Характеристики случайных процессов гибели и размножения.

Процессом гибели и размножения будем называть случайный дискретный марковский процесс, множество состояний которого (х_о, х₁, х₂…х_n) ставиться в однозначное соответствие с рядом целых неотрицательных чисел {0,1,2 …n} и для любого состояния этого процесса (за исключением граничных состояний х_о и x_n) соседними состояниями может быть только те, индексы которых отличаются от индекса рассматриваемого состояния на величину ±1. Покажем граф состояний гибели и размножения:

Например, соседними для состояния x_k является состояния x_k+1 и х_k-1 (k≠0, k≠n). Для начального состояния х_о соседними являются состояния х₁. На рисунке изобразим одну из возможных реализаций процесса гибели и размножения, начальное состояние которого равно нулю [x(0) = x_o = 0]. В моменты t₁,t₂…t₈ случайная функция x(t) уменьшалась на единицу, в остальные моменты времени, где случайная функция x(t) терпит разрыв, она увеличивалась на единицу.

 

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8

Таким образом, случайный процесс гибели и размножения представляет собой случайную скачкообразную функцию x(t), скачки которой могут принимать значения ±1, если случайная функция x(t) отлична от 0 и величины n. Если случайная функция x(t)=0, то скачок может иметь значение (+1), а если x(t) =n, то скачок может иметь значение (-1). Если n→∞, то такие процессы называют процессами без ограничения х на число состояний.

Одно из основных задач прикладной теории случайных марковских процессов при изучении процессов гибели и размножения является отыскание характеристик случайной функции x(t):

− мат. ожидания M[x(t)]= m_x(t)

− дисперсии D[x (t)] =μ[] где =x(t) – m_x(t) центрированная случайная функция

− корреляционная функции k_x(t,t´) = M[,].

Приведём размеченный граф состояний марковского процесса гибели и размножения

l_о l _k-1 l _k l_n-1

 

μ₁ μ_k μ _k+1 μ_n

Потоки событий, интенсивности которых обозначены l, приводят к размножению процесса (увеличению случайных функций x(t)), а потоки событий, интенсивности которых обозначены буквой M, способствуют гибели процесса (уменьшению случайной функции x(t)). Все эти интенсивности потоков могут быть любыми неотрицательными функциями времени.

Помимо процессов гибели и размножения существуют процессы «чистого размножения» и «чистой гибели».

Процесс чистого размножения, это такой процесс, для которого случайная функция времени x(t) является неубывающей функцией времени. Для этого процесса интенсивности всех потоков, переводящие процессы «налево», равны нулю: M_k º0 (k=). Неотрицательный процесс чистого размножения имеет место тогда, когда начальное состояние этого процесса отлично от n (x(0)<x_n=n).

Процесс чистой гибели – это такой процесс, для которого случайная функция x(t) является невозрастающей функцией времени. Для этого процесса интенсивности всех потоков, переводящие процесс «направо», равны нулю: l_kº0 (k=). Нетривиальное начальное состояние для такого процесса должно быть отлично от 0 [x(0)>xo=0].

Своё название процессы гибели размножения получили потому, что с помощью такой модели впервые рассматривались биологические процессы размножения и гибели популяций. В настоящее время эти процессы широко применяются для количественного исследования различных военных, инженерных, биологических и экономических задач.

Все вероятные характеристики процессов гибели и размножения зависят только от следующих параметров:

1) Количества состояний процесса гибели и размножения гибели n+1;

2)Интенсивности потоков «размножения» l_k (k=);

3) Интенсивностей потоков «гибели» M_k (k=).

Интенсивности потоков l_k и M_k являются по своему определению математическими ожиданиями некоторых случайных функций, т.е. являются в общем случае неотрицательными неслучайными функциями времени.

 

Характеристики случайных процессов гибели и размножения без ограничения на число состояний процессов при l_k=l и μ_k=k*μ.

 

Рассмотрим процесс гибели и размножения, представленный размеченным графом:

l l l

 

μ kμ (k+1)μ

Такой размеченный граф состояний без ограничения на число состояний описывает процесс обслуживания техники при неограниченном числе каналов или процесс накопления техники.

Действительно, если для системы массового обслуживания при неограниченном числе каналов и без взаимопомощи между каналами состояния x_k состоит в том, что в момент времени t число обслуживаемых заявок равно k, интенсивность потока обслуживаний равна l и μ, то размеченный граф состояний изображённый на рисунке соответствует такой системе.

