Глава 4. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Контрольные вопросы

1. Детерминированными или случайными функциями l являются априорная ПВ, апостериорная ПВ, функция правдоподобия (ФП)?

2. Как эти функции связаны между собой?

3. В чем принципиальное отличие априорной и апостериорной ПВ?

4. Почему не является функцией l?

5. Что такое состоятельность и несмещенность оценки?

6. Какие оценки называются эффективными?

7. Что такое совместная эффективность оценок компонентов векторного параметра?

8. Измеряется только амплитуда, только начальная фаза либо амплитуда и начальная фаза сигнала. В каких из названных случаев оценки измеряемых параметров окажутся строго эффективными?

9. Какие требования должны быть предъявлены к функции правдоподобия при выводе границы Крамера-Рао? Приведите пример случая, когда эти требования не выполняются.

10. При каких условиях существует эффективная оценка? Приведите примеры.

11. Дайте определение оценки по методу максимума правдоподобия (МП).

12. Сформулируйте основные свойства оценок по максимуму праводоподобия (ОМП-оценок).

13. В чем достоинства МП-оценок?

14. Какими способами ФП может быть «освобождена» от неинформационных параметров?

15. Как трактуется МП-оценка неэнергетического параметра l сигнала, принимаемого на фоне АБГШ (в том числе и при усреднении ФП по начальной фазе сигнала), в терминах сходства принимаемого колебания с сигналом?

16. Какие из следующих параметров сигнала и при каких условиях являются неэнергетическими: начальная фаза, центральная частота спектра, амплитуда, время запаздывания, длительность, девиация частоты, период повторения импульсов в пакете, индекс угловой модуляции?

17. Какой качественный смысл вкладывается в понятие функции неопределенности (ФН)?

18. Какова природа аномальных ошибок и пороговых эффектов?

19. К какому виду ФН следует стремиться, чтобы с бóльшим доверием относиться к значениям дисперсий ошибок, рассчитанным по границе Крамера-Рао?

20. Какова методика расчета среднего квадрата ошибки измерения с учетом аномальных ошибок?

Задачи

1. Найти МП-оценку величины постоянного сигнала на основе наблюдений независимых отсчетов аддитивной смеси сигнала и помехи, отсчеты которой подчиняются распределению . Какой результат выдаст измеритель после обработки выборки ?

2. Для условий предыдущей задачи найти оценку по максимуму апо-стериорной ПВ, если априорная ПВ значения сигнала имеет вид

3. Для оценки уровня постоянного сигнала на фоне аддитивной помехи с равномерным распределением на отрезке используется независимых отсчетов. Какую из приведенных ниже оценок величины следует предпочесть: а) ; б) , где – наблюдаемые отсчеты, – минимальный элемент выборки? Ответ обосновать.

4. Найти байесовскую оценку при квадратичной функции потерь сигнала постоянного уровня на основе наблюдения независимых отсчетов смеси сигнала и шума, подчиняющегося нормальному распределению с нулевым средним значением и дисперсией . Априорное распределение величины также нормальное со средним значением и дисперсией . Как изменится результат, если использовать модульную или простую функцию потерь? Что изменится, если шум имеет отличное от нуля среднее значение? Найти математическое ожидание и дисперсию оценок.

5. Записать в общем виде оценку по максимуму апостериорной ПВ для сигнала постоянного уровня на основе обработки независимых отсчетов смеси сигнала и шума, подчиняющегося распределению . Априорное распределение значений сигнала .

6. Оценить потенциальную точность измерения запаздывания сигнала на фоне нормального белого шума с двусторонней спектральной плотностью мощности . Как изменится результат, если частота увеличится в 2 раза?

7. Последовательность состоит из независимых отсчетов суммы стационарного шума и постоянного сигнала неизвестного уровня . Отчеты шума подчиняются распределению Лапласа . Показать, что при нечетном максимально правдоподобной оценкой величины является выборочная медиана , где – исходная последовательность, переупорядоченная по возрастанию отсчетов: (вариационный ряд).

8. На интервале наблюдается непрерывный ФМ-сигнал вида , где , и – известные амплитуда, круговая несущая и круговая частота модуляции соответственно. Помеха – АБГШ с односторонней спектральной плотностью мощности . Найти дисперсию максимально правдоподобной оценки индекса модуляции , если и .

9. Найти, пользуясь методом максимального правдоподобия, оценку параметра сигнала Помеха – АБГШ с двусторонней спектральной плотностью мощности . Будет ли полученная оценка смещенной? Oтвет обосновать. Найти дисперсию оценки.

10. У сигнала изменяется параметр . Как следует при этом менять , чтобы точность измерения временного положения данного сигнала на фоне АБГШ оставалась неизменной? Считать (аномальными ошибками можно пренебречь).

11. Оценка какой числовой характеристики стационарного случайного процесса формируется при помощи цепи, показанной на рис. 4.1? Считать, что постоянная времени RC-цепей значительно превышает время корреляции шума. Будет ли эта оценка несмещенной?

