Глава 2. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

Контрольные вопросы

1. Как формулируется задача обнаружения сигналов?

2. Какой информацией располагает разработчик обнаружителя и как она структурируется?

3. Что такое матрица потерь?

4. Как записывается выражение для средних потерь в задаче обнаружения сигнала?

5. Что такое пространство наблюдения? Как с его помощью можно описать работу обнаружителя?

6. Что такое простые и сложные гипотезы? Чем определяется тип гипотезы? Какие бывают сложные гипотезы? Приведите примеры.

7. Как рассчитываются условные вероятности ошибок (вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска сигнала) для задачи обнаружения сигнала?

8. Как записывается правило проверки двух простых гипотез, оптимальное по критерию минимума среднего риска?

9. Сформулируйте критерий идеального наблюдателя и критерий минимума суммы условных вероятностей ошибок.

10. Как формулируется критерий Неймана-Пирсона для задачи обнаружения сигнала?

11. Составляют ли ложная тревога и пропуск сигнала полную группу
событий?

12. Что такое функция правдоподобия для задачи обнаружения сигнала?

13. Что такое отношение правдоподобия в задачах проверки двух простых гипотез?

14. Почему в качестве монотонной функции при преобразовании отношения правдоподобия чаще всего используется логарифмическая функция?

15. Как формулируется последовательное байесовское правило принятия решения в задачах обнаружения сигнала?

16. Как формулируется последовательная процедура Вальда? При выполнении каких условий гарантируется ее оптимальность?

17. Как рассчитываются пороги в процедуре Вальда?

18. Как решается задача проверки сложных гипотез?

19. Как решается задача обнаружения сигнала на фоне априорно неопределенных помех?

20. Что такое равномерно наиболее мощное решающее правило?

21. Что представляет собой непараметрический алгоритм проверки гипотез Н₀ и Н₁?

22. Как сравнивается эффективность двух решающих правил?

23. Как формулируется минимаксное правило проверки двух гипотез?

24. Сформулируйте алгоритм оптимального обнаружения полностью известного сигнала при дискретном наблюдении, считая отсчеты помехи независимыми СВ с известной плотностью вероятности W(x_i).

25. Каким будет алгоритм оптимального обнаружения полностью известного сигнала при дискретном наблюдении, если отсчеты помехи независимы и подчинены нормальному закону?

26. Каким будет алгоритм оптимального обнаружения полностью известного сигнала на фоне нормального белого шума? Как изменится результат, если гауссовский шум будет окрашен?

27. Как рассчитываются качественные показатели оптимального обнаружителя полностью известного сигнала на фоне нормального белого шума?

28. Какой будет структура и как рассчитывать качественные показатели при обнаружении полностью известной пачки импульсов на фоне нормального белого шума?

29. Каким будет алгоритм оптимального обнаружения сигнала со случайной начальной фазой на фоне нормального белого шума?

30. Какие структуры можно использовать для оптимального обнаружения когерентной пачки импульсов со случайной начальной фазой?

31. Как рассчитываются характеристики обнаружения для сигнала со случайной начальной фазой?

32. В чем специфика обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой?

33. Сравните характеристики обнаружения, соответствующие одному и тому же значению вероятности ложной тревоги , для полностью известного сигнала, сигнала со случайной начальной фазой и сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой.

34. Какой будет структура обнаружителя для некогерентного пакета?

35. Сравните качественные показатели обнаружителей когерентного и некогерентного пакетов для случаев q₀<< 1 и q₀>> 1, где q₀– отношение с/ш на выходе согласованного фильтра для одиночного импульса пакета.

36. Какую структуру имеет оптимальный обнаружитель коррелированного (окрашенного) нормального случайного процесса на фоне нормального белого шума?

37. Как рассчитываются качественные показатели оптимального обнаружителя нормального случайного процесса на фоне нормального белого шума при прямоугольной аппроксимации СПМ сигнального процесса?

Задачи

1. В схеме последовательных независимых испытаний [1, с. 7] необходимо проверить две простые гипотезы: : и : , где – вероятность успеха в единичном испытании. Записать оптимальное решающее правило для различных критериев оптимальности (байесовский, идеального наблюдателя, максимального правдоподобия и Неймана-Пирсона). Считая большим числом, найти выражения для вероятностей ошибок первого и второго рода ( и ).

