Глава 3. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ
Контрольные вопросы
1. Как формулируется задача различения 
полностью известных сигналов?
2. Какие критерии оптимальности используются при различении сиг-налов?
3. Запишите алгоритм различения двух полностью известных сигналов на фоне АБГШ, оптимальный по критерию максимального правдоподобия.
4. Проиллюстрируйте графически различение двух сигналов на фоне АБГШ. Какая пара равновероятных сигналов одинаковой энергии при фиксированном значении СПМ АБГШ обеспечит минимум вероятности ошибки различения сигналов?
5. Обобщите ответ на вопрос 4 на случай различения равновероятных сигналов одинаковой энергии.
6. Как оценивается вероятность ошибки при различении равнокоррелированных сигналов одинаковой энергии с помощью аддитивной границы полной вероятности ошибки? При каких условиях допустимо использовать эту оценку?
7. Каким будет оптимальный алгоритм различения равновероятных узкополосных радиосигналов одинаковой энергии, имеющих случайные независимые начальные фазы, равномерно распределенные в интервале 
?
8. Каким будет для условий вопроса 7 оптимальный ансамбль различаемых сигналов?
9. Чем отличаются ортогональные сигналы от ортогональных в усиленном смысле?
10. Ответьте на вопрос 6 для случая различения равновероятных ортогональных в усиленном смысле радиосигналов, имеющих одинаковую энергию.
Задачи
1. Оценить энергетические потери (требуемое увеличение энергии сигнала для сохранения неизменной вероятности ошибки) при различении двух равновероятных детерминированных сигналов одинаковой энергии с коэффициентом корреляции 
по отношению к случаю различения противоположных сигналов. Как изменится ответ, если 
, 
, 
?
2. Во сколько раз необходимо увеличить энергию каждого из ортогональных сигналов, чтобы достичь такой же вероятности правильного различения, как и в случае использования симплексных сигналов, если 
= 2, 3, 4, 5, 10, 100?
3. Найти вероятность ошибки при различении сигнала 
, имеющего энергию 
, и сигнала 
. Сигналы равновероятны. Помеха – АБГШ с двусторонней спектральной плотностью мощности 
.
4. Решается задача различения двух сигналов 
и 
(рис. 3.1) на фоне АБГШ. Как следует выбирать параметр 
, чтобы минимизировать вероятность ошибки? Проиллюстрируйте ответ временными диаграммами сигналов на входе решающего устройства.
5. Какую пару сигналов, заданных на интервале 
, можно различить с меньшими вероятностями ошибок на фоне АБГШ ( 
):
а) две функции Уолша 
и 
;
б) две функции Радемахера 
и 
;
в) две функции Хаара 
и 
;
г) 
и 
?
С функциями Уолша, Радемахера и Хаара можно ознакомиться с помощью учебного пособия [2].
6. Для какой из двух пар сигналов (рис. 3.2) вероятность правильного различения на фоне АБГШ будет меньше? Ответ обосновать.
7. Найти вероятность ошибки различения двух сигналов 
и 
на фоне АБГШ с двусторонней спектраль-
ной плотностью мощности , где 
– единичный коэффициент, обеспечивающий требуемую размерность сигнала 
.
8. Найти вероятность ошибки при различении на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности двух равновероятных сигналов
и
Воспользоваться свойствами интеграла Френеля 
[2, с. 102].
9. Для передачи двух равновероятных символов (1 и 0) используются следующие пары сигналов:
а) 
, 
, 
;
б) 
, 
, ;
в) 
, 
, , 
.
Помеха – АБГШ со спектральной плотностью мощности . Найти соотношения между 
, 
, 
, при которых вероятности ошибок приема символов будут одинаковыми. Какими при равенстве вероятностей ошибок будут соотношения средних мощностей передаваемых сигналов для этих трех случаев?
10. Найти вероятность ошибки различения на фоне нормального белого шума двух равновероятных ЛЧМ-сигналов вида
и
при условиях 
, 
, 
, 
и 
. Воспользоваться свойствами спектра ЛЧМ-сигнала при большой базе и сравнить результат данной задачи и задачи 8.
