МОДУЛЬ 2. ШКАЛЫ И ПРИМЕНЕНИЕ ИХ В МЕТРОЛОГИИ

Оценку любого свойства некоторого объекта можно рассматривать как результат измерения качества данного свойства. Поэтому измерения в самом широком смысле термина являются объектом изучения и прикладным инструментом квалиметрии. Квалиметрия (переводится как "измерение качества") – область научных знаний, в рамках которой исследуются проблемы количественной оценки качества продукции. В соответствии с ГОСТ 15467-79 квалиметрия – это научная область, объединяющая количественные методы оценки качества, используемые для обоснования решений, принимаемых при управлении качеством продукции и стандартизации. Предметом квалиметрии является качество объектов с точки зрения возможностей его описания и количественного выражения.

Поскольку качество объекта представляет собой совокупность всех его свойств, оценивание качества объекта всегда начинается с количественной оценки его отдельных свойств. При этом под оценкой свойства объекта подразумевается определение местоположения данного свойства на определенной оценочной шкале. В квалиметрии принято различать следующие виды шкал:

· шкала наименований (номинационная или номинальная шкала);

· шкала порядка (ординальная или ранговая шкала);

· шкала интервалов (интервальная шкала);

· шкала отношений.

Иногда к этим шкалам добавляют еще «абсолютную» шкалу.

Все перечисленные виды шкал (кроме шкалы наименований) предназначены для сопоставления уровней интенсивности однотипного свойства, характеризующего один объект или некоторое множество объектов. Это соответствует исходному смыслу слова шкала (по латыни skala – лестница), определяемому как последовательность чисел или величин, расположенных в восходящем или нисходящем порядке.

Исходным материалом для построения всех шкал является «шкала наименований», поскольку без идентификации свойства нельзя построить шкалу его интенсивности. В бытовом плане шкалами наименований являются шкала фамилий (можно вместе с инициалами или именем и отчеством), шкала личных номеров в документах, адреса, номера экзаменационных билетов, номера ссылок на литературные источники. Видно, что такая шкала может состоять из любых знаков (числа, наименования, другие условные обозначения). Использование номеров не означает, что мы имеем дело с количественными оценками, напротив, любые цифры или числа такой шкалы – не более чем кодовые знаки. Всем понятно, что литературный источник 7 в списке литературы не лучше (толще, важнее, достовернее...) и не хуже, чем источник 8, хотя стоит перед ним. Они просто перечислены по алфавиту или в порядке упоминания в книге, статье. Шкала наименований позволяет составлять классификации, идентифицировать и различать объекты. Если поименованное свойство не имеет такой характеристики как интенсивность (например, фамилия субъекта), все-таки можно хотя бы набирать статистику на каждый из идентифицируемых объектов (Ковалевых среди телефонных абонентов обычно больше, чем Гиацинтовых или Аллегровых).

Из сказанного ясно, что «шкала наименований» представляет собой не одну шкалу, объединяющую множество однотипных объектов, а скорее множество разнотипных шкал совершенно независимых или пересекающихся (рисунок 2.1). Например, шкалы личных имен, шкалы наименований профессий или специальностей. В метрологии используют шкалы наименований погрешностей: погрешности систематические и случайные, погрешности инструментальные, методические, из-за отличия условий измерения от нормальных, субъективные. Эти шкалы пересекаются между собой (например, инструментальная систематическая погрешность), поскольку обе они являются шкалами наименований погрешностей. Однако эти шкалы можно считать независимыми по отношению к шкалам наименований средств измерений или методов измерений.

Любая шкала наименований может рассматриваться как классификация однотипных объектов по некоторому основанию (классификационному признаку). Например, если отнести к однотипным объектам свойства, определяемые как физические величины, можно представить шкалу наименований в виде размерностей физических величин (рисунок 2.2).

Для того чтобы представить «шкалу наименований» в виде, приближенном к «лестнице» воспользуемся искусственным приемом ее построения в двухкоординатной системе, где по оси абсцисс будем отмечать рассматриваемые свойства, а по оси ординат – отображающие их символы (рисунок 2.3). Следует особо отметить, что последовательность свойств и расстояния между ними на шкале абсцисс не несут никакого масштабного содержания. То же следует сказать и относительно оси ординат – числа в номерах символов, равно как и алфавитная последовательность букв, никак не характеризуют интенсивность отображаемых на эту ось свойств. Дополнительным подтверждением служит отсутствие стрелок на осях построенной системы координат.

Используемые в метрологии шкалы наименований включают наименования физических величин (собственно наименования величин, размерности величин), наименования единиц физических величин (собственно наименования единиц, условные обозначения национальные и международные), наименования средств, видов и методов измерений, погрешностей измерений и их составляющих и др.

