Этот критерий относится к алгебраическим критериям устойчивости. Он накладывает ограничение на коэффициенты характеристического уравнения (3) (предведущий параграф).
Если характеристическое уравнение системы имеет вид (3), причем a0>0, то для устойчивости САР необходимо и достаточно, чтобы были положительными n определителей Гурвица: Δ1,Δ2,Δ3,…,Δn .
Определители Гурвица т.е. диагональные определители квадратной матрицы вида:
ai- коэффициенты характеристического
уравнения 3
Последний определитель Δnможно выразить следующим образом:
Δn=anΔn-1 .Поэтому вычислять егоне требуется, а условие Δn>0 будет выполнятся при Δn-1=0, an=0 и когда Δn-1>0, an=0.
Условия, при котором система находится на границе устойчивости, можно получить при Δn=0и неотрицательности всех других определителей. При этом возможны две ситуации: когда Δn-1=0, an>0 и когдаΔn-1>0, an=0.
Условие Δn-1=0соответствует колебательной границе устойчивости, а условие an=0 соответствует аперидической границе устойчивости.
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица рационально применять для уровнений 4-5 порядка. Сформулируем условие устойчивости на основании этого критерия для систем различного порядка.
Характеристические уравнения I и II степени(порядка).
Для них необходимый критерий устойчивости, заключающийся в положительности всех коэффициентов уравнения, является и достаточным следовательно, условие устойчивости: а0>0; a1>0; a2>0.
Характеристические уравнения III степени(порядка).
Для него имеем: а0>0; a1>0;(из D1)
Следовательно, в этом случае, кроме положительности всех коэффициентов уравнения, требуется еще соблюдение условия:: а1а3>а0а2; ai>0, 
Характеристические уравнения IV степени(порядка).
Для него D1 и D2 те же:
В этом случае для устойчивости системы, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия:
Пример: Исследуем устойчивость следующей системы воспроизведения угла, состоящей из датчика, корректирующего устройства, двигателя и редуктора.
Функциональная схема:
Опишем элементы САР:
Датчик и редуктор можно считать безинерционными с коэффициентами передачи k1, k4.
Усилитель - апериодическое звено первого порядка с коэффициентами передачи k2 и постоянной времени Ty.
В этом случае структурная схема САР:
Для такой САР передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:
Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:
Характеристические уравнение замкнутой системы будет иметь вид:
Для устойчивости такой системы: 
и выполнялось условие 
,
то есть (Ту+Тдв)1>ТуТдв , Ту+Тдв>ТуТдв
Критерии устойчивости Найквиста.
Критерий основан на рассмотрении АФХ разомкнутой системы. По её виду судят об устойчивости замкнутой системы. АФХ разомкнутой системы может быть получена как теоретически, так и экспериментально. Поэтому этот метод имеет преимущество перед алгебраическими критериями устойчивости
Рассмотрим произвольную функцию разомкнутой системы:
,где с(S)- характеристический полином разомкнутой системы.
Положим S =jw ,тогда критерий Найквиста можно будет сформулировать так:
 |
Замкнутая система устойчива, если при изменении w от 0 до ¥ АФХ разомкнутойсистемы (годограф) W(jw) не охватывает точку с координатами (-1, j0).
Вид годографов для устойчивых систем:
Некоторые особенности применения критерия Найквиста появляется при исследовании системы находящейся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости. То есть система имеет нулевые или чисто линейные корни, случай когда система имеет один нулевой корень: c(s)=0. Годограф такой системы при w®0обращается в -¥j, при w® ¥ он стремится к нулю.
В этом случае для сохранения формулировки критерия, справедливой для устойчивых в разомкнутом состоянии систем, включают нулевой корень в левую пролуплоскасть. То есть делают систему условно устойчивой. При использовании этого допущения годограф для системы, находящийся в различном состоянии на апериодической границе устойчивости, дополняется частью окружности бесконечного радиуса. Она проводится от вещественной положительной оси бесконечным радиусом на угол p/2(см рис).
При нескольких нулевых корнях (более высоком порядке астатизме системы) угол дополнения АФХ частью окружности составляет: 
; где n- порядок астатизма системы, то есть число нулевых корней в характеристическом уравнении c(S)=0.
Аналогичны дополнения АФХ дугами окружностей бесконечного (¥)
 |  | ||
радиуса приходиться производить при наличие чисто мнимых корней в характеристическом уравнении разомкнутой системы. В этом случае имеем место разрыва непрерывности. Дополнение производится полуокружностью бесконечно большого радиуса (R) по часовой стрелки, начиная с той ветви АФХ, которая соответствует меньшим частотам.
Примеры систем, имеющих пару линейных корней и один нулевой в характеристическом уравнении разомкнутых систем:
 |
Пример:
Определим устойчивость системы по Найквисту:
АЧХ:
Из рисунка видно, что система будет устойчива, если точка пересечения годографа с осью u будет располагаться правее точки с координатами (-1;j0). Следовательно должно выполнятся условие A(w)<1 (*). Частоту wа можно получить, положив мнимую часть частотной производной функции равной нулю.
