Критерий допустимого отклонения

Трудность практической реализации методов Котельникова и железного приводят к использованию в ряде случаев других методов выбора частоты квантования сигналов по t.

Если известен закон изменения непрерывной функции x(t) с определенной достоверностью, то целесообразна замена исходной функции аппроксимирующей.

В общем случае, исходная функция x(t) аппроксимируется полиномом, кривая которого совпадает с кривой функции x(t) для выбранных дискретных моментов времени . Интервалы квантования выбранных так, чтобы в их пределах максимальная величина или средне-квадратичное значение отклонения, или интегр., или вероятн. функции от исходной не превышали допустимых значений.

В простейшем случае – аппроксимация кусочно-линеная или ступенчатая . При кусочно-линейной аппроксимации полином I пор. все точки кривой исходной функции, соед. среднеми отрезками прямой.

 

По критерию Железнова отклонения, выбор частот квантования производится из условия, что отклонение аппроксимирующей ломаной кривой от исходной функции на каждом интервале дискретизации не превосходило бы заданного значения.

;

Задача решается с помощью интерполяционной формулы Ньютона, по которой значение функции для любого момента времени внутри интервала определяется:

Погрешности аппроксимации: определяется остаточным членом L(t) интерполяционной формулы. Чем выше порядок аппроксимируещего полинома, чем меньше (погрешность аппроксимации).

Критерий отклонения относится к детерминированому случаю, когда известен закон изменения x(t). Реальные сигналы случайны, и этот критерий имеет определенную неточность. При случайной характеристике исходной функции пользуются критериями средне-квадратичного отклонения.

При ступенчатой аппроксимации полином 0 порядка о значении функции в любой момент времени t в интервале судят по значению функции x(t) в точке .

; ;

;

Задаваясь , определяют:

;

Закон распределения погрешности зависит от закона распределения x(t). Функция x(t) подчиняется определенному закону распределения f(x).

Весь диапазон измерения функции x(t) при квантовании разбиваем на интервалы . Пусть - случайное отклонение действительного значения функции x(t) от ближайшего меньшего дискретного значения сигнала.

Вероятность появления ошибки может быть определена как вероятность P() попадания значения функции x(t) в участок любого из интервала квантования.

,

где f(x)dx – элементарные вероятности, n – число уровней квантования.

Дифференцируем обе части по , получим дифференциальный закон распределения погрешности квантования:

 

;

;

 

Правая часть – это приближенное выражение площади, заключенной между осью Х и кривой f(x). Это приближение тем точнее, чем больше n. В пределе :

(вероятность находится x(t) в [0, ]=1)

;

Лекция №14