В измерениях нефизических величин используют наименования самих величин, единиц измерений величин и множество других наименований. Встречаются наименования единиц измерений некоторых объектов достаточно неожиданные, например, пара брюк, столовый прибор, коробка конфет, чайный сервиз, печатный лист, директория, файл

В отличие от шкалы наименований, шкала порядка устанавливает фиксированный порядок расположения объектов в соответствии с уровнем интенсивности рассматриваемого свойства. Такие шкалы широко применяются при определении в ходе соревнований мест команд или спортсменов, рейтингов деятелей искусства или политиков (рисунок 2.4).

Всем учащимся известны балльные оценки знаний на экзаменах, которые тоже являются фиксированными ступенями шкалы порядка. Простым примером реализации такой шкалы является построенная по росту группа людей, где каждый последующий ниже всех предыдущих. В бытовом плане всем известны деления по рангам, сортам, разрядам. Шкалы порядка используют и при измерениях уровня значимости объектов, например при установлении приоритетов планируемых работ, при выборе вариантов отдыха.

Можно отметить две существенные особенности шкалы порядка:

- не закономерные (какие сложились) интервалы между соседними ступенями шкалы;

- инвариантность объектов к используемым оценочным единицам и к добавлению константы.

Мы можем измерять рост людей своей пядью или пядью флангового (левого или правого, а также в любых других единицах) – порядок в группе останется неизменным. Мы можем выстроить всех босиком или поставить на одинаковые платформы-подставки, можем построить группу в неглубоком бассейне по высоте над уровнем воды – порядок сохранится. Шкала порядка позволяет не только сравнивать объекты, но и делать выводы об их упорядоченном расположении (всегда можно сказать, кто за кем, хотя нельзя определить на сколько отстает).

Можно привести такие примеры использования шкал порядка в метрологии, как шкалы твердости, ранжированные классы точности приборов (0, 1 и 2), разряды эталонных средств измерений (1, 2, 3 и т.д.), упорядоченные по возрастанию или по убыванию ряды результатов измерений или отклонений от базового значения и т.д.

Шкалу интервалов иногда называют шкалой равных или равномерных интервалов. Правильнее говорить о шкале закономерных интервалов (они могут быть построены не только равномерно, но и прогрессивно, экспоненциально, логарифмически). Принципиальное отличие от предыдущей шкалы в том, что положение выбранной точки на любой ступени шкалы интервалов жестко определено и соотношения координат точек шкалы поддаются расчету в соответствии с закономерностью построения шкалы. Построение шкалы равномерных интервалов как отображение интенсивности свойства (ось абсцисс) на ось ординат с пропорциональной оценкой уровня интенсивности свойства показано на рисунке 2.5.

Недостатком такой шкалы является неопределенность ее начала, которое устанавливают условно. Такой условностью на шкалах времени являются: моменты начала суток, отличающиеся в разных часовых поясах, моменты начала летоисчисления (2000 год от рождества Христова одновременно приходится на 5761 год по иудейскому календарю).

Тем не менее, в сутках у всех 24 часа, а в году 365 суток, если год не високосный. Примеры шкал интервалов в метрологии: шкала времени, шкала разности потенциалов, температурная шкала Цельсия (а также шкалы Реомюра, Фаренгейта).

Шкала отношений строится аналогично шкале интервалов, но имеет фиксированный ноль. Пример построения шкалы отношений на базе шкалы равномерных интервалов показан на рисунке 2.6.

Такая шкала полностью соответствует математической шкале чисел по определенности ступеней и возможностям оперирования элементами шкалы. Шкалы большинства физических величин (длина, масса, сила, давление, скорость и др.) являются шкалами отношений.

Поскольку при измерении физических величин мы стремимся представить измеряемую величину в виде числа, очевидно предпочтение тем величинам, которые можно с достаточной строгостью отобразить на наиболее мощные шкалы (интервалов и отношений). Из сопоставления рассмотренных шкал следует также, что шкала интервалов после установления на ней фиксированного ноля (сколь угодно условного) трансформируется в шкалу отношений.

Сводные сведения о шкалах представлены в таблице 2.1.

«Шкала наименований» при всей условности ее «шкального» характера включена в таблицу, поскольку она, как было отмечено ранее, является исходной для построения всех остальных шкал. Шкалы помещены в таблицу в соответствии с их информационной мощностью по возрастанию сверху вниз. Каждая из шкал, расположенная ниже других, вбирает в себя свойства всех предыдущих.