; 
; 
;
подставив wа в уравнение (*), получаем:
Определение устойчивости по ЛЧХ.
Для определения устойчивости по критерию Найквиста может строить не
АФХ, а ЛАХ и ЛФХ разомкнутых систем.
Построение:
ЛАХ: 
Построение:
ЛФХ: 
Наиболее простое построение получается если производную функции разомкнутой системы можно свести к виду: 
kn- коэффициент передачи разомкнутой системы;
n- порядок астатизма разомкнутой системы;
Тl,Ti- построение времени.
Тогда, используя подстройку S=jw, получим:
ЛАХ: 
(1)
ЛФХ:
(2)
На основании формулы (1) легко построить асимптоту ЛАХ. Для этого на логарифмическую сетку наносится вертикальные прямые соответствующие частотам 
.
Построение начинается с области низких частот, где через точку с координатами 
и 
проводится прямая с наклоном -20n дБ/дек. Она будет доходить до первой сопрягающей частоты wl или wi. В этой точке асимптота ЛАХ необходимо «изломать» вверх на 20 дБ/дек, если эта частота wl, или вниз на 20 дБ/дек, если эта частота wi.
Наклоны в этих случаях составляет –20(n-1) дБ/дек и –20(n+1) дБ/дек соответственно.
Фазовая ЛФХ строится путём суммирования с соответствующим знаком ЛФХ апериодических звеньев первого порядка. Построение характеристики будет начинаться с угла -np/2 в области низких частот. При построении ЛФХ надо помнить, что для каждого апериодического звена на сопрягаемой частоте wl или wi, фазовый сдвиг составляет 
.
Пример:
 |
Построить асимптоту ЛАХ и ЛФХ для САР, производная функции которой в разомкнутом виде имеет вид:
По виду ЛАХ и ЛФХ легко определить устойчивость систем. Точка пересечения ЛАХ с осью 0 дБ должна лежать левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения (-p). На рисунках приведены примеры различных случаев взаимного расположения ЛАХ и ЛФХ.
В случае наличия комплексных корней в выражениях (1) и (2) появятся члены имеющие соответственно вид: 
и 
.
В этом случае асимптотичную ЛАХ дополняют соответствующим пиком на частоте w=1/Т.
Колебательный сомножитель вносит в ЛФХ сдвиг от 0 до 
если он находится в знаменателе. На частоте 
этот сдвиг составляет. В более сложных случаях выражение для разомкнутой передаточной функции трудно представить в виде сомножителей и оно записывается в общей форме:
.
Построения в этом случае можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах от 0 до ¥.
Критерии качества.
Устойчивость САУ необходимое, но недостаточное условие её практической периодичности. Качество работы любой системы определяется прежде всего точностью управления, то есть величиной ошибки x(t)=g(t)-y(t). Знание мгновенных значений x(t) в течение всего времени работы САУ позволяет наиболее полно судить о свойствах системы. Однако в силу случайности задающих и возмущающих воздействий такой подход не используется. Поэтому приходится судить о качестве САУ по некоторым её свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показаний системы в этом случае используется так называемые критерии качества.
Все критерии качества можно разбить на четыре группы:
1. Критерии точности- используются для оценки величины ошибок, возникающих в различных типовых установившихся режимах.
2. Критерии запаса устойчивости- определяют отдалённость системы от границы устойчивости. Здесь используются два подхода для оценки качества систем по этому критерию. Один основан на анализе переходных процессов системы; другой- на исследовании её частотных характеристик.
3. Критерии быстродействия- используются при оценке быстродействия системы. Под быстродействием понимается, как быстро система реагирует на задающее и возмущающее воздействие. Здесь также используются два подхода: временной и частотный.
4. Комплексные критерии- к ним относятся обобщённые критерии, характеризующие одновременно точность, запас, устойчивость и быстродействие.
Точность в типовых режимах (критерии точности).
Точность работы САУ в установленном режиме оценивается по величине установившейся ошибки или возмущающих воздействий. 
Чем меньше Cу, тем выше качество САУ.
Величина ошибки может быть найдена из дифферинциального уравнения САУ, составленного относительно ошибки.
Его можно получить из системы уравнений:
Разрешив относительно x(t), получим:
(1), где 
В установленном режиме все призводные равны нулю. Следовательно, приняв R = 0, можно получить уравнение установившегося режима. Однако проще установившуюся ошибку определить по передаточной функции. Для этого преобразуем уравнение (1) по Лапласу и разрешим его относительно X(S):
(2)
передаточная функция замкнутой системы по ошибке.
передаточная функции замкнутой системы по ошибке от возмущении.
Установившаяся ошгибка находится при помощи теоремы о конечном значении 
. Подставив сюда формулу (2), получаем:
, здесь xg- установившаяся ошибка от задающего возмущения; xf- установившаяся ошибка от возмущения.
Определение ошибок при типовых воздействиях:
1. Постоянное ступенчатое воздействие g(t)=go1(f), go=const.
Примем также что на САУ воздействует возмущение f(t) такого же вида:
f(t)=fo1(t), fo=const.
