Эквивалентные преобразования структурных схем

СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ САУ

 

Структурная схема САУ в простейшем случае строится из элементарных динамических звеньев. Но несколько элементарных звеньев могут быть заменены одним звеном со сложной передаточ­ной функцией. Для этого существуют правила эквивалентного пре­образования структурных схем. Рассмотрим возможные способы преобразований.

Рис. 6.1. Последовательное соединение звеньев

1. Последовательное соединение (рис. 6.1) - выходная величина
предшествующего звена подается на вход последующего. При этом
можно записать:

То есть цепочка последовательно соединенных звеньев преоб­разуется в эквивалентное звено с передаточной функцией, равной произведению передаточных функций отдельных звеньев.

2. Параллельно-согласное соединение (рис. 6.2) - на вход каждо­
го звена подается один и тот же сигнал, а выходные сигналы склады­
ваются. Тогда:

To есть цепочка звеньев, соединенных параллельно - согласно, преобразуется в звено с передаточной функцией, равной сумме пе­редаточных функций отдельных звеньев.

 

Рис. 6.2. Параллельное соединение звеньев

 

3. Параллельно-встречное соединение (рис. 6.3.) - звено охваче­но положительной или отрицательной обратной связью.

Участок цепи, по которому сигнал идет в противоположном направлении по отношению к системе в целом (то есть с выхода на вход) называется цепью обратной связи с передаточной функцией W . При этом для отрицательной ОС:

 

следовательно

Аналогично: – для положительной ОС.

Если W = 1, то обратная связь называется единичной (рис. 6.36), тогда W_экв = W_n /(1 ± W_n).

Замкнутую систему называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке получают цепочку из последова­тельно соединенных элементов (рис. 6.4). Участок цепи, состо­ящий из последовательно соединенных звеньев, соединяющий точку приложения входного сигнала с точкой съема выходного сигнала называется прямой цепью (рис. 6.4б, передаточная фун­кция прямой цепи W_n = W₀ ·W₁· W₂).Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур называют ра­зомкнутой цепью(рис. 6.4.B), передаточная функция разомкнутой цепи W_p = W₁ · W₂ ·W₃ · W₄

Исходя из приведенных выше способов эквивалентно­го преобразования структурных схем, одноконтурная система может быть представлена одним звеном с передаточной функ­цией: W_экв = W_n/(1 ± W_р) - передаточная функция одноконтурной замкнутой системы с отрицательной ОС равна передаточной фун­кции прямой цепи, деленной на единицу плюс передаточная функ­ция разомкнутой цепи. Для положительной ОС в знаменателе знак

Рис. 6.4. Соединения звеньев

минус. Если сменить точку снятия выходного сигнала, то меняется вид прямой цепи. Так, если считать выходным сигнал y_t на выходе звена \V_f то W' = W_g ■ W_r Выражение для передаточной функции разомкнутой цепи не зависит от точки снятия выходного сигнала.

Замкнутые системы бывают одноконтурными и многоконтур­ными (рис. 6.5).Чтобы найти эквивалентную передаточную функцию для данной схемы нужно сначала осуществить преобразование от­дельных участков.

Рис. 6.5. Вид замкнутой САУ

Если многоконтурная система имеет перекрещивающиеся свя­зи (рис. 6.6), то для вычисления эквивалентной передаточной функ­ции нужны дополнительные правила:

4. При переносе сумматора через звено по ходу сигнала необ­ходимо добавить звено с передаточной функцией того звена, через которое переносится сумматор. Если сумматор переносится против хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией, обрат­ной передаточной функции звена, через которое переносим сумма­тор (рис. 6.7).

Так с выхода системы на рис. 6.7а снимается сигнал: y₂=(f+y₀W₀)W₁.

Рис. 6.6. Структурная схема САУ с сумматорами

Рис. 6.7. Способы переноса сумматора:

а - исходная структура; б - перенос сумматора по ходу сигнала;

в - перенос сумматора против хода сигнала

Такой же сигнал должен сниматься с выходов систем на рис. 6.7 б:

и на рис. 6.7в:

При подобных преобразованиях могут возникать неэквива­лентные участки линии связи (на рисунках они заштрихованы).