2. Простая гипотеза , состоящая в том, что выборка получена из экспоненциального распределения проверяется против простой альтернативы , состоящей в том, что выборка получена из генеральной совокупности, описываемой односторонним нормальным распределением Найти оптимальное решающее правило по критерию максимального правдоподобия. Как изменится решающее правило, если по гипотезе распределение будет иметь вид ?

3. Число событий в случайном потоке подчиняется распределению Пуассона . Проверить две простые гипотезы: : и : , где – среднее число событий в единицу времени. Записать оптимальное решающее правило для различных критериев оптимальности, указанных в предыдущей задаче.

4. Записать оптимальное по критерию Неймана-Пирсона решающее правило проверки простой гипотезы , состоящей в том, что выборка получена из генеральной совокупности, описываемой релеевским распределением против простой альтернативы , для которой элементы выборки также подчиняются релеевскому распределению, но с параметром , т. е.

5. Пусть – простая гипотеза, в соответствии с которой выборка получена из генеральной совокупности, описываемой нормальным распределением с нулевым средним и дисперсией, равной , т. е. . Для альтернативы распределение элементов выборки – бимодальное распределение. Найти оптимальное по Байесу решающее правило, считая априорные вероятности гипотез и равными и , а штрафы за ошибки первого и второго рода - и соответственно.

6. Пусть – выборочное значение (векторное) из многомерного нормального распределения с корреляционной матрицей , где – единичная матрица. Выдвигается гипотеза , что среднее (векторное) равно , против альтернативы , что оно равно . Показать, что оптимальное по критерию максимального правдоподобия разбиение пространства выборок производится гиперплоскостью, перпендикулярной линии, соединяющей точки и и делящей эту линию пополам.

7. Пусть – выборочное значение (векторное) из многомерного нормального распределения. Выдвигается гипотеза , что это значение принадлежит нормальному распределению с вектором средних и корреляционной матрицей , против альтернативы , что это значение принадлежит нормальному распределению с тем же самым вектором средних и корреляционной матрицей . Показать, что оптимальное правило выбора решения формулируется следующим образом: принимается решение (корреляционная матрица равна ), если для наблюдаемого вектора

и принимается решение (корреляционная матрица равна ), если выполняется неравенство, обратное записанному выше. Показать, что, совершая замену переменных , где матрица определяется из

и - диагональная матрица, элементы которой являются корнями уравнения

можно неравенство, определяющее решающее правило, привести к виду

8. Случайная величина имеет нормальное распределение и подвергается следующим преобразованиям: по гипотезе , а по гипотезе . Записать отношение правдоподобия для проверки данных простых гипотез.

9. Решить задачу, аналогичную задаче 8 для случая, когда : , а : .

10. По гипотезе (сигнала нет) отсчеты подчиняются релеевскому распределению , , и независимы друг от друга. По гипотезе отсчеты независимы и подчиняются релеевскому распределению , . Решение принимается по критерию минимума среднего риска (критерий Байеса). Априорные вероятности гипотез и равны соответственно и , а потери, связанные с ложной тревогой и пропуском, равны и . Определить области и (принятия гипотез и ), исследовать зависимость этих областей от , и . При принятии решения по критерию максимального правдоподобия при фиксированном значении рассмотреть зависимость областей и от величины , считая, что . Определить вероятности ошибок первого и второго рода (вероятность ложной тревоги и вероятность пропуска сигнала ).

11. Постоянный сигнал , обнаруживается на фоне аддитивной помехи, значения которой равномерно распределены в промежутке . Решение принимается по двум независимым отсчетам с использованием критерия Неймана-Пирсона. Изобразить области и и при заданном значении построить зависимости от величины .

12. При наличии сигнала вероятность появления импульса на выходе устройства квантования равна , а при его отсутствии - . Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается после независимых испытаний. Найти выражение для отношения правдоподобия и построить его график для случая, когда , , . Найти пороговый уровень, с которым сравнивается логарифм отношения правдоподобия для критерия Байеса (априорные вероятности отсутствия и наличия сигнала и , плата за ложную тревогу и пропуск сигнала и ), критерия идеального наблюдателя ( ), критерия максимального правдоподобия ( , ) и критерия Неймана-Пирсона (задана требуемая вероятность ложной тревоги ).

