Свойства непрерывного вейвлет-преобразования

Линейность.Линейность непрерывного вейвлет-преобразования следует из линейности скалярного произведения (3.3.2.а).

Пусть функции f(t) и g(t)???L2. Тогда,

CWTf,g(a,b) = CWTf(a,b) + CWTg(a,b). (3.4.1)

Cf,g(a,b) = Cf(a,b) + Cg(a,b).

Сдвиг.Рассмотрим непрерывное преобразование вейвлет-функции f1(t) = f(t-b’). Тогда Cf1(a,b) = Cf(a,b-b’)

 

(3.4.2)

то есть вейвлет – образ функции также сдвигается на b’. Это иллюстрируется на рис.3.8.

Рис.3.8.

Иллюстрация свойства сдвига непрерывного вейвлет-преобразования: сдвиг функции во временной области ведет к сдвигу ее вейвлет-образа

Масштабирование.Рассмотрим далее непрерывное преобразование вейвлет-функции , где множитель введен для сохранения энергии.

Имеем:

Cf1(a,b) = Cf(a/c, b/c)

То есть вейвлет-преобразование также подвергается масштабному преобразованию. Это означает, что, если функция расширяется во временной области, то в масштабно-временной (частотно-временной) плоскости [a,b] она также расширяется (рис.3.9).

 

Рис.3.9. Иллюстрация свойства масштабирования при с=2 (Преобразование вейвлет-функции f1(t) CWTf1(a,b) «перекрывают» CWTf(a,b))

 

Аналог теоремы Парсеваля.Для каждой функции f(t) L2 и ее непрерывного преобразования вейвлет справедливо следующее соотношение:

(3.4.3)