Закон суммирования погрешностей

Косвенные измерения физических величин

В результате косвенных измерений определяется значение физической величины, функционально связанной с другими физическими величинами, значения которых равны а1, а2,..., аm:

z = F ( а1, а2,..., аm ).

Пусть каждая из величин аj ( j = 1, 2,..., m ) измерена с погрешностью Dj. Необходимо оценить значение погрешности Dz результата косвенного измерения.

Рассматривая z как функцию m переменных аj, запишем ее полный дифференциал::

dz = ( ¶F/¶a1)da1 + ( ¶F/¶a2 )¶a2 + ... + ( ¶F/¶am ) dam,

или

 

m

dz = å ( ¶F/¶aj ) daj.

j = 1

Положив, что погрешности измерений достаточно малы, заменим дифференциалы соответствующими приращениями:

m

dz = å ( ¶F/¶aj ) Dj. (6.1)

j = 1

 

Каждое слагаемое вида ¶F/¶aj) Dj представляет собой частную погрешность результата косвенного измерения, вызванную погрешностью Dj определения величины aj. Частные производные ¶F / ¶aj носят название коэффициентов влияния соответствующих погрешностей.

Рассмотрим оценивание случайной погрешности результатов косвенных измерений. Пусть величины aj измерены со случайными погрешностями Dj, имеющими нулевые математические ожидания М [ Dj ] = 0 и дисперсии s²j. Использовав формулу запишем выражения для математического ожидания М[Dz ] и дисперсии s² [ Dz ] погрешности Dz:

m

М [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj ) М [ Dj ] = 0;

j = 1

 

m m ¶F ¶F

s² [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj )² s²j + 2 å rkl ½------ ------½ sk sl,

j = 1 k < 1 ¶ak ¶al

 

где rkl - коэффициент корреляции погрешностей D k и D l.

Если погрешности Dj некоррелированы, то

m

s² [ Dz ] = å ( ¶F/¶aj )² s²j (6.2)

j = 1

Таким образом, для оценки результата z косвенного измерения естественно применить формулу

z = F ( а1, а2,..., а m ),

а для оценки систематических и случайных погрешностей соответственно (6.1) и (6.2).

Заметим, что в общем случае при нелинейной функции коэффициенты влияния ¶F/¶aj, присутствующие в этих формулах, в свою очередь являются функциями значений величин aj. Коэффициенты влияния обычно оцениваются путем подстановки в выражения частных производных оценок aj. Следовательно, вместо самих коэффициентов влияния получают лишь их оценки. Кроме того, иногда коэффициенты влияния определяют экспериментально. В том и другом случае они устанавливаются с некоторой погрешностью, что является еще одним источником погрешности при обработке результатов косвенных измерений.

При измерениях может быть несколько источников как систематических, так и случайных погрешностей. Поэтому практически важным является вопрос о правилах нахождения суммарной погрешности измерения по известным значениям погрешностей составляющих ее частей. При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности их конкретные реализации можно рассматривать как реализации случайной величины. Если известны границы q_i составляющих неисключенной систематической погрешности, а распределение этих составляющих в пределах границ равномерно, то граница неисключенной систематической погрешности результата измерения вычисляется по формуле

m

q = k Ö S q_i² ,

i = 1

где k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. При доверительной вероятности 0,95 он принимается равным 1,1 (ГОСТ 8.207-76).

При суммировании случайных погрешностей необходимо учитывать их корреляционные связи. Суммарная средняя квадратическая погрешность при двух составляющих может быть вычислена по формуле

σ_S = Öσ²₁ + σ²₂ + 2 r σ₁ σ₂ ,

где σ₁ и σ₂ - средние квадратические погрешности отдельных составляющих;

r - коэффициент корреляции.

Поскольку на практике трудно получить удовлетворительную оценку коэффициента r, приходится ограничиваться крайним случаями, т. е. считать, что либо r = 0, либо r = ± 1. Тогда приведенная выше формула примет вид

σ_S = Öσ²₁ + σ²₂ , если r = 0

или

σ_S = | σ₁ ± σ₂ | , если r = ± 1.

Таким образом, при отсутствии корреляционной связи средние квадратические погрешности складываются геометрически, а в случае жесткой корреляционной зависимости - алгебраически. Этот вывод справедлив и для случая нескольких источников погрешностей.

Правила нахождения границы погрешности результата измерения при одновременном наличии как неисключенных систематических, так и случайных погрешностей также регламентируются ГОСТ 8.207-76 и заключаются в следующем. Если q / σ_S < 0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата

D_S = D = | t (n) |_Рд σ_S,

где | t (n) |_Рд - коэффициент Стьюдента, определяемый по таблицам. Если q / σ_S > 8, то, наоборот, пренебрегают случайной погрешностью по сравнению с систематической и считают, что граница погрешности результата D_S = q.

В случае, если эти неравенства не выполняются, следует найти композицию распределения случайных и не исключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины, вычислить значение среднего квадратического отклонения и затем границы суммарной погрешности результата измерения при помощи приведенных в ГОСТ 8.207-76 эмпирических формул.