Вейвлет-преобразование.
Базисные функции частотно-временного анализа.
Итак, частотно-временной анализ предназначен для выявления локальных частотно-временных возмущений сигнала. Вследствие кратковременности таких возмущений, сам сигнал может рассматриваться как заданный в L2, то есть для одномерных сигналов – на всей действительной оси R(-∞,∞) с нормой
||f(t)²||<∞.
Следовательно, базисные функции, которые получили название вейвлетов, также должны принадлежать L2 и быстро убывать при |t|→∞. Тогда, чтобы перекрыть такими базисными функциями все возможные временные положения сигнала, необходимо, чтобы базисные функции представляли собой набор смещенных во времени функций. Удобнее всего, если этот набор образуется из одной и той же «материнской» функции ψ(t) (прототипа), сдвинутой по оси t, то есть {ψ(t-b)}. Чтобы обеспечить частотный анализ, базисная функция должна иметь еще один аргумент – масштабный коэффициент, который является аналогом частоты в Фурье-анализе. Тогда базисные функции для частотно-временного анализа будут иметь вид
где масштабный коэффициент a введен как делитель t, причем масштабированию подвергается также и сдвиг b. Это позволяет сохранить относительную «плотность» расположения базисных функций по оси t при расширении или сжатии самой функции и при b/a=Δ=const (Рис.3.6).
Рис.3.6. Вейвлет-преобразование на плоскости время-частота
а)пример базисных функций вейвлет при различных масштабах: 
б)изображение функций в плоскости время-частота
а) б)
Таким образом, базисные функции для частотно-временного анализа должны обладать следующими свойствами:
1) Ограниченность, то есть принадлежность L2
2) Локализация. Базисные функции вейвлет-анализа, в отличие от преобразования Фурье, должны быть локализованы, то есть определены на конечном интервале как во временной, так и в частотной областях.
Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:
(3.2.1)
при ε>0.
3) Нулевое среднее. Равенство нулевого момента
(3.2.2)
4) Все базисные вейвлеты имеют то же число осцилляций, что и материнские (исходные).