Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx. Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx(читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С. Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования. Основные свойства неопределенного интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства: 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Имеем: 2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. Имеем: 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная. Имеем: Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов интегрирования. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а == const 0, 5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е. Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.   12.Методы интегрирования. Замена переменной.   Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций сводящимся. Метод замены переменной (метод подстановки) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: Интегрирование выражений вида   13.Методы интегрирования. Интегрирование по частям. Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так икомпозицией), то справедливы следующие формулы для неопределённого интеграла: для определённого: Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправданно. Интегрирование по частям Основная статья: Интегрирование по частям Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования: В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл где Pn + 1(x) — многочлен (n + 1)-ой степени.   14.Методы интегрирования. Интегрирование тригонометрических выражений. 1. Интегралы от произведений синуса и косинуса разных аргументов. ò sin mx cos nx dx, ò sin mx sin nx dx, ò cos mx cos nx dx. Данные интегралы сводятся к табличным с помощью формул преобразования произведения в сумму: sin a cos b=1/2(sin(a-b)+sin(a+b)), sin a sin b=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)), cos a cos b=1/2(cos(a-b)+cos(a+b)). Пример. = 2. Интегралы от степеней синуса и косинуса одного аргумента. ò sinm x cosn x dx. 1) Если хотя бы одно из чисел m и n нечетно, то от нечетной степени отделяют один сомножитель и вносят его под знак дифференциала. Подынтегральную функцию приводят к одной из тригонометрических функций. Пример. ò sin5x cos4x dx = ò sin4x cos4x sin x dx = = -ò (1-cos2x)2cos4x d(cosx) = -òcos4x d(cosx) + 2ò cos6x d(cosx) - - òcos8x d(cosx) = . 2) Обе степени четные. В этом случае применяют формулы понижения степени , , , до тех пор, пока не появятся нечетные степени тригонометрических функций.   3. Интегралы от рациональной функции, содержащей синус и косинус. Рассмотрим интеграл вида . Этот интеграл рационализируется универсальной подстановкой Пример. =   15.Интегральные суммы. Определенный интеграл. Свойства. Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом: или В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны: в то время как представляет семейство функций, определённый интеграл есть число. Sn- интегральная сумма Свойства · Невырожденность: · Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a,b] также неотрицателен. · Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и , то функция αf + βg тоже интегрируема, и . · Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a,b] к функции f, то f интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.) · Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a,c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a,b] и [b,c], при этом . · Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a,b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной). · Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a,b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F(b) − F(a). (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где C - произвольная константа.     16.Функция двух переменных. Частные производные. Определение. Частной производной по переменной х называется предел частного приращения функции по переменной х к частному приращению аргумента, если этот предел существует: Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная F’x(Xo,Yo)((F’y(Xo,Yo)) - угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности z=f(x,y), и плоскости Y=Yo (X=Xo) в соответствующей точке. Функции двух переменных. dz= dх + dу. Для функции трёх переменных и= f(x;у; z) dи= dх + dу+ dz   17.Экстремум функции двух переменных. Пусть функция определена в некоторой области G и точка . Функция имеет в точке максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство . Аналогично определяется минимум функции. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Теорема (необходимое условие экстремума). Если –точка экстремума функции , то частные производные и в этой точке равны нулю или не существуют. Точки, в которых частные производные и обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции. Сформулированный признак не является достаточным: не обязательно критическая точка является точкой экстремума. Чтобы проверить, есть ли экстремум в критической точке, используют следующую теорему (достаточное условие экстремума). Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до 3–го порядка включительно и . Обозначим: . Тогда 1)если , то функция имеет экстремум в точке , причем это максимум, если и минимум, если ; 2)если , то экстремума в точке нет; 3)если , требуется дополнительное исследование (экстремум в точке может быть или не быть). Пример. Исследовать на экстремум функцию .   18.Кратные интегралы. В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например: Определение кратного интеграла Пусть — подмножество в n-мерном вещественном пространстве, — функция на нём. Разбиение σ множества B — это набор попарно непересекающихся подмножеств , такое что . Мелкость разбиения — это наибольший диаметр множеств . Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества. Кратным (n-кратным) интегралом функции f на множестве B называется число I (если оно существует), такое что, какой бы малой ε-окрестностью числа I мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества B и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке на длину соответствующего отрезка разбиения будет попадать в эту окрестность. Существование кратного интеграла Достаточные условия § Если функция непрерывна на измеримом по Жордану компакте, то она интегрируема на нем. § Неограниченная функция на множестве может быть не интегрируемой, даже если она непрерывна. Например, функция y = 1 / x не интегрируема на интервале . § Если функция определена на измеримом по Жордану множестве, у которого существуют сколь угодно мелкие разбиения, для которых данная функция неограничена на объединении всех их элементов положительной меры, то эта функция неинтегрируема на этом множестве. Критерий Дарбу Основная статья: Критерий Дарбу Пусть существуют верхний I * и нижний I * интегралы Дарбу функции на G. Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на G, причем: Критерий Лебега Пусть G - измеримое по Лебегу множество. Функция интегрируема на G, если: § Функция ограничена на G. § Функция непрерывна на , где множество E имеет меру Лебега нуль. Свойства кратных интегралов § Линейность по функции. Пусть измеримо, функции и интегрируемы на , тогда . § Аддитивность по множеству интегрирования. Пусть множества G1 и G2 измеримы, и . Пусть также функция f(X) определена и интегрируема на каждом из множеств G1 и G2. Тогда интеграл по G существует и равен . § Сохранение неравенств при интегрировании. Пусть G измеримо, функции f и g интегрируемы на G, причем . Тогда . § Интегральное неравенство треугольника. Следствие предыдущего свойства. § Интегральная теорема о среднем. Пусть G — компакт, функция f(X) непрерывна и интегрируема на G, тогда § Постоянная функция f(X) = c интегрируема на любом измеримом множестве G, причем . Как следствие, . 19.Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения дифференциального уравнения. Порядок ДУ, задача Коши. Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.   Общее решение: Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке в дифференциальное уравнение вида обращает его в тождество. Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде: где — конкретные числа, то функция вида при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант) называется общим решением дифференциального уравнения.   Частное решение: Частным решением дифференциального уравнения на интервале называется каждая функция y(x), которая при подстановке в уравнение вида обращает его в верное тождество на интервале . Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Задача Коши: Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным). Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0. От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач. Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы: 1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши? 2. Если решение существует, то какова область его существования? 3. Является ли решение единственным? 4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?   Различные постановки задачи Коши § ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной   § Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)   § ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной     20. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида или называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных. Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части: Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль. Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем дванеопределенных интеграла. Пример 1 - решить дифференциальное уравнение Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем,дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Пример 2 - решить дифференциальное уравнение Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем,дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Пример 3 - решить дифференциальное уравнение Заметим, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные, т.е. получаем,дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:   21. Однородные дифференциальные уравнения. Существует два понятия однородности дифференциальных уравнений. Обыкновенное уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция является однородной степени 0: . Однородную функцию можно представить как функцию от : . С помощью подстановки (так как ) дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными: . Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение — однородно, если . В случае, если , говорят о неоднородном дифференциальном уравнении. Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.   22. Линейные дифференциальные уравнения. Подстановка Бернули.   Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид   (1) где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1). Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение     Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде   где — новая неизвестная функция от .   Методом Бернулли. На примере решения уравнения y' – = x. Пусть решение имеет вид: y = u(x) · v(x), y' = u'v + v'u, u'v + v'u – = x. u'v + u v' – . ( ∗ ) Пусть v' – = 0. = , = , ln|v| = 3ln|x|, v = x3, подставим в уравнение ( ∗ ), u'v = x, u'x3 = x, u' = . Интегрированием находим u: u = = – + C, найденные u и v подставляем в y = u(x) · v(x), получаем: y = – + C x3 — общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.     23. Линейные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид   (1) где и — заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1). Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение     Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде   где — новая неизвестная функция от .   Методом вариации произвольной постоянной.
  1. Рассматриваем соответствующее линейное однородное дифференциальное уравнение y' + P(x) y = 0,
его общее решение y = C .
  1. Ищем решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде
y = C(x) , (5.4) где C(x) — искомая функция от x. Так как это решение дифференциального уравнения, то найдем y': y' = C'(x) + C(x) (– P(x)) и, подставив в данное уравнение, получим C'(x) = Q(x) . Интегрированием находим C(x): C(x) = Q(x) + C. Найденную функцию C(x) подставляем в (5.4) и получаем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.   24. Уравнение Бернули.   Бернулли уравнение Перевод Бернулли уравнение I Берну́лли уравне́ние дифференциальное уравнение 1-го порядка вида: dy/dx + Py = Qyα, где Р, Q — заданные непрерывные функции от x; α — постоянное число. Введением новой функции z = y--α+1 Б. у. сводится к линейному дифференциальному уравнению (См. Линейные дифференциальные уравнения) относительно z. Б. у. было рассмотрено Я. Бернулли в 1695, метод решения опубликован И. Бернулли в 1697. II Берну́лли уравне́ние основное уравнение гидродинамики (См. Гидродинамика), связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности ρ, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид: v2/2 + plρ + gh = const, где g — ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на ρ, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена — его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть — давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури). Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1) из Б. у. следует: v2/2g = h или т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h. Если равномерный поток жидкости, скорость которого v0 и давление p0, встречает на своём пути препятствие (рис. 2), то непосредственно перед препятствием происходит подпор — замедление потока; в центре области подпора, в критической точке, скорость потока равна нулю. Из Б. у. следует, что давление в критической точке p1 = p0 + ρv20/2. Приращение давления в этой точке, равное p1 - p0 = ρv20/2, называется динамическим давлением, или скоростным напором. В струйке реальной жидкости её механическая энергия не сохраняется вдоль потока, а расходуется на работу сил трения и рассеивается в виде тепловой энергии, поэтому при применении Б. у. к реальной жидкости необходимо учитывать потери на сопротивление. Б. у. имеет большое значение в гидравлике (См. Гидравлика) и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики (См. Газовая динамика). Лит.: Фабрикант Н.Я., Аэродинамика, ч. 1—2, Л.,1949— 64; Угинчус А. А., Гидравлика, гидравлические машины и основы сельскохозяйственного водоснабжения, К.—М., 1957, гл. V. Рис. 1. Истечение из открытого сосуда. Рис. 2. Обтекание препятствия.   25. Уравнения Лагранжа и Клеро.   Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида: Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными. Дифференциальное уравнение Лагранжа Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида где и – неизвестные функции от , причём считаем, что функция отлична от . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных и . Такое дифференциальное уравнение приходиться решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр . Тогда уравнение запишется: Замечая, что продифференцируем обе части этого уравнения по . Пишем: Преобразуем его в вид Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении , удовлетворяющему условию . В самом деле, при любом постоянном значении , производная тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю. Решение, соответствующее каждому значению , то есть, , является линейной функцией от , поскольку производная , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство значение , то есть . Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением. Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение в виде и будем считать , как функцию от . Тогда полученное уравнение суть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции от . Решая его, найдём Исключая параметр из уравнений и найдём общий интеграл уравнения в виде . [править] Дифференциальное уравнение Клеро Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида Такое уравнение носит название уравнения Клеро. Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра. Найдём его решение. Положим . Тогда пишем: Продифференцируем это уравнение по , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что , пишем Преобразуем его в вид Приравнивая каждый множитель к нулю, получим и Интегрируя уравнение получим . Подставим значение в уравнение найдём его общий интеграл С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения найдём как функцию от , затем подставим её в уравнение , то получим функцию Которая, как легко показать, является решением уравнения . Действительно, в силу равенства находим Но поскольку , то . Поэтому подставляя функцию в уравнение , получаем тождество . Решение не получается из общего интеграла ни при каком значении произвольной постоянной . Это решение — суть особое решение, которое получается в следствии исключения параметра из уравнений и или, что без разницы, исключением из уравнений и Следовательно, особое решение уравнения Клеро, определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом . [править] Приложения уравнения Клеро. К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид или Любое свойство касательной выражается соотношением между и : Решая его относительно , придём к уравнению вида , то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.   26. Уравнения в полных дифференциалах. Утверждение об уравнении в полных дифференциалах. Пусть (1) является уравнением в полных дифференциалах, т. е. существует такая дифференцируемая функция Φ(t, x), что
dΦ(t, x) = f(t, x)dx + g(t, x)dt ((t, x) ∈ D(f) = D(g)).