13. Сравнить по критерию Неймана-Пирсона при вероятности ложной тревоги эффективность (на основе сравнения вероятности пропуска сигнала) для двух вариантов алгоритмов обнаружения последовательности полностью известных радиоимпульсов с энергией одиночного импульса на фоне аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ) с . Число импульсов в последовательности . Отношение с/ш на выходе фильтра, согласованного с одиночным импульсом (СФОИ), равно ( ). В соответствии с первым алгоритмом, с нулевым порогом сравнивается отсчет на выходе СФОИ в момент достижения максимума отношения с/ш и при превышении порога в счетчик записывается 1, при непревышении - 0. Решение о наличии или отсутствии сигнала принимается на основе сравнения с порогом накопленной суммы. Величина порога выбирается по заданной вероятности ложной тревоги . Второй алгоритм состоит в согласованной фильтрации всей последовательности, формировании отсчета в момент достижения максимума с/ш и сравнении его с порогом, величина которого, как и в предыдущем случае, зависит от заданного значения . Считать, что период следования импульсов много больше длительности импульсов, так что энергия последовательности .

14. Построить зависимость минимума суммарной ошибки (критерий максимального правдоподобия) от отношения с/ш на выходе СФ при обнаружении полностью известного радиосигнала на фоне АБГШ для следующих алгоритмов:

а) с порогом сравнивается отсчет на выходе СФ (оптимальный алгоритм);

б) с порогом сравнивается отсчет фазы в зоне максимума сигнала на выходе СФ (фазовый метод);

в) с порогом сравнивается отсчет огибающей на выходе СФ в момент максимума отношения с/ш (амплитудный метод).

15. Записать решающее правило последовательного критерия отношения правдоподобия (ПКОВ) в случае, когда в схеме последовательных независимых испытаний проверяются две простые гипотезы: : против : , где - вероятность успеха в единичном испытании. Определить верхний и нижний пороги для заданных значений вероятностей ошибок первого и второго рода и соответственно. Пользуясь игральным кубиком или компьютером, смоделировать последовательную процедуру проверки гипотез и для заданных и и , . Найти средние объемы выборки и по гипотезам и , а также их дисперсии и .

16. Обнаруживается периодическая последовательность полностью известных прямоугольных радиоимпульсов с амплитудой мВ, длительностью мкс, частотой МГц и периодом следования мс на фоне АБГШ с . На выходе СФОИ берется отсчет и сравнивается с нулевым порогом. При превышении порога формируется единица, в противном случае - ноль. Последующая обработка ведется с использованием ПКОВ. Найти среднее время принятия решения по гипотезам и .

17. Как и в задаче 16, обнаруживается полностью известная периодическая последовательность радиоимпульсов с энергией одиночного импульса на фоне АБГШ с , но, в отличие от предыдущей задачи, ПКОВ используется для обработки отсчетов на выходе СФОИ. Записать решающее правило. Считая и , рассчитать пороги. Считая значение отношения с/ш на выходе СФОИ равным , определить средний объем выборки по гипотезам и ( и ). Найти полный средний объем выборки, если априорные вероятности гипотез и равны и соответственно.

18. С использованием ПКОВ обнаруживается периодическая последовательность радиоимпульсов со случайными, независимыми и равномерно распределенными в промежутке начальными фазами (некогерентный пакет) и случайными амплитудами. Флюктуации амплитуд независимы и подчиняются распределению Рэлея с параметром . ПКОВ применяется к отсчетам на выходе линейного детектора, включенного после фильтра, согласованного с одиночным импульсом последовательности. Момент взятия отсчета соответствует достижению максимального отношения с/ш на выходе фильтра. Период следования импульсов много больше длительности импульса , так что отсчеты на выходе детектора можно считать независимыми. Для заданных значений вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала определить верхний и нижний пороги и вычислить средние значения числа обрабатываемых импульсов как для отсутствия сигнала, так и для его наличия. Считать, что и .

19. Радиолокационная станция (РЛС) может работать в двух режимах: излучая радиоимпульсы прямоугольной формы с пиковой мощностью 100 кВт и длительностью 1 мкс либо импульсы треугольной формы с пиковой мощностью 150 кВт и длительностью 2 мкс. В каком из режимов, при условии, что помеха является нормальным белым гауссовским шумом со спектральной плотностью мощности , обеспечивается бóльшая дальность обнаружения сигнала?

20. Сопоставить между собой качественные показатели обнаружения детерминированных прямоугольного видео- и радиоимпульсов одинаковой длительности и амплитуды. Шум – нормальный белый со спектральной плотностью мощности .

