Непрерывное вейвлет-преобразование

Введем базис, отвечающий перечисленным выше условиям:

(3.3.1)

 

где множитель необходим для сохранения нормы

||ψa,b(t)|| = ||ψ(t)||.

Пусть a,bR, то есть принимают произвольные вещественные значения, тогда пара преобразований, которое носит название непрерывного вейвлет-преобразования, обозначаемое как CWT – continuous wavelet transform, будет иметь вид:

(3.3.2а)

С увеличением а импульс расширяется, с изменением параметра b перемещается по оси времени t.

Признаки вейвлета – это короткие, ограниченные во времени волны, расширяющиеся или сжимающиеся в зависимости от параметра a и перемещающиеся во времени в зависимости от параметра b. Непрерывных базисных вейвлетов насчитывают около 20. Изменяя посредством параметра a ширину вейвлета (то есть его длительность τ), можно тем самым влиять на ширину частотного спектра.

Само прямое и обратное вейвлет-преобразования сигнала x(t) имеют вид:

Таким образом, частотный анализ при Ф-преобразовании в виде функции S(ω) заменяется на частотно-временной анализ с помощью С(a,b), где а-определяет частоту, b-определяет время. C(a,b) более сложная функция, чем S(ω) и с помощью программ строится в трехмерном пространстве и называют ее спектрограммой.

ВП – есть процедура, которой эквивалентно прохождение сигнала через ПФ. Причем чем больше значение параметра а и шире вейвлет, тем уже соответствующая ему АЧХ эквивалентного фильтра. То есть, другими словами, ВП – фильтрация сигнала с помощью ПФ, перестраиваемых во времени.

Рис.3.7. Примеры базисных функций вейвлет:

а)WAVE-вейвлет;

б)MHAT-вейвлет (мексиканская шляпа);

в)Вейвлет Морле.