Тогда следующее уравнение является его полным интегралом:

Φ(t, x) = C (t, x ∈ D1). (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции t = ψ(s), x = φ(s) определены на некотором промежутке J ⊂ R. Тот факт, что пара (ψ, φ) есть решение уравнения (1) эквивалентен тождеству

[f(t, x)dx + g(t, x)dt]|t = ψ, dt = ψ′ds, x = φ, dx = φ′ds≡ 0,

которое, в свою очередь эквивалентно тождеству

[dΦ(t, x)]|t = ψ, dt = ψ′ds, x = φ, dx = φ′ds≡ 0.

Последнее в точности означает, что

d[Φ(t, x)]|t = ψ, x = φ ≡ 0 и ψ, φ ∈ D1,

или, что то же,

Φ[ψ(s), φ(s)] ≡ C и ψ, φ ∈ D1.

Таким образом, (1) ⇔ (4).

Мы уже отмечали, что для уравнения с разделяющимися переменными f(x)dx – g(t)dt = 0 существует функция Φ(t, x) = F(x) – G(t), дифференциал которой совпадает с левой частью этого уравнения. Следовательно, это есть частный случай уравнения в полных дифференциалах. Отсюда вытекает, в частности, что доказанное в предыдущем параграфе утверждение об уравнении с разделенными переменными справедливо и в симметричной трактовке.