21. На вход оптимального обнаружителя сигнала с амплитудой 50 мВ на фоне аддитивного шума, имеющего одностороннюю экспоненциальную плотность вероятности, поступает выборка {79 мВ, 1.5 В, 49 мВ, 750 мВ}. Какое решение будет принято обнаружителем? Ответ обосновать.

22. При обнаружении пачки детерминированных прямоугольных радиоимпульсов

на фоне АБГШ длительность каждого из импульсов уменьшилась в два раза. Что можно предпринять для поддержания на прежнем уровне вероятности правильного обнаружения?

23. Отношение с/ш на выходе согласованного фильтра обнаружителя полностью известного сигнала увеличилось. Что произойдет с вероятностью ложной тревоги? Рассмотреть возможные варианты.

24. Сопоставить между собой качественные показатели обнаружения детерминированных прямоугольных видео- и радиоимпульсов одинаковой энергии при обнаружении их на фоне:

а) белого шума;

б) белого шума, прошедшего через интегрирующую RC-цепь;

в) белого шума, прошедшего через колебательный контур, настроенный на несущую частоту радиоимпульса.

25. Для обнаружителя детерминированного сигнала на фоне АБГШ построить зависимость вероятности правильного обнаружения от вероятности ложной тревоги при фиксированных значениях отношения с/ш ( ). Эта зависимость называется рабочей характеристикой обнаружителя.

26. Какой из двух сигналов или может быть обнаружен на фоне АБГШ с большей вероятностью, если

27. Найти вероятность правильного обнаружения при заданном значении вероятности ложной тревоги сигнала на фоне стационарного нормального случайного процесса со спектральной плотностью мощности .

28. Определить минимально необходимое для достижения вероятности ложной тревоги число обрабатываемых отсчетов в обнаружителе детерминированной последовательности импульсов, если в его структуре на выходе согласованного с одиночным импульсом фильтра включен аналого-цифровой преобразователь с характеристикой Чему в этом случае равна вероятность пропуска сигнала, если отношение с/ш после согласованного фильтра ?

29. Решить задачу 28, если , .

30. При построении фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом, студент поменял местами знаки на входе сумматора (минус после интегратора и плюс после линии задержки). Как изменятся качественные показатели обнаружителя, если при правильном включении вероятности ошибок были равны и ? Как можно восстановить исходный результат по и при принятой сигнально-помеховой обстановке, считая, что построенный фильтр изменять нельзя?

31. Для обнаружения сигнала на фоне АБГШ используется схема, состоящая из линейного ключа и интегратора. Определить время замыкания ключа (начало и продолжительность), обеспечивающее максимальное значение вероятности правильного обнаружения при заданном значении вероятности ложной тревоги. Сравнить со случаем оптимальной обработки.

32. Наблюдаемые отсчеты независимы и имеют распределение и . Найти алгоритм работы оптимального обнаружителя. Каким он будет при ?

33. Найти оптимальное решающее правило в задаче обнаружения полностью известного постоянного сигнала амплитудой с на фоне помехи с равномерным распределением отсчетов на интервале . Обнаружение осуществляется на основе обработки независимых отсчетов. Как следует выбрать порог, чтобы вероятность ложной тревоги была бы равна 0? Чему при этом приближенно равна вероятность правильного обнаружения при ?

34. На входе оптимального обнаружителя детерминированного прямоугольного радиоимпульса с амплитудой , длительностью и фазой на фоне АБГШ с действует либо данный сигнал, либо аналогичный радиоимпульс, начальная фаза которого равновероятно принимает значения , , либо радиоимпульс, начальная фаза которого равновероятно принимает значения , . Сопоставить между собой качественные показатели обнаружения, достижимые в указанных трех случаях.

35. Решается задача обнаружения сигнала вида где и - известные амплитуда и центральная частота cоответственно, j - начальная фаза сигнала, которая:

а) известна;

б) равновероятно принимает значения , ;

в) равновероятно принимает значения из интервала .

Помеха - АБГШ со спектральной плотностью мощности . Синтезировать структуры устройств обнаружения и сопоставить их качественные показатели.

36. Найти вероятность правильного обнаружения сигнала на фоне гауссовской помехи с корреляционной функцией . Вероятность ложной тревоги , . Как изменится ответ, если положить ?

37. Сигнал имеет вид . С какой из двух корреляционных функций - или - гауссовская помеха обеспечит более эффективное противодействие обнаружению сигнала? Рассмотреть различные соотношения между и для двух случаев:

а) обнаружитель рассчитан на АБГШ;

б) обнаружитель рассчитан на создаваемую помеху.

