Плоскость частота-время

ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫЕ СВОЙСТВА БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ

Для анализа и сравнения частотно-временных локализационных свойств различных базисов используют плоскость частота-время. Любая функция φ(t) может характеризоваться интервалом It на временной оси и интервалом Iω в Фурье области, в которых содержится 90% ее энергии, сосредоточенной около центра тяжести функции |φ(t)|² и |Ф(ω)|². Тогда в этой плоскости функцию φ(t) можно изобразить в виде прямоугольника, как показано на рис.3.1.

 

Рис.3.1.

Характеристика частотно-временной локализации функции φ(t)

1) Очевидно, что смещение функции на τ от исходного состояния вызовет перемещение прямоугольника параллельно оси t.

2) Модуляция этой функции комплексной экспонентой сдвигает прямоугольник параллельно оси ω (рис.3.2.)

 

Рис 3.2.

Влияние смещения на τ и модуляции функции φ(t) на ее положение на плоскости время-частота

 

3) Масштабирование функции (ее сжатие или растяжение) приводит к развороту прямоугольника. Действительно, получим новую функцию φ1(t) масштабированием функции φ(t) на коэффициент a:

φ1(t) = φ1(at).

Энергия такой функции:

Следовательно, ширина функции φ1(t) равна .

В соответствии со свойствами масштабирования Фурье-преобразования Iω=aIω. Влияние масштабирования на положение функции в плоскости время-частота показано на рис.3.3.

 

Рис.3.3. Положение функции φ(t) на плоскости время-частота при масштабировании на коэффициент a<1: φ1(t) = φ(at)

В качестве примеров функций, иллюстрирующих эффективность их представления в плоскости время-частота, рассмотрим δ-функцию Дирака и Фурье-базис. Известно, что δ-функция является идеальным базисом для временного анализа сигналов. Результатом такого анализа являются отсчеты, которые можно рассматривать как временной спектр сигнала. На плоскости время-частота δ-функция δ(t-kτ0) выглядит как показано на рис.3.4.а, то есть эта функция обладает свойством хорошей временной локализации, но плохой локализацией в спектральной области (она имеет равномерный спектр на всех частотах). Базисные функции Фурье-анализа, наоборот, обладают хорошей частотной локализацией в то время, как во временной области они имеют бесконечную протяженность (см. рис.3.4.б).

Рис.3.4а δ-функция Дирака на плоскости время-частота

 

 

Рис.3.4б. Базисные функции Фурье-анализа на плоскости время-частота