5. При переносе узла через звено по ходу сигнала добавляется
звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции
звена, через которое переносим узел. Если узел переносится против
хода сигнала, то добавляется звено с передаточной функцией звена,
через которое переносится узел (рис. 6.8). Так с выхода системы на
рис. 6.8а снимается сигнал у₁ = y₀W₁

Такой же сигнал снимается с выходов рис. 6.8б:

и рис. 6.8в:

6. Возможны взаимные перестановки узлов и сумматоров:
узлы можно менять местами (рис. 6.9а); сумматоры тоже можно ме-

Рис. 6.8. Перенос узла разветвления сигнала: а - исходная структура; б - перенос

Рис. 6.9. Различные расположения сумматоров

пять местами (рис. 6.96); при переносе узла через сумматор необхо­димо добавить сравнивающий элемент (рис. 6.9в: у = у₁ +f₁. = > у₁ = у –f₁) или сумматор (рис. 6.9г: у = у₁ +f₁).

Во всех случаях переноса элементов структурной схемы воз­никают неэквивалентные участки линии связи, поэтому надо быть осторожным в местах съема выходного сигнала.

При эквивалентных преобразованиях одной и той же струк­турной схемы могут быть получены различные передаточные функ­ции системы по разным входам и выходам.

1.7 УСТОЙЧИВОСТЬ САУ

1.7.1 Понятие устойчивости В физическом смысле под устойчивостью понимается способ­ность управляемой величины, при действии на объект постоянного возмущения, стремиться к прежнему или новому установившемуся значению. Однако, суждения об устойчивости системы рациональ­нее выводить не из характера изменения управляемой величины, а с помощью косвенных методов, опирающихся на математические модели элементов.

Косвенные методы исследования устойчивости исходят из анализа вида корней характеристических уравнений замкнутой и разомкнутой систем.

Независимо от выбранного канала передачи входного воз­действия вид характеристического уравнения замкнутой системы остаётся неизменным, так как определяет её свободное движение.

В качестве примера рассмотрим САР оборотов двигателя ЭД (рис. 7.1). С валом ЭД связан тахогенератор ТГ, вырабатывающий на­пряжение U пропорциональное W. Сравнение U и заданного зна­чения U₃ приводит к появлению ошибки U_t в виде изменения напряжения на обмотке возбуждения ЭД и оборотов до значения ₃. Исходя из структурной схемы системы (рис. 7.1.в), определим ее реакцию на скачкообразное изменение заданной величины U₃ , считая все звенья системы, кроме ЭД, безынерционными.

ПФ замкнутой системы будет:

 

Рис. 7.1. Схемы САУ оборотами двигателя: а - принципиальная; б - функциональная; в - структурная

Подставив ПФ отдельных звеньев, получим:

 

Для исследования устойчивости системы найдём вид её пере­ходного процесса, для чего получим полное решение x_nm математи­ческой модели замкнутой системы в виде суммы общего х. и част­ного х_ч решений:

Движение системы устойчиво, так как при действии постоян­ного входного возмущения на объект выходная величина при tпринимает постоянное установившееся значение. Такой характер процесса определяется видом общего решения х_об которое должно представлять собой, в более общем случае, затухающие экспоненты. Это возможно только в том случае, если степени экспонент отри­цательны, то есть отрицательны корни характеристического урав­нения замкнутой системы. Отсюда следует математическое усло­вие устойчивости: система считается устойчивой, если все корни характеристического уравнения замкнутой системы отрицательны. Наличие хотя бы одного положительного корня делает переходный процесс расходящимся, а систему неустойчивой.

Все косвенные методы исследования устойчивости направ­лены на определение наличия в характеристическом уравнении замкнутой системы положительных корней. Положительные кор­ни - это действительные или комплексно-сопряженные с положи­тельной вещественной частью.

Характеристическое уравнение замкнутой системы есть сум­ма полиномов числителя и знаменателя разомкнутой системы:

1+ W _PC(p) = R(p) + Q(p) = 0: Т_др + 1 + К₁=0,

или в общем виде:

а₀р + а₁ - 0.

Для уравнения n-го порядка характеристическое уравне­ние будет:

a_Qpⁿ+a₁p^{n-x)₊... ₊ a_n=a₀(p-p₁)(p-p₂)...(p-p_n) = 0 (7.1)

Необходимым условием устойчивости является положитель­ность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это до­казывается подстановкой в уравнение (7.1) значений корней с соот­ветствующим знаком.