38. Детерминированный сигнал обнаруживается на фоне гауссовской помехи с корреляционной функцией . Найти структуру обнаружителя и вычислить вероятность правильного обнаружения , если вероятность ложной тревоги и , .

39. Сигнал, обладающий равномерным в полосе спектром, оптимально обнаруживается на фоне аддитивной помехи, являющейся суперпозицией белого гауссовского шума и случайного процесса, мощность которого сосредоточена в полосе , причем интенсивность последнего значительно превышает спектральную плотность белого шума (рис. 2.1). Каковы энергетические потери указанного оптимального обнаружителя по отношению к случаю обнаружения сигнала только на фоне белого шума?

40. Постоянный сигнал обнаруживается на фоне нормальной аддитивной помехи с нулевым средним. Наблюдается независимых отсчетов, для которых корреляционная матрица имеет вид

Найти решающее правило, оптимальное по критерию Неймана-Пирсона, и определить качественные показатели обнаружителя.

41. Постоянный сигнал обнаруживается на фоне нормальной аддитивной помехи с нулевым средним. Наблюдаются независимых отсчетов, для которых корреляционная матрица имеет вид

42. Решить задачу 40, если отсчеты сигнала равны , , …, .

43. Решить задачу 41, если отсчеты сигнала равны , , …, .

44. Как в условиях предыдущей задачи распределить отсчеты сигнала по при ограничении ?

45. Cравнить качественные показатели обнаружения двух сигналов и в условиях задачи 43.

46. Сравнить алгоритмы и качественные показатели обнаружителей сигнала постоянного уровня по трем отсчетам для двух моделей нормальной помехи с нулевым средним и корреляционными матрицами

, .

47. Найти структуру оптимального обнаружителя сигнала на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности , если фаза сигнала случайна и подчиняется распределению

Записать выражение для оценки качественных показателей ( и ).

48. Определить структуру оптимального обнаружителя радиосигнала на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности , если и – полностью известные огибающая и несущая частота, а – случайная величина, подчиняющаяся распределению Тихонова: , где ; – параметр, меняющийся от 0 до ; – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

49. На фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности обнаруживается сигнал где – известная частота, – случайная амплитуда с ПВ Определить структуру оптимального обнаружителя и рассчитать его качественные показатели ( и ).

50. Сигнал , обнаруживается с помощью корреля-тора на фоне нормального шума с корреляционной функцией , . Каким должен быть опорный сигнал коррелятора? Найти вероятности ложной тревоги и пропуска сигнала.

51. Как изменятся качественные показатели работы обнаружителя детерминированного сигнала, реализованного по схеме «коррелятор – пороговое устройство», если на перемножитель вместо ожидаемого сигнала будет подан сигнал ? Какой из сигналов следует считать наихудшим?

52. Помеха имеет вид , где – нормальный случайный процесс, СПМ которого . Найти структуру (алгоритм работы) оптимального обнаружителя и определить вероятность ложной тревоги и пропуска сигнала, если обнаруживаемый сигнал имеет вид .

53. Сигнал вида где – независимые случайные величины, принимающие значения с вероятностью и с вероятностью , обнаруживается на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Какой будет структура оптимального обнаружителя? Какой будет при заданной вероятности ложной тревоги вероятность правильного обнаружения? При каких соотношениях между и вероятность правильного обнаружения будет максимальной?

54. Возможно ли безошибочное обнаружение сигнала на фоне помехи , где – детерминированная величина, а и – независимые случайные величины с совместной плотностью вероятности , , . Если да, то как это реализовать? Сравнить два случая:

а) помеха действует все время;

б) помеха действует лишь в пределах длительности сигнала.

55. Какому условию должен удовлетворять спектр сигнала , чтобы качественные показатели обнаружителя и , где - единичный коэффициент с размерностью , на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности были одинаковыми? Приведите пример такого сигнала.

56. Стационарный гауссовский процесс с корреляционной функцией записывается со скоростью и воспроизводится со скоростью . Каким должно быть , чтобы создать наихудшие условия для обнаружения сигнала ?

