Алгебраические фракталы

Геометрические фракталы

Введение

ФРАКТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ: ОТ ФРАКТАЛЬНОЙ ЖИВОПИСИ ДО ПРОМЫШЛЕННОГО ДИЗАЙНА

Как известно, новое может появляться на стыках наук, или при ином взгляде на уже известное в науке. Очень часто новое появляется в кризисные времена, как реализация потребности человека в новой действительности. Так в 1917 году в революционной России началась реорганизация всей системы художественного образования, появилась школа авангарда, отличительной чертой творческой направленности и методов обучения которой было взаимодействие различных видов искусств [1].

Сегодня мы также живем во время, когда потребность в новой действительности очень высока. Науки развиваются стремительно, у человека появились новые возможности в виде компьютеров и суперкомпьютеров, которые могут реализовать самые фантастические проекты.

И поэтому вполне в духе ВХУТЕМАСа: взглянуть на математику и информатику глазами художника или дизайнера и провести эксперимент по попытке создания элементов нового графического искусства с помощью математики и информатики под управлением человека.

В математике несколько десятилетий назад появилось новое направление: фрактальная геометрия [2,3]. Фракталы уже используются: в медицине при диагностика, в бизнесе при оценке поведения финансовых рынков, в моделировании архитектуры, в моделировании космических облаков, в физике при моделировании протона, в биологии при изучении самоподобного деления клеток в развивающем организме [2-5].

Определения [6]:

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.

Генерация фрактала – итерационный процесс, который может осуществляться по бесконечному числу алгоритмов.

Простейший алгоритм самоподобной генерации представлен на рис. 1 при генерации геометрического фрактала.

Для генерации геометрических фракталов исходной является некоторая геометрическая фигура, например (рис. 1а), имеющая более простые составляющие (в данном случае прямые линии – ребра). Если заменить каждое ребро исходной фигурой (рис. 1а), получится новая фигура, изображенная на рис. 1б.

а	б	в

Рис. 1. Алгоритм генерации геометрического фрактала: а) фигура, б) одна итерация – замена фигурой (а) ее простейших элементов (ребер), в) несколько итераций (б)

Если эту итерацию повторять много раз, фигура будет усложняться (рис. 1в). Если часть ребер пропускать, изображения будут отличаться.
Данный алгоритм можно увидеть и в природе – он напоминает рост организма в результате деления клеток.
В компьютерной графике геометрические фракталы используются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий, волн, облаков и т.д. Двухмерные геометрические фракталы, например фракталы Серпинского, могут быть использованы для создания текстур – периодически повторяющихся рисунков на поверхности.

Алгебраические фракталы описывают нелинейные процессы в n-мерных пространствах, где n – не обязательно целое и положительное число.
Использование компьютерного моделирования для математических моделей различных процессов, или как сейчас говорят, математического компьютинга, может дать очень интересные результаты, которые найдут свое практическое применение и дадут толчок развитию новых инновационных технологий в различных областях.
Понятно, что для получения новых результатов, помимо большого опыта математика-программиста требуются колоссальные итерационные процессы (огромная размерность файлов (в пикселах), большое число итераций) на компьютерах с большой памятью и быстродействием.
Графическим следом отражения моделируемых нелинейных процессов является фрактал – представитель нового класса компьютерно-математической растровой графики – фрактальной графики. На рис. 2 показано увеличение алгебраического фрактала почти в 2 миллиона раз. Из рисунка видно, что при увеличении видны не размытые цветные области, а все тот же фрактал (или его часть).

Рис. 2. Бесконечность алгебраического фрактала, постепенное увеличение изображения

Принципиальное отличие фрактальной графики от классической и обычной компьютерной, заключается в том, что получаемое изображение (графический след, фазовый портрет) для некоторых классов фракталов бесконечно при увеличении изображения (рис. 2). То есть, как бы вы не уменьшали масштаб, в получаемом увеличенном изображении будут не примитивные цветные пикселы, а рисунок все того же фрактала. Это и есть свойство самоподобия.
Увеличение дает нам все то же подобное изображение. Очень удобное свойство для создания множества изображений большого объема на одну тему. Это дает возможность на базе одного фрактала создавать стиль с огромным количеством изображений, ограниченных по объему файла только возможностями компьютера или суперкомпьютера.
Данное свойство алгебраических фракталов можно использовать в промышленном дизайне при создании изображений для поверхностей большой площади (фрески, витражи, интерьеры, внешние стены).