Постановка задачи оценки параметров и основные определения.

ТЕОРИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК

 

В общем виде задача оценки ( измерения ) параметров сигналов при приеме на фоне помех может быть сформулирована следующим образом. Пусть в течении фиксированного интервала времени [0≤t≤T] наблюдается некоторая реализация случайного процесса.

Являющаяся детерминированной скалярной функцией от полезного сигнала s (t,l,q ) и помехи n (t).

Полезный сигнал s ( t,l,q ) является детерминированной функцией своих аргументов и в общем случае содержит кроме фиксированного числа известных параметров Р неизвестных параметров, подлежащих оценке и неизвестных параметров , которые не интересуют наблюдателя и в оценки которых нет необходимости. В дальнейшем первый класс неизвестных параметров будем называть оцениваемыми (существенными) параметрами, а второй класс-сопровождающими (несущественными мешающими или паразитными).

Одним из основных условий задачи оценки параметров сигнала является требование независимости оцениваемых(существенных) параметров от времени в течении интервала приема [0,T].

Будем, полагать, что оцениваемый многомерный параметр  является непрерывной векторной случайной величиной в некотором заданном интервале возможных значений.

На основе наблюдения и анализа принятой реализации x (t) необходимо решить, какие значения из заданного интервала принимают интересующие наблюдателя параметры в этой реализации x (t) необходимо произвести измерение, т.е. выработать оценку искомого многомерного параметра l.

Оценка параметра сигнала - это некоторая, определенным образом выбранная, система функций (или одна функция) от наблюдаемых данных x (t). Значения этих функций при фиксированной реализации x (t) оценивают (т.е. определяют заданным способом) неизвестные параметры сигнала.

В зависимости от требований, предъявляемых к процессу оценки и к самим оценкам параметров. Возможны разнообразные методы оценивания. При этом каждая оценка характеризуется своим показателем качества, который в большинстве случаев указывает меру близости оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Показатель качества оценки, в свою очередь, определяется выбором критерия качества оценки или сокращенно критерия оценки. Поэтому, прежде чем построить оценку, нужно выбрать критерий оценки.

Выбор критерия оценки зависит от конечной задачи, для которой используется оценка параметра сигнала. В связи с тем, что эти задачи могут значительно отличаться, не может быть единого критерия оценки и единственной оценки для данного параметра сигнала. В частности, это обстоятельство затрудняет сравнение различных оценок.

Сравнение оценок возможно только при использовании одного и того критерия.

Критерии оценок могут быть получены на основе интуитивных представлений, о целевом назначении оценки. Однако особый интерес представляет разработка формального подхода к выбору тех или иных критериев.

Термин « оценка » имеет два значения.

Во-первых он используется для обозначения процесса или алгоритма изменения неизвестного параметра сигнала, и, во-вторых, оценкой называют измеренное значение неизвестного параметра.

Из-за наличия помех и конечного времени наблюдения сигнала любой оценке присущи ошибки, определяемые как критерием качества оценки, так и условиями, при которых происходит процесс оценки. Поэтому задача оптимальной оценки параметра l состоит в том, чтобы найти такой алгоритм определения (оценки) параметра l, при котором для заданного критерия оценки эти ошибки решения (оценки) были бы минимальными.

Если задан критерий оценки, то на его основе формируется показатель качества оценки, зависящий от ошибок, и задача получения оптимальной оценки сводится к нахождению процедуры решения, которая минимизирует или максимизирует этот показатель качества.

Другими словами задача построения оптимальных (в соответствии с заранее выбранными критериями) оценивающих устройств состоит в том, чтобы оперируя определенным образом над принятыми данными x (t) получить как можно большую информацию об интересующих наблюдателя параметрах сигнала.

Интуитивно ясно, что оценка параметра l должна быть близка, в некотором смысле, к истинному значению оцениваемого параметра, причем оптимальная оценка в соответствии с выбранным критерием должна минимизировать эту меру близости.

Будем полагать, что неизвестным параметром сигнала является один существенный параметр l, хотя выводы, которые будут сделаны, останутся справедливыми для совместной оценки нескольких параметров.

В общем случае оценка неизвестного параметра будет функционалом (функция от функции).

Оцениваемый параметр является случайной величиной. В такой ситуации наиболее полные сведения о возможных значениях параметра l даются апостериорной плотностью вероятности

,

которая является условной плотностью вероятности параметра l при условии, что принята данная реализация x (t).

Выражение для апостериорной плотности вероятности может быть получено из теоремы об условных вероятностях двух величин l и x, где под x [x1, x2, …,xn ] понимается многомерная выборка из реализации x (t) на интервале времени [0,T ]. Согласно теореме об условных вероятностях

(1)

имеем

 

(2)

Здесь - априорная плотность вероятности оцениваемого параметра l;

W (x) - плотность вероятности многомерной выборки X из реализации x (t).

Плотность вероятности W (x) не зависит от текущего значения оцениваемого параметра l и может быть найдена из условия нормировки плотности вероятности WPS (l):

(3)

Интегрирование ведется по априорной области L всех возможных значений оцениваемого параметра l.

С учетом (3) выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать как

(4)

Условная плотность вероятности выборки наблюдаемых данных x (при условии, что оцениваемый параметр имеет значение l)

,

рассматриваемая как функция от l, называется функцией правдоподобия. Эта функция при фиксированной выборке x показывает, насколько одно возможное значение параметра l «более правдоподобно», чем другое.

Для того, чтобы избежать трудностей при математических действиях вводят отношение правдоподобия

(5)

где W(x1, x2, …, xγ/s =0) -плотность вероятности выборки наблюдаемых данных при отсутствии сигнала.

Применительно к анализу непрерывной реализации на интервале [0,T] введено понятие функционала отношения правдоподобия

где - интервал между выборками, причем число выборок равно целой части дроби .

Если полезный сигнал содержит несколько векторных параметров, например l и q, то отношение правдоподобия двух векторных параметров запишется в виде

(7)

При оценке одного векторного параметра l отношение правдоподобия м.б. найдено из отношения правдоподобия , если известно априорное распределение q.

Представим априорную плотность вероятности параметров l и q в виде

(8)

Тогда для функции правдоподобия параметра l можно записать

(9)

Подставляя (9) в (5) имеем

если параметры l и q независимы, то

Выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать в виде

где q- нормирующий коэффициент, не зависящий от параметра l:

Апостериорная плотность вероятности оцениваемого параметра и отношение правдоподобия являются случайными функциями, зависящими от принятой реализации.

В теории статических оценок используют два вида оценок: интервальные (доверительные ) и точечные.

При интервальных оценках необходимо указать интервал, в котором с вероятностью, не меньшей заданной, содержится значение неизвестного параметра. Эта заданная вероятность называется коэффициентом доверия, а указанный интервал возможных значений оцениваемого параметра - доверительным интервалом.

При оценке в точке неизвестному параметру приписывают одно значение параметра из интервала возможных его значений, т.е. на основе анализа принятой реализации x (t) вырабатывается некоторая величина, которую используют в качестве истинного значения параметра.