1.7.2 Критерий устойчивости Гурвица Условие устойчивости Гурвица сводится к тому, что для ус­тойчивой системы основной и все полученные из него определители должны быть больше нуля.

1.7.3 Критерий устойчивости Михайлова Вводится понятие полинома Михайлова М(р),который сохра­няет структуру и порядок характеристического уравнения замкну­той системы:

 

Рис. 7.2. Расположение элементарных сомножителей

на комплексной плоскости:

а - действительные корни; б - комплексно-сопряженные корни

M(j) = М()- комплексное число со своим модулем M() и фазой, может быть представлено произведением модулей эле­ментарных сомножителей () и фазой, равной сумме их фаз. По­ложение элементарного сомножителя, как вектора па комплексной плоскости (XjУ), определяется значением корня p_t и текущим значе­нием со, которое можно менять от минус до плюс бесконечности.

Найдем расположение элементарных сомножителей на комп­лексной плоскости при различных значениях корней и изменение этого положения при изменении от до +(рис. 7.2).

Отрицательным корням соответствуют элементарные сомно­жители (), расположенные в левой полуплоскости корней и разворачивающихся на угол при изменении от до +. Для

Рис. 7.3. Кривые Михайлова

положительных корней разворот векторов происходит на угол -я. Необходимым и достаточным условием устойчивости замкнутой системы является отсутствие положительных корней характеристи­ческого уравнения и разворот вектора M() на угол n/2 при изме­нении от 0 до +. Это условие обеспечивается только в том слу­чае, если годограф М() последовательно проходит п квадрантов (рис. 7.3).

1.7.4 Критерий устойчивости Найквиста

Критерий позволяет по виду АФЧХ разомкнутой системы су­дить об устойчивости замкнутой системы. Используем выражение

в числителе которого находится характеристическое уравнение замкнутой, а в знаменателе - разомкнутой системы. Как правило, степени полиномов в числителе и знаменателе равны. Так как в за­мкнутом состоянии система должна быть устойчива, то все корни характеристического уравнения замкнутой системы отрицательны, и суммарный угол поворота вектора числителя ппри изменении со от -до +. Если все корни характеристического уравнения ра­зомкнутой системы отрицательны, то угол поворота вектора знаме­нателя также будет равен п, а суммарный угол поворота вектора [1+W(j)] будет равен нулю для устойчивой системы (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Кривые Найквиста 116

Для того, чтобы угол поворота вектора [1+W(j)] был равен нулю, необходимо, чтобы годограф вектора [1+W(j)] не охваты­вал начало координат. Годограф вектора [1+W(j)] ведет себя по отношению к началу координат так же, как годограф вектора W() по отношению к точке (-1;j0).Для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охва­тывала точку (-1; j0), то есть проходила правее неё.

1.7.5 Логарифмический критерий устойчивости Метод является модификацией критерия Найквиста. Имея АФЧХ разомкнутой системы (рис. 7.5), построим из нее отдельные ЛАЧХ и ЛФЧХ (рис. 7.6).

Рис. 7.5. АФЧХ разомкнутой Рис. 7.6. ЛЧХ и ЛФЧХ

системы' разомкнутой системы

Годограф АФЧХ, как правило, гладкий, постепенно убываю­щий по амплитуде с возрастанием частоты, а потому об устойчивос­ти системы можно судить по расположению его векторов W() в точках а и в годографа или по взаимному расположению ЛАЧХ и ЛФЧХ. Система устойчива, если АФЧХ обладает запасами устой­чивости по фазе и по модулю. Выполнение этих условий для ЛЧХ означает такое их взаимное расположение, при котором фаза в точке частоты среза была меньше |-180°|.

1.7.6 Метод D-разбиения Позволяет определить области изменения параметров систе­мы, при которых она остается устойчивой.

Возьмем характеристическое уравнение замкнутой системы:

pⁿ+a₁p^(n-1)

Тогда, откладывая по осям координат значения коэффициен­тов получим в и-мерном пространстве изображающую точку.

Так если характеристическое уравнение имеет третий порядок

p³+a₁p²+a₂p+a₃=0

то изображающая точка находится в трехмерном пространстве (рис. 7.6а).

