Плоскость частота-время
ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫЕ СВОЙСТВА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
Для анализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различных базисов используют плоскость частота-время. Любая функция φ(t) может характеризоваться интервалом It на временной оси и интервалом Iω в Фурье области, в которых содержится 90% ее энергии, сосредоточенной около центра тяжести функции |φ(t)|² и |Ф(ω)|². Тогда в этой плоскости функцию φ(t) можно изобразить в виде прямоугольника, как показано на рис.3.1.
Рис.3.1.
Характеристика частотно-временной локализации функции φ(t)
1) Очевидно, что смещение функции на τ от исходного состояния вызовет перемещение прямоугольника параллельно оси t.
2) Модуляция этой функции комплексной экспонентой сдвигает прямоугольник параллельно оси ω (рис.3.2.)
Рис 3.2.
Влияние смещения на τ и модуляции функции φ(t) на ее положение на плоскости время-частота
3) Масштабирование функции (ее сжатие или растяжение) приводит к развороту прямоугольника. Действительно, получим новую функцию φ1(t) масштабированием функции φ(t) на коэффициент a:
φ1(t) = φ1(at).
Энергия такой функции:
Следовательно, ширина функции φ1(t) равна .
В соответствии со свойствами масштабирования Фурье-преобразования Iω=aIω. Влияние масштабирования на положение функции в плоскости время-частота показано на рис.3.3.
Рис.3.3. Положение функции φ(t) на плоскости время-частота при масштабировании на коэффициент a<1: φ1(t) = φ(at)
В качестве примеров функций, иллюстрирующих эффективность их представления в плоскости время-частота, рассмотрим δ-функцию Дирака и Фурье-базис. Известно, что δ-функция является идеальным базисом для временного анализа сигналов. Результатом такого анализа являются отсчеты, которые можно рассматривать как временной спектр сигнала. На плоскости время-частота δ-функция δ(t-kτ0) выглядит как показано на рис.3.4.а, то есть эта функция обладает свойством хорошей временной локализации, но плохой локализацией в спектральной области (она имеет равномерный спектр на всех частотах). Базисные функции Фурье-анализа, наоборот, обладают хорошей частотной локализацией в то время, как во временной области они имеют бесконечную протяженность (см. рис.3.4.б).
Рис.3.4а δ-функция Дирака на плоскости время-частота
Рис.3.4б. Базисные функции Фурье-анализа на плоскости время-частота