Что касается не включенной в таблицу «абсолютной» шкалы, по сути, она является частным случаем шкалы отношений, но кроме фиксированной нулевой точки («естественного нуля») имеет еще и «естественную единицу». Примерами таких шкал являются шкала количества целочисленных объектов, шкала коэффициента полезного действия, шкала относительной влажности и другие им подобные.

Для того, чтобы некоторое свойство объекта можно было оценить по той или иной шкале, необходимо чтобы на множестве однотипных свойств объектовсоблюдались определенные отношения. Поскольку мы предпочитаем объективную оценку свойства числом, то отношения на множестве свойства логичнее всего сопоставлять с аксиоматикой числа. Анализ соответствующих отношений позволит определить, какой тип шкалы применим для оцениваемых свойств объектов.

Таблица 2.1 – Сводные сведения о шкалах

Тип шкалы	Характеристика шкалы	Отношения, задаваемые на шкале	Математические операции с объектами шкал
Наименований	Числа или другие символы шкалы используются только для классификации исследуемых объектов	Эквивалентность	Накопление частот (для последующей статистической обработки)
Порядка	Можно установить, что свойство одного объекта находится в некотором соотношении со свойством другого объекта	Эквивалентность. Больше чем/меньше чем	Накопление частот, добавление постоянной, умножение на постоянную
Интервалов	Порядковая шкала с известными расстояниями между двумя любыми числами на шкале. Нулевая точка шкалы и оценочная единица выбираются произвольно	Эквивалентность. Больше чем/меньше чем. Определено отношение любых двух интервалов. Отношение координат любых двух точек шкалы зависит от выбранного нуля	Все операции с числами (после назначения нуля)
Отношений	Интервальная шкала с фиксированной нулевой точкой. Отношение любых двух координат шкалы фиксированное	Эквивалентность. Больше чем/меньше чем. Определено отношение любых интервалов и координат любых точек	Все операции с числами

Аксиоматику числа можно представить в виде трех групп аксиом:

АКСИОМЫ ТОЖДЕСТВА

1. Либо А = В, либо А ≠ В.

2. Если А = В, то В = А.

3. Если А = В, и В = С, то А = С.

АКСИОМЫ РАНГОВОГО ПОРЯДКА

4. Если А > В, то В < А

5. Если А > В и В > С, то А > C.

АКСИОМЫ АДДИТИВНОСТИ

6. Если А = С и В > 0, то А + В > С.

7. А + В = В + А.

8. Если А = С и В = D, то А + В = C + D.

9. (А + В) + С = А + (В + С).

Если на множестве объектов, которые характеризуются однородными рассматриваемыми свойствами, соблюдаются отношения свойств, определяемые аксиомами тождества, то эти объекты можно оценивать по шкале наименований. Если на множестве объектов соблюдаются отношения, определяемые аксиомами тождества и рангового порядка, эти объекты можно оценивать по шкале порядка. Если на множестве объектов соблюдаются отношения, определяемые полным набором аксиом, объекты можно оценивать по шкале интервалов или по шкале отношений. Разница в свойствах последних множеств, которая окончательно определяет вид применяемой шкалы, зависит от наличия или отсутствия фиксированного нуля на шкале.

Возможности применения различных шкалы для оценки однородных свойств объектов при соответствии отношений этих свойств определенному набору аксиом представлены в виде схемы ключевых понятий (СКП) на рисунке 2.7. Каждая из более мощных шкал включает в себя все предыдущие, что отражено на схеме системой «ящик в ящике».

Графические отображения шкал порядка, интервалов и отношений представлены на рисунках 2.8…2.10. В их основу положены шкалы на осях ординат, полученные при построении шкал путем отображения интенсивности свойства с оси абсцисс на ось ординат в двухкоординатной системе (см. рисунки 2.4 – 2.6).

В метрологии, как и в любой другой научной области, используют все виды шкал. Шкалами наименований ограничиваются при классификации физических величин и других метрологических объектов, включая метрологические мероприятия и их результаты. Примерами шкал наименований могут быть наименования физических величин, наименования единиц физических величин (здесь множество пересекающихся шкал: полные обозначения, сокращенные обозначения русские и международные), шкала наименований параметров и характеристик «неопределенности» измерений.