Изменение значений коэффициентов приводит к перемеще­нию изображающей точки в пространстве коэффициентов. Каждо­му сочетанию значений коэффициентов соответствует определен­ное сочетание корней характеристического уравнения па плоскости корней, на которой выделяются две полуплоскости относительно мнимой оси: левая отрицательных и правая положительных корней. Можно выделить такие области в пространстве коэффициентов, на­зываемых областями D-разбисния, перемещение внутри которых изображающей точки дает одно и то же сочетание корней. Под со­четанием п корней подразумевается присутствие из них т положи­тельных и (п - т) отрицательных.

Рис. 7.6. Метод D-разбиения:

а - изображающая точка в пространстве коэффициентов;

б - корни на плоскости корней

В пространстве коэффициентов можно выделить следующие области D-разбиения:

D (0, п) ;D(1, п-1) ; D(2, п-2) D (п, 0)

Перемещение изображающей точки внутри одного из про­странств D-разбиения соответствует постоянному сочетанию корней. Если изображающая точка находится внутри пространс­тва D (1, п-1).то при любом положении точки М внутри этого пространства в характеристическом уравнении будет 1 отрица­тельный и (п-1) положительных корней. Переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов означает попада­ние изображающей точки в соседнее пространство, при этом по крайней мере один из корней на плоскости корней переходит через границу в соседнюю полуплоскость. Попадание изобража­ющей точки на границу D-разбиения означает попадание хотя бы одного корня на мнимую ось корней. Движение точки М по границе D-разбиения влечет за собой перемещение корня в плоскости корней вдоль мнимой оси. Поэтому говорят, что гра­ница D-разбиения есть изображение мнимой оси пространства корней в пространстве коэффициентов. Области D-разбиения заполняют все пространство коэффициентов. Отсюда формули­руется правило нахождения границы D-разбиения в пространс­тве коэффициентов:

1. Необходимо заставить хотя бы один из корней характерис­тического уравнения быть чисто мнимым. Это означает, что корень попал на мнимую ось и стал равен jo.

2. Необходимо переместить этот корень по мнимой оси. Для этого необходимо менять со от — оо до +».

3. Найти все значения коэффициентов, соответствующих всем значениям комплексного (чисто мнимого) корня.

Рассмотрим D-разбиение по одному параметру. Выделим в ха­рактеристическом уравнении ту часть полинома, в которую входит искомый параметр:

R(p)+WQ(p)=0

R(j)+WQ(i)=0

Тогда

Меняя со от -до +строим кривую D-разбиения. В качестве примера возьмем систему с ПФ:

Найдем предельное значение k при котором система находит­ся на границе устойчивости.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

Находим коэффициент усиления системы, который в общем виде представляет собой комплексное число и строим границы D-раз­биения на комплексной плоскости, изменяя от -до (рис. 7,7):

Реальные значения коэффициента усиления расположены на отрезке ОВ оси абцисс.

Штриховка границ D-разбиения обозначает область значений коэффициентов, для которых количество отрицательных корней на

плоскости корней больше, чем в области, лежащей с противопо­ложной стороны от штриховки.

Во внутренней заштрихо­ванной области вероятность того, что все корни характеристичес­кого уравнения отрицательны, максимальна. Переход с внешней на внутреннюю сторону штри­ ховки означает переход положи- тельных корней через мнимую

 

ось в левую полуплоскость, где они становятся отрицательными, и наоборот. Необходимо проверить внутреннюю область на наличие положительных корней. Выберем k = 0 (в начале координат). Тогда из характеристического уравнения найдем его корни:

Корни все отрицательны, а внутренняя область кривой D-раз-биения D (3,0) - область устойчивости.

1.8 МЕТОДЫ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

1.8.1 Качество процессов управления

О качестве процесса управления в системе можно судить по ряду основных её характеристик (время переходного процесса, пе­ререгулирование и т.д.). В установившемся режиме качество про­цесса управления оценивается по величине остаточной, статической ошибки воспроизведения регулируемого параметра при действии на систему постоянного по величине возмущения f. Обозначив в на­иболее общей структурной схеме САУ (рис. 8.1) передаточные фун­кции объекта и автоматического регулирование через W₀, W_p, полу­чим передаточные функции системы по отдельным каналам.