57. На вход оптимального обнаружителя полностью известной псевдослучайной последовательности (ПСП) длиной , рассчитанного на белый шум, поступает в качестве помехи сумма большого числа ( ) ПСП, случайно ориентированных между собой по отношению к обнаруживаемой ПСП, каждая из которых имеет ту же амплитуду, что и полезная ПСП, и дает отклик на выходе фильтра, согласованного с исходной ПСП со среднеквадратическим отклонением . Как следует выбрать , чтобы при заданном обеспечить требуемые характеристики обнаружения сигнала?

58. Найти структуру оптимального обнаружителя сигнала на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности , если , – независимые случайные величины, равновероятно принимающие значения и . Для вычислить вероятности ошибок первого и второго рода.

59. При появлении сигнал с вероятностью имеет задержку и с вероятностью задержку . Априорная вероятность появления сигнала . Найти структуру обнаружителя оптимального по критерию минимума среднего риска, считая потери (риски) из-за ошибочных решений одинаковыми (критерий идеального наблюдателя). Обнаружение ведется на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности .

60. Необходимо обнаружить частотно-манипулированный сигнал, при-веденный на рис. 2.2 на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Определить структуру обнаружителя оптимального по критерию максимума правдоподобия, считая все параметры сигнала (время прихода, амплитуда , длительность сигнала , число элементов ) известными, за исключением начальных фаз посылок. Рассмотреть два случая:

а) начальные фазы всех посылок случайны, независимы и равномерно распределены на интервале ;

б) посылки одинаковых частот имеют одинаковые начальные фазы ( и для частот и соответственно), которые случайны, независимы и равномерно распределены на интервале .

61. Найти структуру обнаружителя сигнала на фоне нестационарного нормального белого шума со спектральной плот-ностью мощности Какой будет структура обнаружителя при ?

62. На входе обнаружителя могут присутствовать либо независимые
между собой отсчеты шума, подчиняющиеся распределению (гипотеза ), либо сумма отсчетов шума и независимого от шума случайного сигнала, отсчеты которого независимы между собой и могут принимать с вероятностью 0.5 значения 2 и 20. Предложить алгоритм работы обнаружителя и методику определения его качественных показателей. Какое решение примет обнаружитель, если на его вход поступит следующая последовательность отсчетов {17, 28, 35, 1, 29, 46, 17, 6}? Ответ обосновать.

63. Сигнал , приведенный на рис. 2.3, а, обнаруживается на фоне нестационарного нормального белого шума, СПМ которого меняется во времени (рис. 2.3, б). Найти структуру оптимального обнаружителя и при заданном значении вероятности ложной тревоги определить вероятность правильного обнаружения .

64. Помеха представляет собой сумму независимых стационарных случайных процессов, отсчеты которых равновероятно принимают значения +1 В и -1 В, а СПМ имеет вид , где - заданная величина, равная 1 с и необходимо определить. Считая ( ), найти структуру оптимального обнаружителя полностью известного видеоимпульса с длительностью и амплитудой 201 В. Оценить качественные показатели (вероятность ложной тревоги и пропуска).

65. Обнаруживаемый на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности сигнал может равновероятно занимать одно из двух положений на временной оси: или Какую структуру имеет оптимальный обнаружитель? Как зависит вероятность правильного обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоги от величины ?

66. На оптимальный обнаружитель полностью известного прямоугольного видеоимпульса с длительностью и амплитудой , спроектированного в расчете на АБГШ, в качестве помехи подается случайное напряжение , где - заданная величина ( ), и - независимые случайные величины, имеющие распределения и соответственно. Определить качественные показатели (вероятности ложной тревоги и пропуска) процедуры обнаружения, если а) ; б) .

67. На вход обнаружителя детерминированного сигнала , где , , на фоне АБГШ подается сигнал с кодовой последовательностью , . Как следует изменить величину для получения тех же вероятностей ошибок, что и в штатной ситуации? В какой момент времени следует брать отсчет с выхода согласованного фильтра для получения наилучших качественных показателей?

68. Сигнал обнаруживается на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности . Как изменится вероятность правильного обнаружения при сохранении неизменным значения вероятности ложной тревоги, если вместо сигнала будет обнаруживаться сигнал ? Для обнаружения сигнала , как и сигнала , используется оптимальный обнаружитель.

69. Необходимо обнаружить на фоне АБГШ со спектральной плотностью мощности сигнал где – известная амплитуда, а – случайная величина, подчиняющаяся распределению . Значения таковы, что при заданной длительности сигналы, соответствующие частотам , взаимно ортогональны. Определить структуру оптимального обнаружителя и рассчитать качественные показатели, считая и .