Если на множестве объектов классификации проявляются топологические отношения между классифицируемыми свойствами, то можно говорить о развитии шкалы до уровня ранговой. Например, классификация средств измерений на эталоны, эталонные (образцовые) и рабочие средства получила дальнейшее развитие по характеристикам их точности. При построении поверочной схемы используют ранговые шкалы точности эталонов (распределение на первичные и вторичные эталоны) и эталонных (образцовых) средств измерений (распределение на разряды). Кроме того, достаточно часто применяют шкалы условных классов точности эталонных и рабочих средств измерений (например, классы нулевой, первый и второй). Разряды и ранжированные классы точности используются для реализации шкалы порядка, поскольку наименования уровней позволяет распределить объекты по точности. Очевидно, что прибор второго класса менее точен, чем однотипный прибор первого и точнее, чем третьего класса.

Кроме ранжированных классов точности средств измерений есть и «относительные» классы точности, которые характеризуют, например, значением относительной погрешности прибора в процентах. Эти классы составляют шкалу отношений: прибор класса точности 0,5 (относительная погрешность 0,5 %) в пять раз точнее аналогичного прибора класса 2,5 (относительная погрешность 2,5 %).

Шкалы порядка иногда применяют и для «количественной» оценки физических величин. Пример такой шкалы – используемая в минералогии шкала твердости Мооса, приведенная в таблице 2.2. Минералы условно разделяются на десять групп, расположенных в порядке возрастания твердости – от первой до десятой. Коэффициент твердости определяется так: если какой-либо минерал царапает, например, кальцит (твердость 3) и не царапает флюорит (твердость 4), то его твердость можно обозначить коэффициентом 3,5 (или другим значением между 3 и 4). Внутри каждого из указанных интервалов могут быть построены участки той же шкалы с более мелкой градацией.

Применяемые сегодня шкалы твердости Роквелла, Бринелля, Виккерса и другие тоже фактически являются окультуренными шкалами порядка, о чем свидетельствует отсутствие математических формул для перевода твердости из одних единиц в другие. Подобные трудности встречаются и при использовании разных шкал светочувствительности фотоматериалов. Отсутствие в таких шкалах фиксированной единицы ставит под сомнение соответствие их основному уравнению измерений. Однако такие шкалы даже с переменной единицей аппаратурно воспроизводятся при измерениях, поэтому их называют условными.

Таблица 2.2 – Шкала твердости (шкала Мооса)

	Тальк
	Гипс
	Кальцит
	Флюорит (плавиковый шпат)
	Апатит
	Ортоклаз (полевой шпат)
	Кварц
	Топаз
	Корунд
	Алмаз

Условная шкала «силы ветра» в баллах, предложенная английским адмиралом Фрэнсисом Бофортом в 1805 году, в соответствии с международным соглашением 1964 года рассматривается как шкала скорости ветра (таблица 2.3). На место условных баллов пришли аппаратурно измеряемые скорости в метрах в секунду или километрах в час.

Таблица 2.3 – Оценка скорости ветра (в сопоставлении со шкалой Бофорта)

Балл	Наименование «силы ветра»	Словесная характеристика	Скорость	«Цена» балла, м/с
V_min– V_max, м/с	V_max, км/ч
	Штиль (безветрие)	Дым идет вертикально	0 – 0,9	3,24	0,9
	Тихий ветер	Дым идет слегка наклонно	0,9 – 2,4	8,64	1,5
	Легкий ветер	Ощущается лицом, шелестят листья	2,4 – 4,4	15,84	2,0
	Слабый ветер	Развеваются флаги	4,4 – 6,7	24,12	2,3
	Умеренный ветер	Поднимает пыль	6,7 – 9,3	33,48	2,6
	Свежий ветер	Вызывает волны на воде	9,3 – 12,3	44,28	3,0
	Сильный ветер	Свистит в вантах, гудят провода	12,3 – 15,6	56,16	3,3
	Крепкий ветер	На волнах образуется пена	15,6 – 18,9	68,04	3,3
	Очень крепкий ветер	Трудно идти против ветра	18,9 – 22,6	81,36	3,7
	Шторм	Срывает черепицу	22,6 – 26,4	95,06	3,8
	Сильный шторм	Вырывает деревья с корнем	26,4 – 30,5	109,80	4,1
	Жестокий шторм	Большие разрушения	30,5 – 34,8	125,28	4,3
	Ураган	Опустошительное действие	34,8 – 39,2	141,12	4,4

Есть и иные современные интерпретации шкалы Бофорта, с отличными значениями скоростей и балльных интервалов, что подтверждает невозможность строгой трансформации ранговой шкалы в интервальную.

Очевидно, что совершенствование знаний о физической величине или повышение строгости ее определения сопровождается построением более мощной шкалы. Примером эволюции шкал являются температурные шкалы. Создание шкал наименований базировалось на последовательном разделении понятий «температура» и «теплота», затем различении температуры как оценки степени нагретости тел и термодинамической температуры. Температура, которая когда-то оценивалась чисто топологически по шкале порядка (холодное-теплое-горячее), затем приобрела множество интервальных шкал с несовпадающими нулями и единицами (шкалы Реомюра, Фаренгейта, Цельсия), и, наконец, пришла к логически завершенной термодинамической шкале Кельвина с абсолютным нулем.

