Расчёт дюрализации облигаций

Годовой период	Потоки денег	Фактор дисконта при i = 5 %	PV потоков денег (2)∙(3)	PV как % цены облигации	t PV потока денег (1) (4)
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)
		0,9524	66,668	6,136	66,668
		0,9070	63,490	5,843	126,980
		0,8638	60,466	5,565	181,398
		0,8227	57,589	5,300	230,356
		0,7835	838,345	77,156	4191,725
Итого:	1086,558		4797,127

 

 

Дюрация D = 4797,127/1086,558 = 4,415 годам. Столбец (5) в этой таблице показывает долю PV каждой ежегодной выплаты в начальной цене облигации, иными словами, величину:

Но ведь формулу вычисления дюрации можно представить в виде

 

Тогда становится понятным определение дюрации, как средневзвешенного срока получения всех денежных выплат: каждый срок выплаты (один год — для первой выплаты, два года — для второй и т.д.) умножается на «вес», равный:

 

 

 

(сумма этих весов равна 1, или 100 %), и затем полученные произведения скла­дываются. Тогда и дюрацию D можно находить, умножая данные столбца (1) на величины столбца (5) и складывая затем полученные результаты:

D = 1 • 0,06136+2 • 0,05843+3 • 0,05565+4 • 0,05300+5 • 0,77156 = 4,415 года.

9.4. Формирование и управление портфелем облигаций

Считается, что при формировании и управлении портфелем облигаций инвестор может преследовать три стратегические цели:

1) добиться потока стабильного дохода, получаемого через определенные промежутки времени;

2) аккумулировать запланированную сумму денег к определенной дате;

3) повысить отдачу портфеля либо за счет удачного прогноза движения процентной ставки, либо путем получения прибыли за счет изменения соотношения цен и доходности к погашению облигации.

Рассмотрим эти инвестиционные стратегии подробно.

Формирование и управление портфелем с целью получения потока стабильного дохода

Облигации служат удобным средством для тех инвесторов, которые желают обеспечить себе стабильный поток относительно высокого дохода за счет регулярных купонных выплат и получения начальной стоимости (номинала) облигации при ее погашении. Наиболее удачным способом достижения этой цели служит простая покупка надежных (в смысле кредитного риска) и относительно высокодоходных облигаций и сохранение их вплоть до погашения (или до окончания более короткого запланированного инвестором срока). Имея поставленную цель — получать желаемый годовой доход, — инвестор должен скомпоновать в портфеле такое количество облигаций, чтобы их суммарные купонные выплаты равнялись необходимому доходу.

Эта стратегия несет определенный риск, вызываемый рядом обстоятельств. Во-первых, удерживая облигации вплоть до их погашения, инвестор избегает ценового риска (риска ликвидности), но одновременно значительно повышается кредитный риск, связанный с возможностью несоблюдения обязательств эмитентом. Во-вторых, желание обеспечить максимальный доход будет подталкивать инвестора на приобретение высокодоходных облигаций, которые имеют, как правило, и меньшую надежность. В-третьих, инвестор должен сформировать портфель таким образом, чтобы ежегодно в нем заменялась новыми облигациями после погашения старых небольшая часть ценных бумаг, т. е. процесс погашения облигаций шел последовательно, невысокими порциями. Если инвестор так подберет облигации, что в какой-то момент будет гаситься значительная часть портфеля, то время замены может совпасть с периодом низкого уровня рыночной процентной ставки, в результате чего инвестор вынужден будет реинвестировать купонные суммы по более низким ставкам, и его доход снизится.

Предположим, что инвестор располагает 5000 руб. и желает 1 января 2005 года сформировать портфель облигаций с постоянным высоким доходом. Для простоты будем полагать, что номинал всех облигаций равен 1000,00 руб. Тогда, выбрав облигации с максимальной текущей доходностью к погашению при допустимом уровне надежности (кредитного риска), инвестор должен сформировать приблизительно следующий портфель:

Таблица 16

Пример формирования портфеля облигаций

 

Зад облигации (эмитент)	Номинал, руб.	Текущая цена, руб.	Текущая YTM, %	Ставка купонных выплат, %	Годовой доход, руб.	Срок погашения
Облигация фирмы А	1000,00	998,13	9,5	9,3		1.01.2006
Облигация концерна В	1000,00	1001,79	9,1	9,2		1.01.2007
Облигация корпорации С	1000,00	996,63	9,0	8,9		1.01.2008
Государственная облигация D	1000,00	1003,74	9,15	9,25	92,5	1.01.2009
Облигация объединения Е	1000,00 ,	1003,97	8,9	9,00		1.01.2»Г
Итого:	5000,00	5004,26		456,5

* Совпадающие даты погашения выбраны в целях упрощения расчетов.

