисс, через самую верхнюю и самую нижнюю точки точечной диаграмме.

Размах R' включает в себя как рассеяние результатов из-за случайной составляющей погрешности измерений, так и переменную систематическую составляющую погрешности (при ее наличии), вызывающую закономерное изменение результатов во времени. Для того чтобы можно было отдельно рассматривать влияние на измерения детерминированных и стохастических воздействий, из результатов измерений исключают систематические составляющие погрешностей. Такую операцию называют «исправлением результатов измерений», а результаты измерений после исключения из них систематических погрешностей считают «исправленными». В соответствии со сказанным, следует различать размахи «неисправленных» R' и «исправленных» R результатов измерений.

 

 

При выполнении нескольких серий многократных измерений одной и той же физической величины с использованием разных методик выполнения измерений весьма эффективно их сопоставление с помощью точечных диаграмм, построенных в одном масштабе. Анализ каждой из серий измерений включает оценку отдельно по каждой серии тенденций изменения результатов измерений и оценки размахов Ri.

Сравнительный анализ результатов нескольких серий измерений одной и той же физической величины позволяет оценить воспроизводимость измерений. Характеристиками воспроизводимости измерений в двух сериях могут быть значения размахов и расхождение средних значений при практическом отсутствии тенденции изменения результатов, поскольку переменные систематические погрешности обязательно приведут к низкой сходимости результатов в серии и воспроизводимости серий. В случае неравноточных МВИ можно получить также предварительную оценку систематических постоянных погрешностей для заведомо менее точной серии. Для оценки систематических постоянных погрешностей серию сравнивают с более точной «опорной» серией, если в ней не наблюдаются явные тенденции изменения результатов.

Сходимость измерений в каждой из серий и между двумя сериями можно оценить по систематическим расхождениям и отклонениям от аппроксимирующих линий (расхождениями текущих средних и размахами), причем возможную сходимость оценивают по размахам после «исправления результатов» (исключения влияния тенденции изменения результатов, если она обнаружена). О правильности измерений можно судить по значениям размахов Ri и по числовым характеристикам тенденций изменения результатов. Можно ожидать высокой правильности только в той серии, в которой размахи минимальны и тенденции изменения результатов практически отсутствуют.

Все характеристики особенно хорошо видны на точечной диаграмме с двумя сериями измерений, оформленными в одном масштабе. Примеры таких точечных диаграмм с элементами анализа приведены на рисунках 7.6 а – 7.6 з.

 

 

На оси физической величины Q указаны точечная оценка результата измерений (8,334 г) и границы погрешности (± 0,012) г. Для представления доверительной вероятности проводим ось ординат (ось плотности вероятности р) из точки, соответствующей точечной оценке результата измерений, и строим в полученной системе координат кривую нормального распределения результатов или погрешностей измерений. Из рисунка видно, что для увеличения доверительной вероятности (заштрихованной площади) Р необходимо расширить зону между границами погрешности измерений ± Δ. При фиксированном значении σ этого можно добиться только за счет увеличения коэффициента Стьюдентаt. Зона между зафиксированными предельными значениями Х – Δ и Х + Δ с выбранной доверительной вероятностью Р накрывает истинное значение измеряемой физической величины, но поскольку фактически результат измерений представлен не в виде единичного значения, а как числовой интервал, принято говорить о «неопределенности измерений».