Для полноценных измерений физических величин фактически подходят только наиболее мощные шкалы (интервалов и отношений). Есть физические величины с фиксированным «естественным» нулем (масса, длина), а есть величины, которые никогда не будут иметь такого нуля (время, разность потенциалов), но для математической обработки результатов измерений существенно важно, что после фиксации нуля («естественного» или условного) интервалы физических величин полностью равноценны для приложения математического аппарата.

При наличии доступной исследователю шкалы, например воспроизводимой средством измерений, порядок измерения некоторого свойства (в том числе конкретной физической величины) можно представить следующим образом:

1. Идентификация оцениваемого свойства (фиксация соответствующей объекту измерения шкалы наименований).

2. Идентификация типа оценочной шкалы (порядка, интервалов, отношений).

3. Фиксация положения оцениваемого свойства на шкале (оценка уровня интенсивности свойства)

Схематически порядок получения оценки некоторого свойства объекта с применением шкал наименований, порядка, интервалов и отношений представлен на рисунке 2.11 (Схема ключевых понятий «получение оценки выбранного свойства объекта»).

В некоторых литературных источниках встречается понятие «измерение по шкале наименований» (по шкале наличия – отсутствия нежелательных свойств), которое нельзя признать корректным. Приводимые примеры шкал: «годное – брак», «устраивает – не устраивает», «присутствует – отсутствует» свидетельствуют об оценивании перехода свойства за некоторое пороговое значение на шкале порядка. Для аппаратурной реализации таких оценок в измерительных процедурах часто применяют индикаторы.

При оценке свойств индикаторами используется частный случай ранговой шкалы (альтернативная шкала), которая состоит из двух ступеней (градаций), обозначающих наличие или отсутствие того или иного свойства, либо переход этого свойства через заданное пороговое значение (рисунок 2.12).

Например, индикатор электрической фазы дает ответ на вопрос о «фазовом» или «нулевом» проводе, омметр при использовании в качестве индикатора показывает наличие или отсутствие обрыва электрической цепи, металлодетекторы – наличие или отсутствие металлических предметов и т.д. Используемый в качестве индикатора будильник сигнализирует о переходе за установленный момент времени; «размерное реле» – о выходе детали за настроенный размер, температурные краски – о превышении температуры объекта, по сравнению с фиксируемой индикатором. Индикаторы как особый вид средств измерений рассматриваются в соответствующем модуле.

Шкала физической величины в метрологической практике может воспроизводиться двояко:

– воспроизведение единицы величины, ее кратных или дольных частей для обеспечения возможности построения шкалы на любом участке (мультипликация единицы);

– воспроизведение реперных точек величины, известные разности между которыми делят на пропорциональные части, из которых формируют единицу физической величины (построение шкалы по реперам).

И один и другой методы используются для воспроизведения единицы и шкалы физической величины с помощью индивидуальных эталонов, либо эталонных установок.

Шкала значений физической величины или ее отдельные точки воспроизводятся с помощью средств измерений. Однозначные меры предназначены для хранения и воспроизведения одного значения физической величины – одной точки на шкале. Измерительный прибор снабжен шкалой измеряемой физической величины в некотором диапазоне. Эта шкала заложена в прибор опосредованно, и может воспроизводиться с помощью масштабной шкалы на выходном устройстве аналогового прибора или логической пороговой схемы у прибора с дискретным выходом.

Шкала измерительного прибора или штриховой меры является конструктивным элементом средства измерений, отображающим ограниченный участок теоретической шкалы измеряемой физической величины. В отличие от опосредованно реализованной в любом средстве измерений шкалы физической величины, шкала средства измерений (прибора или штриховой меры) конкретна и характеризуется верхним и нижним пределами, ценой деления и длиной деления. В основу теоретического построения отметок кладут, как правило, прямую или круговую линию (нарисованную или воображаемую), нанося вдоль нее равномерные или неравномерные деления. Операция нанесения шкалы на средство измерений называется градуировкой и может осуществляться на основании теоретических расчетов, либо по результатам измерений физических величин, соответствующих наносимым отметкам шкалы.

Градуировкой в метрологии также называют определение градуировочной характеристики средства измерений. Градуировочной характеристикой называется зависимость между значениями величин на входе и выходе средства измерений, полученная экспериментально. Она может быть выражена в виде формулы, графика или таблицы.