Такой режим воздействий широко применяется в системах стабилизации.
Установившаяся ошибка при этих воздействиях называется статической и определяется следующим образом:
;
;
В статических системах ошибка 
, где к-коэффициент усиления разомкнутой системы.
В астатичных системах эта ошибка равна нулю, так как для них W(0)®¥.
В статических системах по отношению к задающему воздействию 
.
2. Воздействие в виде линейной функции g(t)=W1t, где W1=const.
Такой режим используется в следящих системах. Здесь преобразование Лапласа для воздействия g(t),получим:
,
.
.
Такая ошибка называется скоростной. Последнее выражение имеет смысл только при астатизме первого порядка, тоесть когда передаточная функция W(S) имеет вид: 
.
Для системы с астатизмом первого порядка скоростная ошибка будет составлять 
.
Для систем с астатизмом более высокого порядка скоростная ошибка равна нулю.
3. Гармоническое воздействие.
.
Такое воздействие широко применяется при оценки динамической точности САУ. Изображение ошибки от задающего воздействия: 
(1).
Очевидно, что в установившемся режиме ошибка также будет меняться по гармоническому закону с частотой :wg . Амплитуда ошибки может быть определена из (1) путём подстановки S=jwg.
Тогда моржно записать
.
В большинстве автоматических систем g max>>x max и поэтому выражение в знаменателе:
. Тогда моржно записать
(2)
А(wg ) -значение АЧХ разомкнутой системы на частоте wg. Из (2) легко вытекает требование к АЧХ разомкнутой системы, при котором обеспечивается требуемая точность управления 
;
(3).
Она (3) ограничивает местоположение ЛАХ разомкнутой системы требованиями по точности, как показано на рисунке.
 |
4. Медленно меняющееся воздействие произвольные формы.
Если внешнее воздействие f(t) или g(t) имеет достаточно плавную форму, то существенное значение имеет лишь конечное m число производных:
(4)
Соответствующие составляющие установившихся ошибок могут быть определены из передаточной функции замкнутой системы по ошибкам.
Разложим эти передаточные функции в ряд по возрастающим степеням S:
Эти ряды сходятся при малых значениях, тоесть при достаточно больших величинах времени t, что соответствует установившемуся режиму.
Учитывая предположения об ограниченном количестве производных (4) может получить значение установившихся ошибок от задающего воздействия g(t) и возмущающего воздействия f(t):
;
.
gi – коэффициенты ошибок, вычисляются согласно разложению в ряд Тейлора следующим образом:
; 
; …; 
;
;
;
; …; 
.
Коэффициент g0- отличен от нуля только в статических системах 
, для астатичных систем g0=0.
В астатичных системах первого порядка g0=g1=0,. 
.
Коэффициенты 
и 
могут получиться не по выше приведённым формулам, а путём деления многочлена на многочлен. 
и
Оценка запаса устойчивости и быстродействия по частотным показателям качества.
Здесь оценка производится по частотным характеристикам замкнутых или разомкнутых систем. Достоинством этих методов является возможность использования экспериментально снятых отдельных характеристик САУ. Метод оценки по АЧХ замкнутой системы. Её можно получить из передаточной функции, замкнутой системы, путём перехода к S=jw.
H(w)-АЧХ разомкнутой системы:
Возможные очертания АЧХ замкнутой системы вид:
Для большинства систем управления характеристика H(w) имеет резонансный пик H max. Для систем находящихся на колебательной границе устойчивости, характеристика II на частоте wmax имеет разрыв.
Таким образом, чтобы система была достаточно удалена от границы устойчивости, величина пика АЧХ H max должна быть ограничена. Чем больше H max, тем меньше запас устойчивости. При исследовании САУ запас устойчивости принято оценивать по показателю колебательности М. Под ним понимают следующее значение 
. Обычно считается достаточным запас устойчивости если 
.
Мерой быстродейстьвия САУ может служить полоса пропускания Dw, определяемая по виду АЧХ замкнутых систем.
Чем шире полоса прпопускания, тем выше быстродействие системы.
Показателю колебаемости М>1 соответствует резонансная частота wмах, которая приблизительно равна частоте g колебаний замкнутой системы в переходном процессе. При этом время достижения первого перерегулирования 
.
При условии, что переходный процесс заканчивается за одно-два колебания 
.
О запасе устойчивости также можно судить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы, то есть по ЛАХ и ЛФХ. По ним определяется запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде. Запас устойчивости по фазе определяется на частоте w ср :
.
Запас устойчивости считается достаточным, если 
. Запас устойчивости по амплитуде определяется по ЛАХ при частоте, на которой 
.
 |
Запас по амплитуде считается достаточным, если он больше 6-10дБ<b1.
По логарифмическим характеристикам так же можно оценивать быстродействие системы.
По виду передаточной функции тоже можно оценивать запас устойчивости и быстродействие системы.
Запас устойчивости определяется перерегулированием:
Достаточным считается запас устойчивости, если 
.
Быстродействие системы определяется по времени переходного процесса. Переходный процесс считается закончившимся, если:
