Проверка статистических гипотез

Нормальное распределение

Таблица 3.1

(значения z_a при различных a и Р_д = 1 - a )

a	1,00	0,50	0,30	0,10	0,05	0,01	0,001
1-a=Р_д	0,00	0,50	0,70	0,90	0,95	0,99	0,999
z_a	0,00	0,6745	1,0364	1,6449	1,9600	2,5758	3,2905

При обработке результатов измерений часто нет предварительных сведений о дисперсии либо среднем квадратическом отклонении результатов наблюдений. Поэтому при построения доверительного интервала для М[Х] используется функция t, представленная соотношением (3.25) и таблицы распределения Стьюдента.

Ввиду того, что знание доверительного интервала при заданной доверительной вероятности дает наиболее полную информацию о значении измеренной величины, точности и достоверности измерения, ГОСТ 8.011 - 72 предписывает указывать его при представлении результатов измерения.

При обработке экспериментальных данных, имеющих статистическую природу (что, вообще говоря, свойственно любым экспериментальным данным), наряду с проведением точечного и интервального оценивания приходится проверять те или иные предположения, гипотезы.

Статистической гипотезой называется некоторое предположение о свойствах генеральной совокупности. Например, предположение, что некоторая случайная величина распределена нормально, является статистической гипотезой. Можно также высказывать гипотезы о значениях числовых характеристик, их соотношениях и т.д. Любая гипотеза формулируется до опыта, на основе априорных соображений, и проверяется на основе последующего эксперимента.

Процедура проверки статистической гипотезы производится при помощи критерия - функции результатов наблюдений, включающей в себя также величины или параметры, относительно которых высказаны предположения. Необходимо, чтобы в случае правильности предположения случайная функция-критерий имела известный закон распределения. Критерий имеет некоторую область возможных значений, которые он принимает в зависимости от конкретной выборки, В соответствии с характером распределения одни значения критерия являются более вероятными, другие - менее. При проверке статистических гипотез ситуацию огрубляют тем, что область маловероятных значений считают совсем запрещенной: если критерий принял столь маловероятное значение, то гипотеза считается неверной, отвергается. Если же критерий принял “достаточно вероятное” значение, то считается, что гипотеза не противоречит опыту и может быть принята. Граница, разделяющая маловероятные значения от вероятных, устанавливается экспериментатором на основании неформальных соображений, внешних по отношению к процедуре проверки гипотезы. Таким образом, область возможных значений делится на две части. Одна называется областью принятия гипотезы, другая (где гипотеза должна быть отвергнута) - критической областью. Чтобы проверить гипотезу, надо вычислить значение критерия и посмотреть, в какую область оно попадает.

Примерами критериев для проверки гипотез могут служить функции (3.23) - (3.25), которые раньше использовались для построения доверительных интервалов.

Поскольку вычисление критерия производится по случайной выборке, то и результат может быть различным. Всегда имеется некоторая вероятность получить как значение, отвергающее гипотезу, так и значение, требующее ее принятия. Иными словами, может быть совершена ошибка. Итак, высказана некоторая гипотеза, которая может быть объективно верна или объективно неверна. Затем извлекается выборка, вычисляется критерий и выносится решение принять гипотезу или ее отвергнуть. Возможные варианты приведены в в табл. 3.2.