Как видно из табл. 16, суммарная рыночная цена облигаций (5004 руб.) не на много превосходит ресурсы инвестора. Данный портфель принесет инвестору через год доход в размере 1456,5руб. (1000руб. он получит при погашении обли­гации А плюс сумма купонных выплат). Доход от номинала он должен потратить на покупку очередной облигации F, срок погашения которой наступит, положим, 1 января 2010 г. То же он должен сделать 1 января 2007 г., купив облигацию со сроком погашения в 2011 г. и т.д., чтобы иметь возможность каждый год полу­чать доход от номинала и тратить его на приобретение очередной облигации.

Конечно, колебания рыночной ставки процента могут понизить отдачу порт­феля в какой-то момент, но, увеличив число облигаций в портфеле и растянув во времени процесс его обновления, инвестор способен сгладить отрицатель­ные последствия падения процентных ставок, так как в длительных периодах отклонения процентной ставки в обе стороны уравновешивают друг друга.

Следует заметить, что достоинство подобного портфеля — это отсутствие необходимости его постоянного управления, поскольку купонные суммы не ре­инвестируются и облигации не реализуются раньше срока их погашения. Фак­тически инвестор проводит корректировку портфеля раз в год, когда решает, какую облигацию приобрести взамен погашенной. Однако главный недостаток такого портфеля состоит в том, что он не позволяет раскрыть все потенциаль­ные возможности отдачи облигаций.

Построение и управление портфелем с целью аккумулирования желаемой суммы денег

Хотя использование облигаций в целях получения потока стабильных до­ходов достаточно эффективно, имеются многие индивидуальные и институци­ональные инвесторы, пытающиеся с помощью облигаций решить совершенно другую задачу — к установленному моменту времени скопить запланирован­ную сумму денег. Так, индивидуальный инвестор может прибегать к такой мере, положим, в преддверии предстоящего ухода на пенсию, для оплаты будущего обучения детей в вузе, для покупки квартиры и т. п. В то же время, такие инсти­туциональные инвесторы, как пенсионные фонды, страховые компании, могут прибегать к подобному способу накопления сумм, необходимых для будущих выплат пенсий и страховых премий. Существует ряд способов построения пор­тфелей, решающих задачу накопления заданной суммы денег к установленной дате. Наиболее часто используются два способа:

а) предписание получаемых сумм к конкретным выплатам;

б) иммунизация портфеля.

Предписание портфеля — это такая стратегия, при которой целью инвестора является создание портфеля облигаций со структурой поступления доходов (последовательность и объемы), полностью или почти полностью совпадающей со структурой предстоящих обязательных выплат (например, 28 июня инвестор должен выплатить 1,5 тыс. руб., 15 августа — 1,3 тыс. руб. и т.п.).

Если денежные поступления (купонные выплаты плюс номинал) от облига­ций точно совпадают со сроками и объемами будущих обязательств, то говорят о чистом совпадении потоков денег. Наиболее простое решение в подобном случае (если заранее известны сроки платежей) — это приобретение бескупон­ных облигаций, например ГКО, время погашения которых точно совпадает со сроками обязательных платежей. Тогда отпадает необходимость в реинвестиро­вании денег, и управление портфелем значительно упрощается.

Однако на практике реализовать метод предписания портфеля затрудни­тельно: во-первых, зачастую время погашения бескупонных облигаций отли­чается от сроков обязательных платежей. В этих случаях необходимо либо до­срочно продавать бескупонную облигацию (если срок обязательного платежа наступает раньше погашения облигации), либо реинвестировать полученный при погашении номинал (если погашение облигации происходит раньше обя­зательного платежа). Очевидно, что при несовпадении дат обязательного плате­жа и погашения бескупонной облигации возникает значительный риск — при досрочной продаже облигации опасно повышение процентной ставки (цена продажи упадет), в случае реинвестирования номинала невыгодно падение процентных ставок. Во-вторых, зачастую на рынке вообще отсутствуют подхо­дящие бескупонные облигации, и инвестор вынужден использовать купонные облигации. Тогда инвестору также необходимо прибегать к реинвестированию купонных сумм и номинала, поэтому говорят о совпадении потоков денег с учетом реинвестирования. Портфель облигаций формируется таким образом, чтобы денежные поступления от облигаций плюс ожидаемая отдача от реинвес­тирования обеспечивали необходимые суммы для выполнения обязательных платежей. Сумму, получаемую в результате реинвестирования, надо находить, пользуясь методикой вычисления для случаев покупки ценных бумаг в сроки, не совпадающие со сроками купонных выплат.

Проиллюстрируем метод предписания с использованием купонных облига­ций на следующем примере: предположим, пенсионный фонд в течение бли­жайших лет должен совершить следующие обязательные платежи:

 

Время платежа
Обязательства	Платеж L1	L2	L3	L4

Фонд намерен сформировать портфель облигаций для покрытия этих пла­тежей за счет купонных выплат и номиналов облигаций путем предписания.

