ПРОЕКТИРОВАНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО

При выполнении проектных процедур решаются задачи синтеза и анализа описаний. При решении задач синтеза определяются состав элементов и способ их связи между собой, а при решении задач анализа оцениваются свойства синтезированной структуры.

Процесс проектирования делится на этапы. Этап объединяет выполнение проектных процедур по созданию описаний, относящихся к одному аспекту или иерархическому уровню.

 

 

 

Математическое обеспечение автоматизированного проектирования (АП) включает в себя математические модели объектов проектирования, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур.

Требования к математическим моделям. Математи­ческие модели (ММ) служат для описания свойств объ­ектов в процедурах АП. Если проектная процедура вклю­чает создание ММ и оперирование ею с целью получения полезной информации об объекте, то говорят, что про­цедура выполняется на основе математического модели­рования.

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая

модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов. Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отражает габариты резистора, как детали, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваются вектором выходных параметров Y=(у₁ у₂,...,у_m)- Тогда, обозначив истинное и рассчитанное с помощью ММ значения j-го выходного параметра через y_{j ист} и y_jm cоответственно, определим относительную погрешность έ_jрасчёта параметра y_j как

ε_{j =} (y_{jм –} y_{j ист})/ y_{j ист} (2.1)

Получена векторная оценка έ=(έ₁ , έ_{2, ….,} έ_m).При необходимости сведения этой оценки к скалярной используют какую-либо норму вектора ε, например ε_m=||ε||= max ε_j

J€[1: m]

(2.2)

Адекватность ММ – способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних X,. погрешность ε_j, зависит от значений Q и X. Обычно значения внутренних параметров ММ определяют из условия минимизации погрешности ε_m в некоторой точке Q_ном пространства внешних переменных, а используют модель с рассчитанным вектором X при различных значениях Q. При этом, как правило, адекватность модели имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних переменных— области адекватности (ОА) математической модели:

OA = [Q | ε_m ≤δ),

где δ >0 — заданная константа, равная предельно допустимой погрешности модели.

Экономичность ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени Т_м и памяти П_м) на её реализацию

Чем меньше Тм и Пм, тем модель экономичнее. Вместо значений Т_м и П_м,, зависящих не только от свойств модели, но и от особенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины, например: среднее количество операции, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системы уравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.

Требования высоких точности, степени универсальности, широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы. Наилучшее компромиссное удовлетворение этих противоречивых требований зависит от особенностей решаемых задач, иерархического уровня и аспекта проектирования. Это обстоятельство обусловливает применение в САПР широкого спектра математических моделей.

Классификация математических моделей. Основные признаки классификации и типы ММ, применяемые в САПР, даны в табл. 2.1.

 

Таблица 2.1
Признак классификации	Математические модели
Характер отображаемых свойств объекта Принадлежность к иерархическому уровню   Степень детализации описания внутри одного уровня Способ представления свойство объекта   Способ получения модели	Структурные; функциональные Микроуровня; макроуровня; метауровня   Полные; макромодели   Аналитические, алгоритмиче­ские, имитационные   Теоретические, эмпирические

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

Структурные ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные ММ топологические и геометрические.

В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки соединений) или к относительным моментам времени (например, при разработке рас­писаний, технологических процессов). Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц (матриц), списков и т. п.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алге-брологических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта; графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, и т. п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в машиностроении, приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используют несколько типов геометрических ММ.

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями применяют ММ, представляемые в аналитической или алгебрологической форме (аналитические, алгебрологические). Аналитические ММ — уравнения поверхностей и линий, например уравнение плоскости имеет вид ax+by + cz + d=0, а эллипсоида — вид (х/а)²+(у/Ь)²+ + (z/c)² + d=0, где х, у, z — пространственные координаты, а, Ь, с, d — коэффициенты уравнений. В алгебрологических ММ тела описываются системами логических вы­ражений, отражающих условия принадлежности точек внутренним областям тел.

Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели оказываются слишком громоздкими, их трудно получать и неудобно использовать. Область их применения обычно ограничивается поверхностями плоскими и второго порядка.

В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложными поверхностями применяют ММ каркасные и кинематические.

Каркасные ММ представляют собой каркасы — конечные множества элементов, например точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности. В частности, выбор каркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению поверхности на отдельные участки. Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравнениями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.

В кинематических ММ поверхность представляется в параметрическом виде R(u, v), где R= (х, у, z), а u и v; — параметры. Такую поверхность можно получить как результат перемещения в трехмерном пространстве кривой R(u), называемой образующей, по некоторой направляющей линии.

Коэффициенты уравнений во всех рассмотренных моделях, как правило, не имеют простого геометрического смысла, что затрудняет работу с ними в интерактивном режиме. Этот недостаток устраняется в канонических моделях и в геометрических макромоделях.

Канонические модели используют в тех случаях, когда удается выделить параметры, однозначно определяющие геометрический объект и в то же время имеющие простую связь с его формой. Например, для плоского многоугольника такими параметрами являются координаты вершин, для цилиндра — направляющие косинусы и координаты некоторой точки оси, а также радиус цилиндра.

Геометрические макромодели являются описаниями предварительно отобранных типовых геометрических фрагментов. Такими фрагментами могут быть типовые сборочные единицы, а их макромоделями — условные номера, габаритные и стыковочные размеры. При оформлении конструкторской документации макромодели используют для описания типовых графических изображений, например зубчатых колес, винтовых соединений, подшипников и т. п.

Функциональные ММ предназначены для отображения физических или информационных процессов, протекающих в

объекте при его функционировании или изготовлении. Обычно функциональные ММ представляют собой системы уравнений, связывающих фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры.

Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Выделение аспектов описания приводит к выделению моделей электрических, механических, гидравлических, оптических, химических и т. п., причем модели процессов функционирования изделий и модели процессов их изготовления различные, например модели полупроводниковых элементов интегральных схем, описывающих процессы диффузии и дрейфа подвижных носителей заряда в полупроводниковых областях при функционировании прибора и процессы диффузии примесей в полу­проводник при изготовлении прибора.

Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро- и ме-тауровнями.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на м и к р о у р о в н е является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне— дифференциальные уравнения в частных про­изводных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравне­ний (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и уста-

новившихся состояний объектов. Модели для ус­тановившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраиче­ских уравнений. Порядок системы уравнений зави­сит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы прибли­жается к 10³, то опериро­вание моделью становится затруднительным и поэто­му необходимо перехо­дить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов исполь­зуемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для эле­ментов фазовые переменные, а фигурируют только фазо­вые переменные, относящиеся к взаимным связям эле­ментов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существен­но более сложных объектов, чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых пе­ременных, как напряжения и токи. В результате ММ становится системой логических уравнений, описываю­щих процессы преобразования сигналов. Такие логиче­ские модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового эбслуживаиия, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.

Структурные модели также делятся на модели раз­личных иерархических уровнен. При этом на низших иерархических уровнях преобладает использование гео-

метрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ — модель, в которой фигурируют фа­зовые переменные, характеризующие состояния всех име­ющихся межэлементных связей (т. е. состояния всех эле­ментов проектируемого объекта).

Макромодель — ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укруп­ненном выделении элементов.