И квазидетерминированных сигналов

Аналоговая фильтрация детерминированных

Для обнаружения детерминированного сигнала известной формы на фоне помех смесь сигнала и помехи обрабатывается с целью нахождения с максимальной вероятностью сигнала в наблюдаемом случайном процессе. Поскольку форма сигнала известна и нет необходимости ограничивать частотные искажения, вносимые фильтром, добиваются, чтобы в процессе фильтрации обеспечивалось максимально возможное превышение амплитуды сигнала над помехой. Задача решается с помощью оптимального линейного фильтра – частотно-избирательной системы, выполняющей обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом.

Если для обработки сигнала и шума используется стационарный линейный фильтр с импульсной характеристикой h(t), то, согласно теории линейных стационарных систем, детерминированный полезный сигнал х_вх(t) создает на выходе отклик, описываемый формулой, носящей название интеграл Дюамеля:

Согласованным фильтром называется такой линейный фильтр, у которого импульсная характеристика h(t₀) (t₀ – зафиксированный момент времени t=t₀) выбрана таким образом, чтобы модуль отклика х_вых (t₀) имел максимальное значение. Следовательно, подлежащий максимизации по модулю отклик имеет вид

. (5)

На основании неравенства Коши-Буняковского

. (6)

Знак равенства имеет место тогда, когда сомножители в подынтегральном выражении пропорциональны друг другу:

, (7)

где k – произвольный коэффициент.

Выполнив формальную замену переменной t=t₀-t, получим:

. (8)

Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию зеркального (относительно оси времени) изображения х_вх(-t) входного сигнала х_вх(t), смещенную по оси времени относительно сигнала х_вх(-t) на отрезок t₀.

На рис. 4 показано построение функции h_согл(t) применительно к некоторому импульсному сигналу х_вх(t) длительностью t_и, возникающему при t=0. Как видно, необходимым (но недостаточным) условием физической реализации согласованного фильтра является следующее: промежуток времени t₀ между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности выделяемого импульса. При несоблюдении этого условия h(t)¹0 при t<0, т.е. до момента поступления дельта-импульса на вход фильтра.

Рис.7.4. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

Другими словами, для создания максимально возможного мгновенного значения сигнала на выходе согласованный фильтр должен предварительно провести обработку всего входного сигнала.

Если х_вх(t) – сигнал, по отношению к которому рассматриваемый линейный фильтр является согласованным, а z_вх(t) – некоторый входной сигнал, не совпадающий с х_вх(t), то отклик фильтра имеет вид

или (9)

Выражение (9) является не чем иным, как взаимокорреляционной функцией сигналов z_вх(t) и х_вх(t), т.е.:

. (10)

В момент времени t=t₀

. (11)

Если z_вх(t)= х_вх(t), т.е. на входе фильтра присутствует сигнал, по отношению к которому этот фильтр согласован, то, согласно (10):

. (12)

Это означает, что выходной сигнал пропорционален автокорреляционной функции входного сигнала, сдвинутой по времени на отрезок t₀, и следовательно, при согласованной фильтрации формы сигналов на входе и на выходе могут сильно отличаться. На рис. 5 это обстоятельство проиллюстрировано на примере построения сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом.

а)

б)

в)

Рис. 5. Построение сигнала на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом: а – сигнал на входе; б – его автокорреляционная функция; в – сигнал на выходе для случая, когда максимум выходного колебания достигается в момент окончания импульса на входе.

Определим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра. Для этого воспользуемся преобразованием Фурье, связывающим импульсную характеристику и частотный коэффициент преобразования K(jw). С учетом формулы (8) получим

. (13)

Ведя новую переменную интегрирования y=t₀ – t₁, получим

. (14)

Использовав формулу преобразования Фурье, окончательно получим:

, (15)

где – функция, комплексно-сопряженная по отношению к ; t – момент времени, в который отношение сигнал/помеха достигает наибольшего значения.

Как видно, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала. Множитель k соответствует усилению, вносимому фильтром, а t₀ влияет на фазовую характеристику фильтра (показатель степени при е). В целом e^-^j^w^t описывает смещение отклика фильтра по оси времени на величину t₀.

Из сказанного следует, что модуль |K(jw)| должен быть пропорциональным модулю спектральной плотности сигнала на каждом малом участке оси частот. Выделяя известный полезный сигнал из смеси с шумом, фильтр пропускает с малым ослаблением только те гармонические колебания, частоты которых отвечают участкам спектра, на которых спектральная плотность полезного сигнала отлична от нуля. Примером может служить фильтр с гребенчатой формой АЧХ, используемый для фильтрации смесей, в которых спектр полезного сигнала имеет дискретную структуру (рис.6).

Рис. 6. АЧХ гребенчатого фильтра (a),

соответствующая спектру полезного сигнала (б)

Имеется возможность еще большего повышения эффективности обнаружения согласованного фильтра. Так как в общем случае

то сигнал на выходе согласованного фильтра достигает максимума

(16)

в момент времени t₀, когда все элементарные составляющие входного сигнала складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.

Задача оценки информативных параметров квазидетерминированных сигналов, наблюдаемых на фоне помех, решается также с помощью оптимального фильтра обнаружения. Такой подход обосновывается тем, что для снижения случайной погрешности оценки параметра А в момент t=t₀ измерения выходного напряжения фильтра, по которому оценивается данный параметр, превышение сигнала х(t) над помехой должно быть максимальным.

Представим квазидетерминированный сигнал в виде

где u(t) – известная функция времени, описывающая форму сигнала, наблюдаемого на фоне помех со спектральной плотностью энергии W(jw).

Максимальное значение выходного сигнала фильтра в момент времени t=t₀

. (17)

Следовательно, коэффициент масштабного преобразования должен устанавливаться исходя из соотношения

. (18)

Структура линейного фильтра, реализующего рассмотренный алгоритм оценки параметра показана на рис. 7.

Аддитивная смесь z(t) сигнала х(t) и помехи умножается на образцовый сигнал u(t), формируемый генератором Г в интервале времени (0; t₀), усредняется в И и масштабируется в П. Выходной величиной фильтра являются оценки параметра а сигнала х(t). Образцовый сигнал И(t) определяет импульсную характеристику фильтра линейной оценки, согласованной с формой полезного сигнала.

Рис. 7.7. Структура линейного фильтра:

И – интегратор; Г – генератор; П – преобразователь