Так, передаточные функции, связывающие отклонение регу­лируемой величины (ошибку) с возмущением f имеет вид:

где W(p) - передаточная функция разомкнутой системы. По каналу Хз - Хр получим

 

Ф(р)=.

Передаточная функция за­мкнутой системы при отсутствии в её контуре интегрирующего звена может быть переписана в

виде:

где к - статический коэффициент усиления разомкнутой системы. В установившемся режиме р = d/dt = 0 и статическая ошибка

Если передаточная функция разомкнутой системы содержит одно последовательно включенное интегрирующее звено (так называ­емые астатические САУ), то ошибка при . Действительно,

где W"(p) - передаточная функция разомкнутой системы без интег­рирующего звена.

Для оценки качественных характеристик системы в динами­ческом режиме служит ряд методов.

1.8.2 Оценка динамических свойств системы частотными методами

Осуществляется по значениям показателей качества переход­ного процесса. К таким показателям относятся время регулирова­ния, затухания переходного процесса, перерегулирование, статис­тическая ошибка, колебательность, вид переходного процесса и т.д. Сложность заключается в установлении связи между технологичес­кими показателями качества управляемого процесса и достаточно общими характеристиками качества переходного процесса. Необ­ходимо интерпретировать технологические показатели качества на языке показателей качества динамического процесса САУ.

Грубой оценкой качества САУ служит степень приближения частотной характеристики к точке (-1; j0) (рис. 8.2).

Рис. 8.2. Связь ЛФЧХ и переходных процессов:

а - АФЧХ при различных коэффициентах усиления;

б - переходные процессы для различных АФЧХ

Чем ближе находится АФЧХ разомкнутой системы к точке (-1;j0) (рис 8.2а), тем колебательнее переходный процесс (рис. 8.2б). Степень приближения АФЧХ к точке (-1; j0) оценивается запасом по амплитуде m и запасом по фазе (рис. 8.2.а).

При переходе к логарифмическим ЧХ степень приближения АФЧХ к точке (-1; j0) оценивается запасами по модулю и по фазе.

1.8.3 Нахождение ВЧХ замкнутой системы и оценка с их помощью качества переходного процесса

Комплексные коэффициенты усиления замкнутой и разомкнутой систем связаны со­отношением

Выделяя в правой части вещественную часть, получаем вы­ражение для построения вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы.

По одному из вышеприведенных уравнений можно построить ВЧХ, примерный вид которой изображен на рис. 8.2.

Оценка качества переход­ного процесса с помощью ВЧХ основана на использовании одно­значной связи между процессом и вещественной частотной харак­теристикой. Математически эта связь выражается формулой

Используя это соотношение можно косвенно оценить гра­ницы переходного процесса по амплитуде и длительности, указать его начальные конечные значения, оценить перерегулирование. Ниже дается ряд правил, на основании которых производится такая косвенная оценка.

1. Если ВЧХ Р() ограничена по модулю на всем диапазоне
существенных частот , то кривая переходного процесса также огра­
ничена по модулю. При этом справедливо |Р()| < М и |X(t)| < М.

2. Если при некоторой частоте ₂, имеет место неограниченное
возрастание Р() (P()), to соответствующий переходный процесс
будет иметь характер незатухающих гармонических колебаний. Чем
больше пик ВЧХ, тем колебательней переходный процесс в системе.

3. Если ВЧХ Р() может быть представлена в виде суммы от­
дельных характеристик

то переходный процесс будет получен как сумма частных переход­ных процессов

4. Если вещественные частотные характеристики связаны соотношением Р₁() = кР₂(), то соответствующие им переходные процессы определяются соотношением Х₁(t) = кХ₂(t).

5. Преобразованию ВЧХ Р() вдоль оси частот со, выражен­ному формулой P₁(n) = Р₂(), соответствует преобразование пере­ходных процессов X₁(t/n) = Х₂(t).

Иными словами, чем более плавно идет частотная характерис­тика, тем быстрее затухает переходный процесс.

6. Предельное значение переходной функции равно значению P() при нулевой частоте lim X(t) = limР().

7. Начальное значение переходной функции равно предельно­му значению ВЧХ

8. Если Р() является положительной возрастающей функци­ей частоты, т.е. Р() > 0, 0 < < _c и dP()/d0, то перерегулиро­вание не превышает 18% нового установившегося значения X(t).