11. Сигнал 
может равновероятно передаваться по одному из двух каналов с коэффициентами передачи 
и 
Найти структуру устройства, с минимальной вероятностью ошибки определяющего канал, по которому передавался сигнал. Найти вероятность ошибки. Помеха на входе устройства определения номера канала – АБГШ со спектральной плотностью . Сравнить вероятность ошибки оптимального устройства и устройства, в котором определение канала происходит на основе обнаружения сигнала в полосе 
или 
.
12. Как изменится ошибка различения двух равновероятных противоположных сигналов одинаковой энергии на фоне АБГШ, если от задачи чистого различения перейти к задаче различения-обнаружения? Каким будет алгоритм работы обнаружителя-различителя? Качественные показатели процедуры обнаружения ( 
и 
) считать заданными.
13. Найти структуру оптимального по критерию максимального правдоподобия различителя сигналов 
и 
на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Сигналы 
и 
полностью известны и имеют одинаковые энергии . Вычислить вероятности ошибок, считая, что сигналы 
и равновероятны, а и ортогональны.
14. Финитный сигнал 
имеет энергию . Найти максимальную вероятность правильного различения сигналов и 
на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности .
15. Найти структуру оптимального по критерию максимального праводоподобия различителя сигналов 
и 
на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности и вычислить вероятность ошибки, считая сигналы равновероятными и 
.
16. Предложите структуру различителя двух случайных сигналов, представляющих собой независимые стационарные нормальные случайные процессы с корреляционными функциями 
и 
, причем 
. Различение ведется на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности , независимого с различаемыми сигналами. Интервал наблюдения 
и 
. Найти для предложенного алгоритма различения вероятности ошибок перепутывания, считая их равными.
17. Вычислить вероятности ошибок различения по методу максимального правдоподобия для двух пар сигналов, приведенных ниже, на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности 
: а) и ; б) 
и 
, где 
.
18. Различение сигналов 
и 
происходит на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . При какой величине 
достигаются наилучшие качественные показатели различения? Чему при этом равна вероятность ошибки?
19. Задача различения двух равновероятных сигналов 
и 
на фоне АБГШ, где 
решается в условиях радиопротиводействия. Противник располагает информацией о виде сигналов, но не знает, какой из них излучается в данный момент времени. Какое мешающее воздействие ограниченной энергии будет наиболее опасным? Ответ обосновать. Считая, что 
, определить, какой в этом случае будет полная вероятность ошибки.
20. Необходимо различить равновероятные сигналы
на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Величины 
, 
, 
, 
положительны и удовлетворяют условию 
. Как следует выбрать эти величины, чтобы вероятность ошибки различения была минимальна? Найти ее значение.
21. Различаемые методом максимального правдоподобия сигналы начинаются в момент времени 
и имеют вид прямоугольных видеоимпульсов с положительной полярностью и одинаковой энергией . Как следует выбрать соотношение длительностей этих импульсов, чтобы получить минимальную ошибку их различения на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности ? Считать, что мощность сигнала не может быть больше 
.
22. Символы , , 
, поступающие от источника сообщений с вероятностями 
и 
, передаются с помощью прямоугольных видеоимпульсов с длительностью 
и амплитудой 
. Для передачи отводится интервал времени 
. Измененяя временное положение импульсов (но не выходя за пределы интервала ) и полярность, сформировать набор сигналов, минимизирующих вероятность ошибки различения на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Пользуясь аддитивной границей, оценить вероятность ошибки. Считать, что 
.
23. На промежутке 
необходимо разместить три прямоугольных видеоимпульса длительностью 
с одинаковой энергией. Как выбрать временные положения импульсов и их полярность, чтобы при условии равновероятности их появления на входе различителя получить минимальную вероятность ошибки? Как изменится результат, если вероятность появления одного из импульсов существенно больше вероятности появления других?
24. 
Для передачи одного бита информации используется два сигнала и , показанных на рис. 3.3. Во сколько раз можно было бы снизить энергию сигналов, переходя к оптимальной паре сигналов, при условии сохранения неизменным значения вероятности ошибки? Помеха - АБГШ со спектральной плотностью мощности .
