Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний.

Размеченный граф состояний системы.

 

Пуассоновский поток событий, переводящий систему из состояния x_ί в состояние x характеризуется одной функцией: интенсивностью потока событий l _{ί, j} (t ), которая, может быть любой неотрицательной функцией времени. Таким образом, исчерпывающей характеристикой марковского случайного процесса, имеющего n+1 состояние (x_o, x₁, x_n ) является квадратная матрица интенсивностей ║l(t)║ порядка (n+1,n+1) элементами которой являются интенсивности пуассоновских потоков l_ί,j(t ), при этом l_ί,ί(t )≡0

(ί=0n ):

(1)

Этой матрице интенсивностей ║l║ соответствует ориентированный граф состояний G(x), в котором размер ребра, связывающего состояния x_j, равен интенсивности потока событий l _{ί, j} (t ).

Граф G(x) на котором помимо направлений перехода, указаны и интенсивности потоков событий, будем называть размеченным графом состояний.

Каждому размеченному графу состояний соответствует система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний. Для вероятностей состояний запишем следующую систему дифференциальных уравнений:

(2)

Для формализации правила составления и решения системы дифференциальных уравнений (2) введем в рассмотрение:

1)матрицу-столбец вероятностей состояний порядка (n+1,1) элементы которой представляют искомые вероятности состояний марковского процесса

2) матрицу-строку ║l _{x, ί}║ порядка (1,n+1) элементы которой равны элементам ί-го столбца матрицы интенсивности ║l ║:

║ l _{ί, x} ║=║l _{ί, о} ; l _{ί, 1} ; …. l _j,ί ; … l _{n, ί} ║

3) матрицу-строку ║l _ί,x ║ порядка (1,n+1) элементы которой равны элементам ί-го строки матрицы интенсивности ║l ║:

║l _{ί, x} ║=║l ί, о ; l ί, 1 ; …. l ί, j ; … l ί, n ║

4) матрицу-строку ║ί║ порядка (1,n+1) в которой все элементы равны нулю, кроме одного, равного единице и стоящего на ( ί+1 ) месте ║ ί║= ║ 0,0; … 0,1. 0, … 0 ║ (ί =0,n)

i n-i

5) единичную матрицу – столбец ║ Е ║ порядка (n+1,n )

Обозначим произведение матрицы ║А║ справа на матрицу ║В║:

Систему уравнений (2) можно записать следующим образом

Система уравнений (3) интегрируется при начальных условиях, заданных матрицей-столбцом начальных условий (5), элементы которой удовлетворяют двум условиям:

(4).

условие (4) называется нормировочным.

Для любого конечного числа состояний n+1 решение системы уравнений (3) для любого момента времени t при начальных условиях (5) удовлетворяет двум условиям

Обозначим Т _x,ί – такое преобразование, которое ставит в соответствие каждой квадратной матрице ║ l ║ матрицу- строку, элементы которой равны элементам ί-го строки матрицы ║ l ║ :

а Т _x,ί- такое преобразование, которое ставит в соответствие каждой квадратной матрице ║ l ║ матрицу-строку, элементы которой равны элементам ί-го столбца матрицы ║ l ║:

Тогда алгоритм составления и решения уравнений марковского процесса может быть следующим:

1) составляется квадратная матрица интенсивностей ║ l ║, т.е. дается набор функций, либо указывается алгоритм получения этих функций.

2) составляется и вводится в память ЭВМ матрица-столбец начальных условий ║р ( 0) ║.

3) составляется алгоритм преобразования Т _{ί, x}

4) составляется алгоритм преобразования Т_x,ί

5) составляется программа ввода ║ί║

6) составляется программа ввода ║Е║

7)составляется программа умножения матрицы-строки порядка (1,n+1) справа на матрицу-столбец порядка (n+1,1)

8) производится умножение

9) определяется матрица

10) производится умножение

11)результат умножается на –1

12) определяется матрица ║l _x,ί ║

13) производится умножение

14) составляется программа решения дифференциального уравнений

.

Шаг интегрирования при решении зависит от величины коэффициентов, стоящих при переменных, которые отыскиваются т. е. зависят от интенсивностей потоков событий .

Переменный шаг интегрирования можно найти из условий:

где

выбор такого шага интегрирования обеспечивает приемлемую точность и относительно небольшое время решения задачи на ЭВМ.