Дифференциальные уравнения

Классификация погрешностей

1. По способу выражения погрешности.

1.1. Абсолютная погрешность

Δ=х_изм-х_д – выражается в единицах измеряемой величины

1.2. Относительная погрешность.

δ = Δ/х_изм*100%

Отношение абсолютной погрешности к измеренному значению, выражается, как правило, в %.

1.3. Приведенная погрешность.

γ= Δ/х_N*100%

Отношение абсолютной погрешности к некоторому нормирующему значению – приведенная погрешность.

 

Только для описания СИ, т.к. x_N - характеристика Си, которая определяется следующим образом.

a) x_N=x_max – предельное значение СИ данного диапазона.

0 x_max

b) x_N = | - x_max| + | x_max| В общем случае -x_max<> x_max.

0

-x_max x_max

c) x_N=x_max, если нуля нет. x_нач­<>0

x_нач

x­_max

1. По месту (причине) возникновения.

1. Методическая погрешность – погрешность, возникающая из-за неадекватности принятой модели объекту измерения.

2. Инструментальная погрешность – приборная погрешность самого СИ

1. По характеру изменения.

1. Систематическая погрешность - погрешность, которая постоянная или изменяется по известному закону.

2. Случайная погрешность - изменяется по закону случайных чисел. Для ее нахождения используются элементы теории вероятности – статистические измерения.

3. Промахи (грубая погрешность) – субъективная погрешность оператора.

1. По способу воздействия окружающей среды на средство измерения

1. Основная погрешность – возникает при нормальных условиях эксплуатации средства измерения. н.у. T(20ºC), p (760 мм рт. ст.), влажность (80%), э/м воздуха

2. Дополнительная погрешность – в условиях отличных от нормальных.

В паспортах приборов указывается коэффициенты влияния, которые позволяют рассчитать изменения показаний в зависимости от изменения условий.

1. По характеру изменения во времени.

1. Статическая погрешность – возникает при измерении постоянной во времени величины

2. Динамическая погрешность – возникает при измерении сигнала, изменяющегося во времени.

	V

R_вх

U_x U_x(t) C_вх U_вых(t)

 

U(t)

Ux(t) – входной сигнал

Δ_дин

U_вых(t) – выходной сигнал

 

t

t_и

 

1. По связи с измеряемой величиной.

1. Аддитивная погрешность – не зависит от измеряемой величины. Δx=a

Δx

 

x

 

2. Мультипликативная погрешность – зависит от измеряемой величины. Δx=bx

Δx

 

X

 

 

Когда у прибора есть и та и другая погрешности, то Δx=a+bx

 

Δx

 

 

x

 

Правила записи результатов

По ГОСТу: х=х_изм ± Δх

Δх - ?

Погрешность 34570124

Инструментальная погрешность1%

В окончательной записи погрешности останется один лил 2 знака.

Если перед "5" стоит четная цифра, то она не изменяется.

34,570124 ≈ 34

δ₁ = (34-34,570124)/34 *100%=1,7% <=10%

Если погрешность не превышает 10%, то округлять можно.

δ₂ = (30-34,570124)/30 *100%=15,2%>10%

Нельзя оставлять один знак.

 

Если первая цифра в результате погрешности 1 или 2, то в окончательной записи погрешности остается два знака. Если 4 и выше, то, как правило, остается один знак. Если 3, то в зависимости от того, что стоит дальше, оставляют один лили два знака.

Δх= ±34 или Δх=( ±3,4)*10¹

Результат измерения округляется до того же количества разрядов, до того же порядка.

х=(178,56±34)*10¹ - неправильно

х=(178,6±3,4)*10¹ - правильно

 

7. Абсолютная, относительная, приведенная погрешности.

1. Абсолютная погрешность

Δ=х_изм-х_д – выражается в единицах измеряемой величины.

 

1. Относительная погрешность.

δ = Δ/х_изм*100%

Отношение абсолютной погрешности к измеренному значению, выражается, как правило, в %.

 

1. Приведенная погрешность

γ= Δ/х_N*100%

Отношение абсолютной погрешности к некоторому нормирующему значению – приведенная погрешность.

 

Только для описания СИ, т.к. x_N - характеристика Си, которая определяется следующим образом.

d) x_N=x_max – предельное значение СИ данного диапазона.