В этих целях необходимо сначала найти облигацию, положим, компании К, срок погашения которой совпадает с датой четвертого, последнего платежа L₄. В мо­мент погашения эта облигация обеспечит доход в виде номинала М_к и купон­ной выплаты С_K. Для простоты будем полагать, что возможно чистое совпа­дение потоков денег, т.е. (М_к + С_к) = L₄. Тогда потоки обязательств и доходов фонда примут следующий вид:

 

Время платежа
Обязательства	L1	L2	L3	L4
Притоки денег	CK	CK	CK	MK+ CK
Оставшиеся обязательства	Lt-CK	Lt-CK	Lt-CK

 

После этого необходимо найти следующую облигацию N со сроком погаше­ния, совпадающим с датой платежа L₃. Для простоты вновь предположим, что сумма номинала M_n, купонной выплаты C_N и купонной выплаты С_к по облига­ции К также равны величине L₃: [M_N +C_N + C_K) — L₃. Включение такой облига­ции в портфель изменит баланс платежей:

 

Время платежа
Обязательства	L1	L2	L3	L4
Притоки денег	CK+ CN	CK+ CN	MN+CK+ CN	MN+CK
Оставшиеся обязательства	L1- CK- CN	L2- CK- CN

Продолжив этот процесс, можно подобрать необходимый портфель. Конеч­но, несовпадение дат обязательных платежей и денежных поступлений от об­лигации, как и возможное расхождение величин этих сумм, значительно услож­нит формирование портфеля, но с использованием методов линейной алгебры данная задача в целом разрешима.

Главное достоинство метода предписания портфеля — сведение до миниму­ма риска (ликвидности и реинвестирования), так как портфель формируется с минимально допустимыми отклонениями от установленного графика выплат. Но он также не позволяет использовать все потенциальные возможности полу­чения отдачи от облигаций.

Иммунизация портфеля. Основная опасность, с которой могут столкнуться инвесторы, формирующие портфель ради аккумулирования определенной суммы денег, состоит в возможном изменении рыночной процентной ставки. Это может повлиять не только на величину средней геометрической нормы отдачи, но и на накапливаемую сумму. Почему такое может произойти? Стратегия аккумулирования денег к установленной дате предполагает, что инвестор должен заранее установить определенный инвестиционный горизонт Г, по окончании которого и ожидается желаемая сумма денег. Очевидно, что при этом срок погашения облигаций портфеля должен превосходить инвестиционный горизонт Г. Поэтому при такой стратегии облигации не находятся в портфеле до их погашения и возникает необходимость досрочной продажи облигаций по цене Р_{продажи}.

Как известно, возможные изменения доходности к погашению i воздействуют на две составляющие отдачи облигации — цену продажи Р_{продажи} и суммы процента на процент (% на%). Причем изменения Р_{продажи} и сумм процента на процент происходят в противоположных направлениях:

- если величина i растет, то Р_{продажи} снижается, а % на % — растет;

- если величина i падает, то Р_{продажи} растет, а% на% — падает.

При определенных ситуациях, когда величина i растет, падение Р_{продажи} может быть столь существенным, что это не компенсируется приростом сумм % на %. То же может наблюдаться и при падении i, когда снижение сумм% на% может не компенсироваться приростом Р_{продажи}.

Иммунизация позволяет так формировать портфель, чтобы изменения сумм Р_{продажи} и процента на процент уравновешивались, и любые изменения i не при­водили к потерям. Иными словами, иммунизация позволяет устранить риск ко­лебаний процентной ставки. Однако риск дефолта эмитента при этом остается. Поэтому нельзя утверждать, что с помощью иммунизации можно устранить весь риск инвестирования в облигации. Такое утверждение справедливо только для государственных облигаций.

Считается, что портфель облигаций иммунизирован, если выполняется одно или несколько следующих условий:

1) Фактическая годовая средняя геометрическая норма отдачи за весь запла­нированный инвестиционный период (т. е. к моменту получения необходимой суммы) должна быть по крайней мере не ниже той доходности к погашению i, которая была в момент формирования портфеля.

2) Аккумулированная сумма, полученная инвестором в конце холдингового периода, по крайней мере не меньше той, которую он бы получил, разместив первоначальную инвестиционную сумму в банке под процент, равный исход­ной доходности к погашению i портфеля, и реинвестируя все промежуточные купонные выплаты по ставке процента i.