12. Определить дисперсию максимально правдоподобной оценки постоянной скорости сближения передатчика, излучающего частоту , и неподвижного приемника, полученной на основе использования эффекта Доплера. Амплитуда принимаемого периодического колебания , помеха – АБГШ со спектральной плотностью мощности , время излучения и амплитуда сигнала обеспечивают выполнение условия , где – энергия обрабатываемого полезного сигнала.

13. Для какого из двух приведенных на рис. 4.2 сигналов потенциальная точность измерения временного положения будет выше? Ответ обосновать.

14. Временное запаздывание измеряется фазовым методом с помощью двух радиоимпульсов, все параметры которых, за исключением , известны. Сигналы и поступают по двум каналам . Считать, что помехой являются собственные шумы приемников, которые предполагаются независимыми между собой АБГШ с одинаковыми спектральными плотностями мощности ; энергии сигналов равны соответственно и , а многозначность фазовых отсчетов устраняется безошибочно. Найти алгоритм формирования оптимальной оценки на основе метода максимального правдоподобия и получить выражение для дисперсии оценки.

15. Необходимо измерить временной интервал между сигналами и на фоне нормального белого шума, т. е. оценить величину . Амплитуды и должны удовлетворять условию . Как выбрать и , чтобы среднеквадратическая ошибка была минимальна, и как найти ее значение? Считать, что , спектры сигналов за счет выбора и практически не перекрываются и отношение с/ш на выходе фильтров, согласованных с сигналами при правильном выборе и , много больше единицы.

16. Какой должна быть несущая частота радиоимпульса по отношению к , чтобы оценить методом максимального правдоподобия время запаздывания с заданной вероятностью устранения многозначности? Все остальные параметры сигнала (кроме ) считаются известными. Помеха – АБГШ со спектральной плотностью мощности . Выполняется условие , где – энергия сигнала.

17. Измеряемая методом максимального правдоподобия частота гармонического колебания лежит в диапазоне . Какое минимальное число периодов необходимо обработать, чтобы измерить частоту с относительной ошибкой ? Измерения проводятся на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности .

18. Какое минимальное число периодов гармонического колебания необходимо обработать, чтобы измерить методом максимального правдоподобия амплитуду с относительной ошибкой и фазу с точностью ? Значение амплитуды лежит в диапазоне , а фазы - в диапазоне . Частота известна. Измерения проводятся на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности .

19. Сигнал вида может появиться на входе обнаружителя с равновероятным запаздыванием , где , а . Какой должна быть амплитуда сигнала , чтобы на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности обеспечить вероятности ложной тревоги и пропуска , а также среднеквадратическую ошибку оценивания , равную ? Параметр считается заданным, .

20. Для оценки постоянной времени интегрирующей RC-цепи используется практически независимых отсчетов выходного сигнала. Входной сигнал – нормальный белый шум со спектральной плотностью мощности . Найти максимально правдоподобную оценку постоянной времени цепи.

21. Оценить методом максимального правдоподобия временное положение сигнала , , , принимаемого на фоне нормального белого шума со спектральной плотностью мощности . Параметры сигнала , известны. Найти структуру максимально правдоподобного измерителя и среднеквадратическую ошибку оценки .

22. Какое время нужно потратить, чтобы последовательно оценить в
10 точках частотного диапазона АЧХ и ФЧХ линейного фильтра, на входе которого присутствует АБГШ со спектральной плотностью мощности и для измерений используется генератор гармонических колебаний с амплитудой ? Необходимо, чтобы для всех 10 точек вероятность того, что ошибка измерения АЧХ и ФЧХ превысит 10 % от измеряемой величины, не превосходила бы .

23. Оценить методом максимального правдоподобия значение параметра для сигнала на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности .

24. Найти байесовскую оценку разности амплитуд сигналов и при квадратичной функции потерь, если шумы в каналах приема сигналов независимые нормальные белые со спектральной плотностью мощности . Априорные распределения амплитуд - нормальные со средними значениями и и дисперсиями и соответственно для и . и – независимые случайные величины. Сигналы и полностью известны и взаимно ортогональны.

25. Необходимо измерить разность фаз колебаний и , принимаемых по двум каналам в течение времени . Помехи в каналах независимы и являются АБГШ с . Найти алгоритм оценивания и определить его точность.

26. Найти алгоритм МП оценки амплитуд и сигналов и , совместно наблюдаемых на промежутке , за пределами которого полностью известные функции и равны нулю. Помеха – АБГШ с . Определить среднее значение и дисперсию оценок.

27. Найти алгоритм МП оценки начальных фаз и сигналов и , совместно наблюдаемых на промежутке , за пределами которого полностью известная функция равна нулю. Помеха – АБГШ с . Выполняется условие .

28. Найти алгоритм МП оценки амплитуды и времени запаздывания сигнала , наблюдаемого на промежутке , за пределами которого функция при всех возможных значениях равна нулю. Помеха – АБГШ с . Считая, что имеет форму равнобедренного треугольника с длительностью по нулевому уровню и единичную энергию , определить дисперсию относительной ошибки оценки амплитуды и дисперсию оценки временного положения . Будут ли эти оценки смещенными?

