Свойства непрерывного вейвлет-преобразования
Линейность.Линейность непрерывного вейвлет-преобразования следует из линейности скалярного произведения (3.3.2.а).
Пусть функции f(t) и g(t)???L2. Тогда,
CWTf,g(a,b) = CWTf(a,b) + CWTg(a,b). (3.4.1)
Cf,g(a,b) = Cf(a,b) + Cg(a,b).
Сдвиг.Рассмотрим непрерывное преобразование вейвлет-функции f1(t) = f(t-b’). Тогда Cf1(a,b) = Cf(a,b-b’)
(3.4.2)
то есть вейвлет – образ функции также сдвигается на b’. Это иллюстрируется на рис.3.8.
Рис.3.8.
Иллюстрация свойства сдвига непрерывного вейвлет-преобразования: сдвиг функции во временной области ведет к сдвигу ее вейвлет-образа
Масштабирование.Рассмотрим далее непрерывное преобразование вейвлет-функции , где множитель введен для сохранения энергии.
Имеем:
Cf1(a,b) = Cf(a/c, b/c)
То есть вейвлет-преобразование также подвергается масштабному преобразованию. Это означает, что, если функция расширяется во временной области, то в масштабно-временной (частотно-временной) плоскости [a,b] она также расширяется (рис.3.9).
Рис.3.9. Иллюстрация свойства масштабирования при с=2 (Преобразование вейвлет-функции f1(t) CWTf1(a,b) «перекрывают» CWTf(a,b))
Аналог теоремы Парсеваля.Для каждой функции f(t) L2 и ее непрерывного преобразования вейвлет справедливо следующее соотношение:
(3.4.3)