0 x_max

e) x_N = | - x_max| + | x_max| В общем случае -x_max<> x_max.

0

-x_max x_max

f) x_N=x_max, если нуля нет. x_нач­<>0

x_нач

x­_max

 

8. Систематические и случайные погрешности.

 

1. Систематическая погрешность – погрешность, которая постоянная лил изменяется по известному закону.
2. Случайная погрешность – изменяется по закону случайных чисел. Для ее нахождения используются элементы теории вероятности – статистические измерения.
3. Промахи (грубая погрешность) – субъективная погрешность оператора.

 

9.Основные метрологические характеристики СИ.

 

Характеристики СИ:

1. Не метрологические – не влияют на точность результата измерения. Н-р: вес, размер цвет и др.
2. Метрологические – влияют на точность измерения. Н-р: входное сопротивление, входная емкость, трение.

 

Основные метрологические характеристики.

1. Номинальная статистическая функция (характеристика) преобразования СИ.

Зависимость, которая обозначается y=F(x), между информационными параметрами входного и выходного сигнала. x- входная, y – выходная величины.

Характеристика вводится для типа СИ.

1. Действующая функция преобразования (Ур-ние преобразования).

Реальная характеристика преобразования измерения. Y=F_действ(x)

 

Первая хар-ка для некоторой совокупности СИ, вторая для реального СИ.

Задаются:

Функциональная зависимость. l(t)=a₀ + a₁t⁰_x + a₂t⁰_x²

Таблица входных и выходных параметров.

x_i y_i

 

В виде функции в координатах.

y F_действ(t)

Δ_{вых СИ}

y_действ F(t) – номинальная ф-ция преобразования

Δ_{вых СИ} = F(x_действ)-F_действ(x_действ)=F(x_действ)-y_действ –

погрешность СИ по выходу

Δ_{вх СИ} Δ_{вх СИ}=F^-1(x_действ)- y_действ – погрешность входа СИ

x_действ x

y F(x)

 

 

x

 

Градировочная таблица – зависимость входной и выходной величины

1. Чувствительность СИ

Понимают отношение приращения выходной величины к вызвавшему это приращение приращению входной величины.

S_x=dy/dx≈lim _Δxà0 Δy/Δx

y

S_x

 

 

0 x

 

 

1. Порог чувствительности (разрешающая способность)

Минимальное значение входной величины, которое может быть обнаружено по изменению входной величины. Речь идет о начальном участке.

СУ

П-р

U_вх U_k СУ – сравнивающее устройство. U_су получ. когда U_вх=U_k

U_СУ

1. Постоянная прибора.

C=x/α [../дел] = [В/дел]=[А/дел]

Отношение некоторого значения измеряемой величины к показаниям прибора α в делениях.

Диапазон

1. 0-8 В – 1 В/дел

0 8 2. 0-16 В – 2 В/дел

3. 0- 80 В – 10 В/дел

 

1. Цена деления – разность между соседними отметками шкалы. Если эта разность величина постоянна, то шкала называется равномерной. С_д = х_i+1-x­_i
2. Диапазон показаний – разность м/д мах и min значениями.
3. Диапазон измерений – область на шкале СИ, в которой определены, заданы метрологические хар-ки СИ (рабочий диапазон).
4. Хар-ки СИ, влияющие на измерительную цепь.

Получить рез-т на вольтметре U_x

R_x

U_x

 

R_v

a) идеальный случай – U_x=E_x

b) реальный случай – ΔU=Ux-E_x=- E_x R_x/(R_v+R_x)

 

U_x=E_x*R_v/(R_v+R_x)

R_v – характеристика, влияющая на измерение.

 

1. Погрешности СИ

a) основная и дополнительная

b) аддитивная и мультипликативная

 

 

10. Аддитивная, мультипликативная погрешности и погрешность квантования.

1. Погрешность имеет аддитивный характер.

 

Δх

а

 

х

 

Нормировка происходит след. образом, т.к. погрешность величина случ. и может принимать как положительные и отрицательные значения.

Δх

+a

 

x

-a

 

Класс точности определяет или значение приведенной погрешность в процентах: k=| γ |%

Допускаемое значение приведенной погрешности определяется как величина, выраженная в процентах.