Ранее было показано, что если облигация реализуется в срок, равный ее дюрации, то колебания процентной ставки не оказывают воздействия на сум­марную отдачу облигации. Тогда очевидно, что если облигации портфеля будут подобраны таким образом, чтобы дюрация портфеля D_портф точно равнялась запланированному инвестором холдинговому периоду Г, то эти два условия выполнятся. Значит, условие иммунизации портфеля заключается в том, чтобы выполнялось условие: D_портф = Г.

Пусть инвестор формирует портфель облигаций, который должен принести ему через 10 лет с учетом рыночной действующей доходности к погашению i =10% сумму, равную 10 тыс. руб. Так как доходность к погашению — это средняя геометрическая годовая доходность портфеля, то начальные затраты

инвестора составят: Чтобы иммунизировать портфель, он должен подобрать в портфель такие облигации, чтобы дюрация D_портф равнялась также 10 годам. В этом случае он будет застрахован от возможных потерь в случае колебаний процентной ставки.

Но иммунизация требует постоянного пересмотра портфеля, так как с течением времени запланированный инвестором холдинговый период сокращается, и, например, через год он станет равным 9 лет. В этом случае инвестор должен изменить содержимое портфеля и подобрать в него облигации, чтобы и дюрация портфеля составила 9 лет. Если инвестор будет поступать таким образом все 10 лет, то он может быть уверенным, что, во-первых, годовая средняя геометрическая норма отдачи портфеля, высчитанная за 10 лет, окажется не ниже 10% и, во-вторых, его начальный вклад 3855,43 руб. возрастет до суммы: 3855,43∙ (l,l)¹⁰ =10 тыс. руб.

При использовании иммунизации предполагается, что дюрация портфеля высчитывается по формуле:

 

где W_K — вес соответствующей облигации в портфеле, D_K — дюрация облига­ции, п — количество облигаций в портфеле.

Самый простой способ иммунизации портфеля — это приобретение бес­купонных облигаций, чей срок погашения равен запланированному холдин­говому периоду, а их суммарная номинальная стоимость в момент погашения соответствует цели инвестора. Как уже отмечалось, дюрация бескупонных об­лигаций равна сроку их погашения. Использование бескупонных облигаций снимает проблему постоянного переформирования портфеля, поскольку дю­рация D и срок, оставшийся до погашения бескупонных облигаций, постоянно уравниваются с течением времени. Кроме того, поскольку купонных выплат нет, то снимается проблема их реинвестирования, следовательно, инвестор всегда получит запланированную сумму и обеспечит желаемую отдачу инвестиций вне зависимости от изменений рыночной ставки процента.

Однако часто инвестору не удается найти подходящие бескупонные обли­гации, соответствующие поставленным им целям. В этой связи он вынужден прибегать к покупке купонных облигаций. Рассмотрим способы иммунизации портфеля купонных облигаций, что по определению должно обеспечивать тре­буемую среднюю геометрическую доходность или аккумулирование к опреде­ленному сроку заданной суммы денег.

Пусть планируемый инвестиционный горизонт Г инвестора составляет 6 лет, текущее рыночное значение доходности к погашению i = 5,5 %. Инвестор рас­полагает 1000 руб. и пытается создать оптимальный портфель, который обеспе­чил бы получение дохода не ниже суммы: (1,055)⁶∙1000 = 1378,84 руб. и средней годовой геометрической доходности не меньше 5,5 %. При этом он рассматри­вает три альтернативы:

1) создать портфель из облигации, приобретаемой по номинальной стоимости 1000 руб. и сроком погашения T= 6 лет, т. е. равным планируемому периоду Г;

2) объединить в портфель облигации той же номинальной стоимостью, но с T=7 лет;

3) сформировать портфель из облигаций со сроком погашения до 10 лет.
Полагаем, что все три облигации имеют купонную ставку С_t =5,5%. Если

провести расчеты на основании этих данных, то выяснится, что дюрация первой облигации D = 5,27 года, второй — 6,00 лет, а третьей — 7,95 года. Представим теперь, что рыночная ставка процента начинает меняться (метод иммунизации всегда предполагает, что такие изменения происходят скачкообразно и новая ставка процента действует до конца холдингового периода). Как скажется это на общей сумме, аккумулированной инвестором к концу холдингового периода, и на годовую среднюю геометрическую доходность портфеля?

Мы уже отмечали, что падение требуемой доходности i однозначно приво­дит к снижению суммы, получаемой в результате реинвестирования, и к по­вышению цены продажи облигаций. Соответствующие величины приведены в табл. 9.10. Напомним, что поскольку облигации покупаются по номиналу, то ставка купонных выплат также составляет 5,5%. Кроме того, следует вспом­нить, как определяется цена продажи облигации в случае ее ликвидации до окончания срока погашения (как текущая стоимость оставшихся до погашения потоков денег), а также о способах расчета суммы, получаемой в результате реинвестирования (с использованием фактора аннуитета).