9. Если Р() в интервале существенных частот 0 со­храняет положительный знак, где _c - частота, при которой Р(_с) = 0, то время, соответствующее этой характеристике переходного про­цесса, t_n > /_c .

10. В случае невозрастающей непрерывной функции Р(), ко­
торую можно аппроксимировать трапецией с нижним основанием _c,
время соответствующего переходного процесса заключено в пределах

1.8.4 Оценка качества САУ по показателю колебательности

АЧХ замкнутой системы (рис. 8.3а) по своему виду напомина­ет АЧХ колебательного звена.

Для колебательного звена величина пика АЧХ определяется коэффициентом демпфирования, переходный процесс при этом бу­дет обладать различной колебательностью. Можно предположить, что и по величине пика АЧХ замкнутой системы возможно судить о качестве её переходного процесса. АЧХ замкнутой Ф() и разом­кнутой W() систем связана соотношением

 

 

где X = U(), Y = V(). На комплексной плоскости U, jV строится

семейство окружностей равных значений М с радиусом M/(M²-1) сдвинутым относительно начала координат по оси абсцисс на вели­чину M/(M²-1) (рис. 8.4).

Касание годографом АФЧХ разомкнутой системы, нанесен­ным на ту же плоскость, окруж­ности индекса Мопределит значе­ния показателя колебательности замкнутой системы Ф_т (). Для получения удовлетворительного качества переходного процесса с малой колебательностью необхо­димо стремиться к М = 1,31,5.

По взаимному пересечению
годографа W(j) с окружностя­
ми М возможно построение АЧХ. Для этого в точках пересечения определяются значения М и частоты по годографу W(j).

Касание годографом АФЧХ разомкнутой системы, нанесен­ным на ту же плоскость, окружности индекса М определит значения показателя колебательности замкнутой системы Ф_т(). Для полу­чения удовлетворительного качества переходного процесса с малой колебательностью необходимо стремиться к М= 1,31,5.

По взаимному пересечению годографа W(j) с окружностями М возможно построение АЧХ замкнутой системы. Для этого а точ­ках пересечения определяются значения М и частоты со по годогра­фу W(j).

1.8.5 Метод трапецеидальных частотных характеристик

Метод основан на использовании свойств частотных характе­ристик дает возможность приближенного построения переходного процесса. ВЧХ, имеющая вид трапеции, называется трапецеидаль­ной характеристикой. В этом случае, если основание ₁, и высота P(о) трапеции равны единице, она называется единичной (рис. 8.6) и полностью характеризуется коэффициентом наклона эе = _k/_l

Рис. 8.6. Масштабирование ВЧХ

Нахождение переходного процесса для ВЧХ в виде единичной трапеции сводится к решению интеграла при следующих значениях Р():

Решение определяется выражением

где S_i (aе)- интегральный синус; т - время единичного процесса.

Формула показывает, что h() является функцией только од­ного параметра эе и позволяет рассчитывать единичный переходный процесс для различных значений коэффициента наклона эе.

Для произвольной трапецеидальной ВЧХ с параметрами Р_i(о),и ae_i., используя свойства ВЧХ, можно определить переходный процесс пересчетом масштабов по осям Р() и со процесса, соответс­твующего единичной ВЧХ с тем же aе_i:

Построение переходного процесса для произвольной трапе­ции выполняется следующим образом. Определяется наклон трапе­ции эе=, затем по таблицам находят единичный переходный процесс. Производится изменение его масштабов по оси Р() в Р_i () раз, а потом по оси t в _il раз.

 

В общем случае ВЧХ задается графически в виде кривой Р() (рис. 8.7,а). ВЧХ на интервале существенных частот аппроксимиру­ется алгебраической суммой площадей трапецеидальных частотных характеристик так, чтобы она равнялась площади, ограниченной ВЧХ Р() и осью частот .

Рис. 8.7. Построение переходных процессов методом трапеций:

а - исходная ВЧХ; б - переходный процесс в системе

Для каждой трапеции находится эе_i и строится переходный процесс Х_i(t). Все переходный процессы строятся в одинаковом масштабе один под другим с учетом знака площадей трапеций (рис. 8.7,6). Суммированием получается результирующий переходный процесс.