γ_д=±p% γ= Δх/x_N 100[%] Δх= γ*x_N /100=p*x_N/100

результат – x=x_изм±Δх

Зная значение класс точности можно посчитать погрешность. X_N – нормирующая величина – хар-ка СИ

g) x_N=x_max=x_k – предельное значение СИ данного диапазона.

0 x_k

h) x_N = | - x_max| + | x_max| В общем случае -x_max<> x_max.

0

-x_max x_max

i) x_N=x_ном х_ном – х_ниж << х_ном х_верх – х_ном << х_ном

x_н x_ном

x­_в

Класс точности

0.5

2.5 ±p – приведенная погрешность

 

Если к=2.5 - особенность в том, что p= γ= ± Δl /l_шк­*100

 

Существуют приборы

- в этом случае на приборе должна быть еще одна шкала.

x_min ∞

- верхняя – равномерная ( 0 – 50)

нижняя шкала сильно неравномерная (0 - ∞)

 

2.5 – класс точности

 

p= γ= ± Δl /l_шк­*100 и l_шк­ – соответствует мах количеству делений

 

Мерой точности является относительная погрешность. δ = Δх/х_изм %

δ Д_п

Д_р Д_п – диапазон показаний. Д_р – рабочий диапазон

δ_задан δ_задан – заданный уровень погрешности (4,10,20%)

Δх x_k x

1. Мультипликативный характер абсолютной погрешности.

Δх bx

 

 

x_k x

 

γ=Δх/x_N=Δх/x_k - нельзя пользоваться этим подходом

 

var var const

 

Другой подход

δ=Δх/x_изм % k=±|δ|% Допускающее значение - δ_д=±q %

const

var var

 

Δх=q*x_изм/100 à x=x_изм±Δх

 

Значение класса точности обозначается

 

Прибор нормируется по относительной погрешности.

bx

Δх

1. Δх bx

 

a

a

x_k x

-a x

x_k

 

 

Есть аддитивная и мультипликативная составляущая.

Δх = a+bx

 

 

приведенная погрешность приведенная погрешность в начале

в конце диапазона СИ диапазона СИ

 

 

В этом случае k - c/d 0.05/0.01

 

 

Абсолютная погрешность в конце диапазона

 

Δх_k=a+bx_k

δ - минимум погрешности в конце диапазона.

Весь диапазон разделяется на поддиапазоны.

Для измерения меньших значений, нужно выбирать

Диапазон, чтобы значение было близко к конечному.

 

x_k1 x_k2 x_k2 x Получили возможность снизить относительную

погрешность

 

 

11. Основные и дополнительные погрешности.

 

3. Основная погрешность – возникает при нормальных условиях эксплуатации средства измерения. н.у. T(20ºC), p (760 мм рт. ст.), влажность (80%), э/м воздуха

4. Дополнительная погрешность – в условиях отличных от нормальных.

 

В паспортах приборов указывается коэффициенты влияния, которые позволяют рассчитать изменения показаний в зависимости от изменения условий.

 

12. Способы нормирования погрешностей СИ.

Нормирование основной и дополнительной погрешностей.

 

 

Класс точности средства измерения – основная интегральная метрологическая характеристика средства измерения, дающая предел основной погрешности.

В некоторых случаях класс точности задает и дополнительные погрешности, и другие метрологические характеристики. Значение класса точности выбирают из некоторого числового ряда:

Пример: 0.1 1.5 2.5 0.5/0.2 4- худший класс точности

У электронных осциллографов класс точности отражает другую величину.

Нормирование – задание номинальной характеристики для данного типа средства измерения и допускаемых отклонений для данного результата.

Тип средства измерения – совокупность средств измерений одного и того же назначения, основанная на одном и том же принципе, имеющие одинаковую конструкцию и выполненные по одной технологической документации.

 

Поверка – это выяснение соответствия данного средства измерения своему классу точности.

2 способа поверки – 1. Метод сравнения

2. Метод сличения

 

	ОМ		СИ

1. ОМ – образцовая мера

СИ – поверяемое средство измерения

x_вх х_вых

На ходе ОМ формируется ФВ заданного значения с необходимой точность, причем погрешность ОМ пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью СИ.