25. Различаемые сигналы и равновероятны и имеют спектральные плотности вида 
и 
соответственно. Как нужно выбирать величину , чтобы минимизировать вероятность ошибки различения данных сигналов? Вычислить эту вероятность.
26. Прямоугольный видеоимпульс с длительностью 
и амплитудой 
, временное положение которого известно, проходит с равной вероят-ностью по двум каналам с коэффициентами передачи 
и 
соответственно. Как с помощью различителя определить, по какому каналу передавался сигнал? Найти вероятность ошибки. Помеха – АБГШ со спектральной плотностью мощности .
27. Прямоугольный импульс с длительностью и амплитудой равновероятно может проходить либо через интегрирующую, либо через дифференцирующую RC-цепь с постоянной времени . Определить с по-мощью различителя, через какую цепь прошел сигнал. Помеха на входе различителя – АБГШ со спектральной плотностью мощности .
28. Сигнал 
с равными вероятностями проходит через фильтры с коэффициентами передачи 
и 
и 
выбираются таким образом, чтобы сигналы на выходах фильтров имели одинаковую энергию. Определить с помощью различителя, через какой фильтр прошел сигнал. Помеха на входе различителя – АБГШ с 
.
29. Найти оптимальный по критерию максимального правдоподобия алгоритм различения на фоне АБГШ с 
двух равновероятных сигналов 
и 
, где 
– множитель, обеспечивающий равенство энергий сигналов и . Найти вероятность ошибки.
30. Найти алгоритм различения по методу максимального правдоподобия на фоне АБГШ с полностью известного радиоимпульса 
, где 
– огибающая, а 
– несущая частота, и сигнала 
, где 
– случайная начальная фаза, равномерно распределенная в пределах отрезка . Каким будет алгоритм, если – дискретная случайная величина, принимающая с вероятностями 0.5 значения 
и 
?
31. Найти алгоритм оптимального различения по критерию Байеса сигналов 
и 
на фоне АБГШ с , если априорные вероятности передачи сигналов и равны 0.2 и 0.8 соответственно; потери, связанные с перепутыванием с и с , равны 3 и 5 соответственно; 
, 
. Найти значение минимальных средних потерь.
32. 
Сигнал, приведенный на рис. 3.4, с вероятностью 0.5 пропускается через нелинейный элемент, называемый ограничителем, с характерис-тикой
С помощью устройства различения определить, был ли сигнал пропущен через данное устройство. Помеха - АБГШ с . Найти вероятность ошибки.
33. Найти алгоритм оптимального по критерию максимального правдоподобия различения на фоне АБГШ с 
сигналов
Определить вероятности ошибок.
34. Для сигналов
различаемых на фоне АБГШ с , построить зависимость вероятности ошибки от величины частотной разности 
. Считать, что выполняется условие 
, позволяющее считать сигналы узкополосными.
35. Генератор гармонического колебания может работать на частоте 
или 
. Амплитуда сигнала – 1 мВ. Спектральная плотность АБГШ 
. Сколько времени надо обрабатывать наблюдаемое колебание, чтобы вероятность ошибки в определении частоты не превышала бы 
?
36. На вход устройства различения в промежутке равновероятно поступает либо АМ колебание вида 
, либо ЧМ-сигнал вида 
, где и – амплитуда и несущая частота, а и 
– индекс и частота модуляции соответственно. Помеха АБГШ - с . Найти алгоритм оптимального различения по критерию максимального правдоподобия. Каким должен быть интервал наблюдения , чтобы обеспечить заданную ошибку различения 
? Указание: считать, что 
, и воспользоваться интегральным представлением функций Бесселя 
[2].
37. Для передачи четырех равновероятных сообщений используются прямоугольные видеоимпульсы амплитуды и длительности . Выбирая полярность импульсов и их временное положение, реализовать минимум вероятности ошибки, обеспечив при этом минимум времени, отводимого на передачу. Найти эту вероятность. Помеха – АБГШ с .
38. Найти алгоритм различения двух периодических сигналов, периоды которых сформированы на основе двух четырехэлементных кодов Баркера
(1, 1, 1, –1) и (1, 1, –1, 1). Элементарные прямоугольные сигналы имеют амплитуду и длительность . Помеха – АБГШ с . Сколько нужно обработать периодов различаемых сигналов, чтобы получить требуемую вероятность ошибки? Использовать критерий максимального правдо-подобия.