1.8.6 Интегральные критерии качества переходного процесса

 

Линейная интегральная оценка вида , где X(t) -отклонение регулируемого параметра, позволяет косвенно оценить время и величину перерегулирования колебательного переходного процесса. Применение интегральных оценок особенно эффективно при сравнении близких по физическим свойствам систем. Наилуч­шим будет тот процесс, у которого площадь, заключенная между кривой переходного процесса и осью абсцисс, аналитически выра­жена как , будет наименьшей.

Кроме линейных, большое распространение получили квад­ратичные интегральные оценки. Примером такой оценки является

интеграл вида I₀ = .В этом случае интегральный критерий качества сводится к требованию минимума интеграла 1₀. Однако при­менение такой оценки к системам со скачкообразным изменением входа дает в ряде случаев сильноколебательный процесс с большой частотой, поэтому была предложена в качестве интегральной оцен­ки величина I₂ =. которая позволяет учитывать не только изменение регулируемой величины, но и её скорость.

Найдем вид переходного процесса при минимизации I₂ При­бавим и вычтем в подынтегральном выражении 2ТХХ, преобразуя его к виду:

Требование минимума I₂ сведется к требованию минимума по­дынтегрального выражения, т.е. ТХ + X = 0. Равенство ТА' + X = 0 дает идеальную кривую в виде экспоненты. Выбирая T, можно полу­чить плавный переходный процесс заданной длительности.

1.8.7 Использование нормированных диаграмм для оценки качества и выбора параметров систем

 

Для суждения о количественной стороне динамических процес­сов в САУ необходимо связать интегральные оценки, выступающие в виде относительных характеристик переходного процесса, с конкрет­ными показателями качества такими, как время регулирования, сте­пень затухания, вид и колебательность переходного процесса.

Задача существенно упростится, если записать неоднородное уравнение в безразмерной форме Вышнеградского, что делает урав­нение максимально простым при наименьшем возможном числе не­зависимых коэффициентов. При этом квадратичные интегральные оценки могут быть записаны также в нормированном виде. Нанесе­ние их на диаграммы, построенные в координатах общих парамет­ров системы, позволяет установить область лучшего качества и ко­личественно оценить качественные показатели процесса.

Обозначив A_VA₂, B_v B_:i через А, В, B_v Д. перепишем (8.6) с уче­том равенства коэффициентов в левой и правой частях исходного уравнения:

Найдем выражения для квадратичных интегральных оце­нок в нормированном виде по общему методу, рекомендованному Л.И. Мандельштамом.

Из (8.7) находим однородное уравнение в виде

которое умножаем поочередно на

Интегрируем (8.8) почленно, причем интегралывида берем по частям до тех нор, пока интегрирование не закончится или пока не получим интеграл вида

Поскольку система устойчива, то при t -» °о все значения z и его производных обращаются в нуль. В результате получится систе­ма из п уравнений (в нашем случае - трех)

где/² = J™ z²dt; I! = CizYdt; /₂ - £(M)²dt.

Из этой системы определяется любая из величин /²,1[, 1₂-Так

В данном случае оцеш<;а Р была найдена для однородного урав­нения. Однако любое неоднородное уравнение может быть приведе­но к однородному путем пересчета начальных условий; это можно сделать, найдя начальные значения z₀,Z₀,Z₀ по формулам операци­онного исчисления

Так как значение квадратичной интегральной оценки опре­деляется суммой квадратов площадей между отклонением и уста­новившимся значением регулируемой величины, то необходимо перенести ось времени вверх на величину статической ошибки

системы Д, тогда z₀ = 1 - Д , а остальные начальные значения не изменяются.

Подставляя величины z₀,z_Q,z₀ в (8.9). находим постоянные С₁, С₂, С₃ в (8.9). Квадратичная интегральная оценка примет вид

нанесем на плоскость Вышнеградского.

Рассмотрим принцип построения диаграммы Вышнеградского.

Качество переходного процесса (свободного движения систе­мы) определяется видом корней характеристического уравнения. Рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка. Для него возможны лишь два класса сочетания корней:

класс 0 - все корни вещественные (процесс чисто апериоди­ческий);

класс I - среди корней имеется пара комплексных;

класс I, в свою очередь, разбивается на два подкласса:

А - ближайшей к мнимой оси является пара сопряженных комплексных корней (процесс колебательный);

Б - ближайшей к мнимой оси является вещественный корень.