29. Сигнал , принимаемый на фоне АБГШ с , имеет вид, приведенный на рис. 4.3. Найти МП оценки амплитудных множителей . Привести структурную схему устройства оценивания . Определить дисперсии относительной ошибки оценки амплитудных множителей .

30. Найти алгоритм обнаружения узкополосного сигнала с неизвестной начальной фазой на фоне АБГШ с с помощью замены неизвестной фазы ее МП оценкой. Убедиться в том, что полученный алгоритм совпадает с алгоритмом обнаружения сигнала для случая, когда – случайная величина с распределением , .

31. Найти алгоритм формирования МП-оценки длительности прямоугольного видеоимпульса с амплитудой с началом в момент . Помеха - АБГШ с .

32. Найти МП-оценку коэффициента амплитудной модуляции сигнала , наблюдаемого на фоне АБГШ с в пределах промежутка , величина которого содержит целое число периодов модулирующего колебания, т. е. и . Все остальные параметры сигнала известны. Определить дисперсию оценки.

33. При оценке дисперсии измерения времени запаздывания на фоне АБГШ прямоугольного видеоимпульса с помощью выражения, полученного с использованием границы Крамера-Рао , где , а

– среднеквадратическая частота, получается , так как для прямоугольного импульса . Объясните данный парадокс. Какой будет дисперсия оценки на самом деле?

34. Найти алгоритм МП оценивания числа импульсов в пачке на фоне АБГШ с . Импульсы взаимно ортогональны.

35. Сигнал Найти МП оценки для коэффициентов , , и вычислить дисперсии оценок.

36. У сигнала изменяется параметр . Как следует при этом менять , чтобы точность измерения временного сдвига сигнала на фоне АБГШ с оставалась неизменной? Считать, что .

37. Как должны быть связаны между собой длительность симметричного треугольного видеоимпульса и его амплитуда , чтобы точность измерения временного положения данного сигнала на фоне АБГШ с была бы неизменной? Как и в предыдущей задаче, считать .

38. Измеряется амплитуда сигнала . Точность полученной оценки оказалась неудовлетворительной. Во сколько раз следует увеличить длительность исходного прямоугольного сигнала , чтобы вдвое уменьшить дисперсию оценки при сохранении неизменными всех остальных параметров ?

39. Необходимо измерить начальную фазу узкополосного сигнала. Что произойдет с дисперсией оценки фазы, если: а) удвоить несущую частоту сигнала; б) удвоить длительность сигнала; в) уменьшить в два раза амплитуду?

40. Как должны быть связаны между собой длительность и амплитуда сигнала чтобы при их изменении точность измерения временного положения на фоне АБГШ с оставалась бы неизменной?

41.

Рис. 4.4

Для сигнала , приведенного на рис. 4.4, определить, как должны быть связаны параметры , и , чтобы точность измерения временного положения данного сигнала на фоне АБГШ с оставалась бы постоянной при их изменении ( ).

42. Необходимо измерить неэнергетический параметр сигнала на фоне аддитивного нормального белого шума. Зависимость функции неопределенности по параметру для трех различных случаев представлена на рис. 4.5. В каком случае точность измерения будет наивысшей и почему? Параметр для всех трех случаев одинаков.

43. Параметры простого импульсного сигнала обеспечивают стандартное отклонение измерения временной задержки, равное 0.5 мкс, и отношение с/ш на выходе согласованного фильтра . Оценить грубо среднеквадратическую длительность сигнала.

44. Одновременно должны быть измерены два неэнергетических скалярных параметра и . Функция неопределенности геометрически представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Сечение этой поверхности на некотором уровне (например, 0.5) горизонтальной плоскостью представлено на рис. 4.6 для трех типичных случаев. Какой из них обеспечивает наибольшую точность одновременного оценивания , при условии отсутствия априорных сведений о их значениях и почему?

45. Следует измерить амплитуду сигнала . Образцы сигнала представлены на рис. 4.7. В каком из случаев точность измерения будет наибольшей и почему?

 

46. Заданы автокорреляционные функции трех различных сигналов (см. рис. 4.8). Какой из сигналов является наилучшим для измерения временной задержки и почему?

47. В некоторой РЛС используется простой импульсный сигнал. Проектировщик системы планирует уменьшить пиковую мощность в 100 раз без ухудшения отношения с/ш на выходе СФ и в то же время уменьшить в 10 раз стандартное отклонение измеряемого времени запаздывания. Какой должна быть база сигнала в усовершенствованной системе? Под базой в такой задаче понимается произведение длительности сигнала на эффективную (среднеквадратическую) ширину спектра комплексной огибающей .

48. Для сигнала , построить зависимость среднего квадрата ошибки измерения с учетом аномальных ошибок и дисперсии , определяемой границей Крамера-Рао, от отношения с/ш на выходе СФ . При построении зависимости ориентироваться на наихудшее значение ( или ). Построить зависимости для значений , где , равных 50, 500, 5000.

49. Выполнить задание задачи 48 для сигнала , где - случайная начальная фаза, равномерно распределенная на интервале .