39. Выбрать из четырех приводимых далее фазокодированных сигналов, соответствующих одному периоду М-последовательности длиной 7, два, для которых вероятность различения была бы максимальна: 
, 
, 
, 
. «1» – соответствует нулевой фазе элементарного прямоугольного импульса амплитуды и длительностью , а «–1» соответствует фазе, равной 
. Помеха – АБГШ с . Считать, что 
, где 
- частота элементарных импульсов.
40. 
Три равновероятных трехэлементных фазокодированных сигнала 
, 
, 
имеют начальные фазы элементарных сигналов 
, 
, 
, заданных с помощью таблицы. Найти вероятность ошибки различения. Какими должны быть начальные фазы элементарных сигналов, чтобы обеспечить минимум вероятности ошибки? Амплитуды элементарных сигналов - , длительность , где – несущая частота. Помеха – АБГШ с .
41. Найти совокупность четырехэлементных фазоманипулированных сигналов, обеспечивающих минимум вероятности ошибки различения на фо-
не АБГШ с . Сигналы равновероятны. Параметры элементарных сигналов такие же, как и в задаче 40. Вычислить .
42. Для передачи четырех равновероятных символов отведены два временных интервала длительностью 
и две полосы частот ширины 
(рис. 3.5). Интервалы , полосы и расстояния между ними выбраны так, что сигналы не перекрываются ни по времени, ни по частоте. Начальные фазы сигналов случайны, независимы и равномерно распределены в промежутке . Энергия сигналов , помеха – АБГШ с . Найти структуру различителя и определить вероятность ошибки. Указание: считая, что 
, воспользоваться для вычисления аддитивной границей.
43. Найти алгоритм оптимального различения двух ЧМ-колебаний 
и 
по критерию максимального правдоподобия на фоне АБГШ с . Найти зависимость от времени наблюдения 
, 
. Считать, что 
.
44. Найти структуру различителя, оптимального по критерию максимального правдоподобия, для сигналов 
и 
, где 
Найти вероятность ошибки , считая сигналы равновероятными. При каком значении временного сдвига будет минимальна?
45. Найти вероятность ошибки различения 16 равновероятных сигналов, манипулированных по фазе первыми 16 функциями Уолша. Элементарный прямоугольный радиоимпульс имеет амплитуду 1 мВ, длительность 10 мкс. Различение ведется на фоне АБГШ с 
. Указание: воспользоваться аддитивной границей для вероятности ошибки.
46. Найти вероятность ошибки различения двух равновероятных сигналов с V-образной частотной модуляцией: 
и 
при условии 
. Помеха – АБГШ с .
47. Найти структуру оптимального различителя по методу максимального правдоподобия сигналов
и вычислить вероятность ошибки. Помеха – АБГШ с .
48. Найти структуру оптимального различителя по критерию максимального правдоподобия для сигналов и , являющихся четной и нечетной частями сигнала 
и вычислить вероятность ошибки. Помеха – АБГШ с .
49. Различаемые равновероятные сигналы и образуются смещением исходного четырехэлементного сигнала, определяемого кодом Баркера (1, 1, -1, 1), на величину 
, где 
- длительность элемента, а - целое число. При каком вероятность ошибки различения будет минимальна?
50. Решить задачу, аналогичную задаче 48, для сигнала 
51. Решить задачу 49 для пятиэлементого кода Баркера (1, 1, 1, -1, 1) при дополнительном условии: различаемые сигналы должны занимать минимальный временной интервал.
52. Какие из сигналов Баркера ( 
3, 4, 5, 7, 11, 13) при условии равенства энергии дадут минимальную ошибку различения в условиях задачи 49?
53. Найти вероятность ошибки различения двух равновероятных сигналов и 
на фоне АБГШ с , где
54. С помощью аддитивной границы для полной вероятности ошибки показать, что при 
энергетические потери за счет незнания начальных фаз сигналов (они случайны, независимы и равномерно распределены в интервале 
) асимптотически (при 
) пренебрежимо малы.