Предположим, что ближайшим к мнимой оси корень располо­жен от нас на расстоянии и (рис. 8.9.). Сместим мнимую ось влево

Рис'. 8.9. Квадратичные оценки на диаграмме Вышнеградского: а - перенос мнимой оси; б - диаграмма Вышнеградского

 

на величину п. В этом случае один из корней характеристического уравнения станет чисто мнимым, и система будет находиться на гра­нице устойчивости. Рассмотрим исходное уравнение

 

Произведя в нем замену Р = z - ц, что соответствует переносу мнимой оси влево на величину л, получим смещенное уравнение

Для подкласса Б вещественный корень находится на новой мнимой оси; в этом случае при

 

Из условия (8.14) определяем

Так как вещественный корень является наименьшим по моду­лю, все остальные корни должны находиться левее новой мнимой оси, удовлетворяя следующему условию устойчивости вырожден­ного уравнения:

Совместное решение уравнений (8.17) дает кривые Р и R на рис. 8.9,6. Область апериодичности, когда ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, лежит выше границы R - Q для нее выполняются условия Л₃ > 0; А_х > 0 и А_ъ > 0; Л₂ > 0. В области, огра­ниченной кривыми Р и R, все корни вещественные.

Полагая в (8.15) л = const получим кривые, соответствующие корням, равностоящим от мнимой оси на заданные величины г\ (рис. 8.9.). Ниже границы R = Q лежит область с подклассом кор­ней А. Условие Гурвица в этом случае имеет вид А_ъ ^ 0, А_пЛ ~ А_; ⁼ 0; отсюда А А₂ - А, = 0. Подстановка значений A_vA_y Л₃ из (5.14) дает

По последнему равенству строятся кривые разных значений вещественных частей комплексно-сопряженных корней (рис. 8.10.).

На диаграмму могут быть нанесены кривые равной колеоа-тельности ц. Колебательность для данной пары комплексных кор­ней равна отношению мнимой части со к действительной:

Рис. 8.10. Кривые комплексно-сопряженных корней

 

Подставляя в (8.18) общее выражение для корпяотделяя мнимую часть от вещественной и производя подстановку ю = tju., получим:

Задаваясь различными значениями колебательности ц. (рис. 8.10.) и рассматривая г| как пример, изменяя его от нуля до бесконечности, можно вычертить кривые равной колебательности на плоскости корневых характеристик. Граница, отделяющая об­ласть устойчивости от области неустойчивости, определяется из (8.18) при ц = 0 так, как в этом случае комплексно-сопряженные корни попадают на мнимую ось и их вещественные части стано­вятся равными нулю. Имеем ЛВ -1 = 0 или АВ = 1. Граница пред­ставляет собой гиперболу, ниже которой находится область неус­тойчивости.

Нанесем теперь на диаграмму Вышнеградского кривые пос­тоянных значений квадратичной оценки, полученные по (8.11) при подстановке в нее величины (1 - Д) = 1. Но так как (1 - Д) - k/(i + k), то предел этой разности равен единице только при больших k, когдаиндексация кривых равных значений квадратичных

интегралов изменится, но расположение области минимальных зна­чений обобщенных параметров А и В останется прежним.

Как видно из диаграммы, минимум интегральной оценки на­ходится вблизи точки Д, однако из-за близости ее к границе устой­чивости лучше брать параметры системы правее этой точки.

Кривые равных значений квадратичных интегралов дают воз­можность путем подбора параметров получить различные по харак­теру переходные процессы в системе с одной и той же длительнос­тью регулирования.

Диаграмма Вышнеградского позволяет выбирать, задаваясь определенными значениями обобщенных параметров А и В, не только вид переходного процесса (апериодический, колебатель­ный, неколебательный) в системе, но его быстродействие и коле­бательность, исходя из условия обеспечения заданного перерегу­лирования.

Находя по значениям коэффициентов исходного дифферен­циального уравнения системы обобщенные параметры А и В, опре­деляют соответствующую им точку на диаграмме и нормированное значение запаса устойчивости ц. Время регулирования вычисляют из выражения

где s - относительная допустимая ошибка в установившемся режи­ме, которая принимается равной 0,05; л - действительное значение запаса устойчивости

Допустимое перерегулирование а находится из соответствия

здесь ц - требуемая степень колебательности систем.