В качестве другого примера можно рассматривать процесс накопления техники одного типа. Интенсивность потока событий l - интенсивность производства вооружения, интенсивность потока событий μ – интенсивность выхода из строя одной единицы техники, а состояние x_k состоит в том, что в момент времени t в строю находится k единиц вооружения.

Введём в рассмотрение случайную функцию x(t) – число единиц вооружения в строю в момент времени t и найдём её характеристики:

μ[x(t)] = m_x(t)

k_x(t,t´) = μ[,]

D[x(t)] = D_x(t)

В соответствии с размеченным графом состояний, система диффере вид:нциацией уравнений для вероятностей состояний будет иметь такой

(1)

где p_k(t) = P(x(t) = k) (k=0,1,2…)

В выражении (1) интенсивности потоков событий l и μ могут быть любыми неотрицательными функциями времени.

Чтобы найти математическое ожидание случайной функции x(t) правые и левые части уравнения для производной [] умножим на k и произведем суммирование по всем k. Получим:

m_x(t)=

Решением этого уравнения при начальных условиях m_x(0)t=m_o будет:

Если l и μ = º cons получим

m_x(t)=

Если m_xo=0 выражение примет вид

m_x(t)=

Дисперсия случайного процесса x(t) описывается формулой

D_x(t) =, то есть математическое ожидание числа единиц техники, находящиеся в строю, равно дисперсии этой же случайной величины в любой момент времени t. Равенство математического ожидания имеет место для случайной величины, подчинённой закону Пуассона.

Корреляционная функция случайной функции x(t)

k_x(t,t´) = , (t´>t).

Примеры применения понятий марковских процессов:

Пример №1. Рассмотрим пример развёртывания производства единиц техники, когда интенсивность производства этих единиц задана выражением:

Т.е. на участке (0;t₁) происходит развёртывание производства единиц техники по линейному закону, а затем, при достижении интенсивности выпуска, равной kt₁ = l, эта интенсивность в дальнейшем останется постоянной. Интенсивность выхода из строя одной единицы техники постоянна, равна m и не зависит от времени.

Найдём математическое ожидание числа единиц техники сначала на участке (0,t₁), считая, что при t_o=0, p_o(0)=1, т.е. начало процесса отсчитывается от момента развертывания производства техники [m_x(0)=p_x(0)=0]. Для этого найдём решение уравнения

Это решение уравнения

на участке (0, t₁) при D_x(0)=0

Имеет место равенство D_x(t)=m_x(t).

Для нахождения характеристик m_x(t) и p_x(t) при t>t₁ достаточно перейти к времени τ = t – t₁, при этом соответствующие начальные условия будут иметь вид

m_{x τ =0} =D_{x τ =0} = .

Так как на участке τ>0 (t>t´) интенсивность потоков х и μ постоянные, то можно воспользоваться ранее найденными решениями

Для t>t₁ также выполняется тождество m_x(t)≡D_x(t).

В случае, если в какой – то момент t₂≥ t₁ производство единиц техники прекращается, то математическое ожидание будет иметь вид:

,

где

Пример№2. Рассмотрим вопрос о производстве легковых автомашин. Допустим, что к началу планового периода в стране имелось 2*10⁶ легковых автомашин и в течение ближайших лет предполагается производить по 10⁶ легковых автомашин в год. Средний срок службы автомашин равен 10 лет. Требуется определить max число легковых автомашин, которое может быть в стране при таком производстве и рассмотреть динамику роста числа автомашин.

Т.к. в рассматриваемом примере интенсивность l=10ⁿ (n=6) и μ=1/10 постоянные, то можно воспользоваться формулой для определения математического ожидания числа автомашин в стране:

где t измеряется в годах. При этом практически установившейся режим наступит через время, определённое из выражения 0.1t=3, откуда t_y=30 лет, и к этому времени число автомашин в стране будет около 10⁷.

Так как к началу планируемого периода известно, что имеется ровно 2*10⁶ автомобилей, то D_x(0)=0 и выражение для определения дисперсии будет иметь вид:

Из этого выражения видно, что дисперсия всегда будет меньше математического ожидания и лишь в середине (при t→∞) приближается к нему. Через 30 лет дисперсия будет приблизительно равна 10⁷, а СКО 3.16*10³. На основании «правила 3δ» можно утверждать, что к этому времени число автомашин в стране будет колебаться в пределах 10⁷10⁴ .

В случае увеличения среднего срока службы автомашин до 20 лет при той же интенсивности производства все приведённые выше формулы примут вид:

t_y=60 лет

а общее число машин будет колебаться в пределах:

m_x ±3δ_X = 2*10⁷ ±1.34*10⁴.