δ_ОМ<< δ_СИ Δх=х_вых - х_вх

 

СИ

ОСИ

И

2.

х_{вых си} СИ- поверяемое ср-во измерения

 

ОСИ– образцовое СИ

 

х_{вых оси} И – источник ФВ

 

δ_оси<< δ_си

 

Расстояние между классами точности 2-х приборов 3 или 5.

Δх=х_{вых си} - х_{вых оси}

 

 

Точки поверки – как правило, понимают оцифрованные отметки шкалы, т.е. отметки шкалы под которыми стоят цифры.

Сроки поверки 1 год.

 

Нормирование дополнительной погрешности

.

ξ_i–влияющий фактор

Нормирование дополнительной погрешности СИ сводится к заданию коэффициента влияния или ф-ции влияния.

 

13.Динамический режим СИ.

Описание с помощью дифференциальных уравнений.

Идеальное устройство измерения

k_ном - номинальный коэффициент преобразования

Реальные устройства измерения обладают инерционными свойствами за счет наличия элементов, запасающих энергию: сила трения, упругости, масса подвижных элементов, входная емкость и т.д.

Уравнение движения подвижной части at²+vt+s₀=0

Динамический режим может быть описан:

1) Дифференциальное уравнение

2) Переходные и импульсно-переходные характеристики

3) Частотные характеристики

4) Передаточные функции

 

Поведение средства измерения в динамическом режиме может быть описано линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Пусть статическая погрешность равна 0.

A_i – описывает характер поведения СИ

Общее решение невозможно. Удобно рассмотреть поведение средства измерения отдельно для переходного и установившегося режима.

y_c(t)- общее решение соответствующего однородного дифф. уравнения или свободные колебания (переходный режим СИ)

y_в(t) – частное решение неоднородного дифф. ур-ния, описывающее установившийся режим, т.е. режим вынужденных колебаний.

Для устойчивых СИ, свободные колебания носят затухающий характер, т.е. при увеличении времини приводит к окончанию свободных колебаний

Время установления показаний – выбирается таким, чтобы режим свободных колебаний уже закончился, тогда выходная величина y(t)=y_в(t)

В случае если дифф. уравнение, описывающее СИ имеет высокий порядок, то СИ разбивается на динамические звенья младших порядков.

Динамическое звено первого порядка.

T₁ – постоянная времени; ω₀ – некоторая граничная частота данного динамического звена.

 

Пусть , а также имеет ограниченный спектр.

k_m – max значение преобр. звена первого порядка

 

k_m=k_ном

Дает завышенную оценку, поэтому им следует пользоваться при малых значениях отношения частот (ω_m/ ω₀)

14. Динамический режим СИ.

Переходные и импульсно-переходные характеристики.

1(t) δ(t)

1(t-t₁) δ(t-t₁)

 

h(t-t₁)

g(t-t₁)

 

t₁ t t₁ t

 

δ(t)=d1(t)/dt

Если на входе 1(t), то на выходе переходная функция h(t).

Если на входе δ(t), то на выходе импульсно-переходная характеристика g(t)

g(t)=dh(t)/dt

Интеграл наложения

 

Мы получили возможность используя h(t) и g(t) получить связь м/д входной и выходной величиной в динамическом режиме.

 

Идеальное СИ – y_и=k_номx(t)

Реальное СИ - y(t)=k_номx(t)

 

Динамическое звено первого порядка. Входной сигнал 1(t).

Δh

k_ном

t_у t/T₁

 

T₁ – постоянная времени – характеристика СИ

t_у - время установки показаний.

Когда стрелка устанавливается на середину шкалы,

Задаваясь допустимой погрешностью Δh можно определить значение времени установления показаний.

t_у - динамическая характеристика

весовая функция. g(t)

 

 

 

В основе частотных методов описания средств измерения в динамическом режиме лежит использование частотных характеристик СИ: АЧХ и ФЧХ.

В основе описания динамического режима передаточными функциями лежит преобразование Лапласа.

 

15. Вероятностное описание погрешностей.

Элементы теории вероятностей F(x)

 

- Первый начальный момент – мат ожидание – центр группирования с.в.

- Второй начальный момент

- Второй центральный момент – дисперсия – степень рассеивания с.в.

 

 

- степень отклонения