Вероятности состояния спроса на продукцию

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Предприятие планирует строительство склада для хранения товаров. Объем спроса на продукцию, а соответственно и будущий объем реализации точно не определены. Имеются четыре варианта решений (отличающихся размерами помещений, местом расположения и системой автоматизации работы склада). Необходимо найти наилучшее решение, если рассматриваются четыре возможных состояния спроса на продукцию предприятия. Для этого необходимо определить:

1. Значение критериев Вальда, Лапласа, Гурвица для всех стратегий (вариантов), при определении критерия Гурвица коэффициент, выражающий долю оптимизма, задайте на уровне 0,3.

2. Насколько изменится принятое решение, если установлены вероятности состояния спроса (Таблица 2.4).

3. Значения критерия Сэвиджа, для чего составьте матрицу рисков.

4. Обоснуйте наилучшее решение, проанализировав всю совокупность полученных критериев.

Таблица 2.4

Вероятности состояния спроса на продукцию

Вариант Состояния спроса
10-18 0,2 0,2 0,3 0,3

 

Данные для формирования платежной матрицы по вариантам

Стратегия Состояния спроса на продукцию

 

Решение:

1. Критерий Вальда. Для его расчета в каждой строке платежной матрицы берется минимальный спрос (51, 54, 59, 56). Теперь определим максимальное значение из минимумов 59. По критерию Вальда лучшая стратегия номер 5, т.к. потери предприятия в этом случае минимальны, а точнее деятельность предприятия будет прибыльной, даже при минимальном спросе.

Критерий Лапласа. При равной вероятности различных состояний спроса (P3=P4 =P5=P6=0,25) ожидание прибыли при различных вариантах спроса составит:

Л3 = 51·0,25+67·0,25+78·0,25+68·0,25 =66

Л4 = 73·0,25+54·0,25+67·0,25+60·0,25=63,5

Л5 = 76·0,25+69·0,25+67·0,25+59·0,25=67,75

Л6 = 79·0,25+66·0,25+56·0,25+78·0,25=69,75

По критерию Лапласа лучшей стратегией является номер 6.

Критерий Гурвица. Коэффициент, выражающий долю оптимизма, зададим на уровне 0,3; коэффициент, выражающий долю пессимизма, зададим на уровне 1-0,3=0,7. Для каждой стратегии выбираем наименьшее и наибольшее значение спроса. Значение Гурвица для стратегий равно:

Г3 = 78·0,3 + 51·0,7=59,1

Г4 = 73·0,3 +54·0,7=59,7

Г5 = 76·0,3 + 59·0,7=64,1

Г6 = 79·0,3 + 56·0,7=62,9

По критерию Гурвица наилучшая стратегия номер 5.

2. Математическое ожидание прибыли для 4 вариантов спроса (вероятности 0,2, 0,2, 0,3, 0.3)

Л3 = 51·0,2+67·0,2+78·0,3+68·0,3 =67,4

Л4 = 73·0,2+54·0,2+67·0,3+60·0,3=63,5

Л5 = 76·0,2+69·0,2+67·0,3+59·0,3=66,8

Л6 = 79·0,2+66·0,2+56·0,3+78·0,3=69,2

Таким образом, при принятом распределении вероятностей лучшей является стратегия номер 6.

3. Критерий Сэвиджа. Для того чтобы построить матрицу рисков необходимо найти максимальное значение прибыли для разных состояний спроса, которое в примере составляет 79, 69, 78, 78 млн. ден. ед. Отнимая от этих значений прибыли соответствующие значения различных стратегий и получаем матрицу рисков (Таблица 2.2).

Стратегия Риск для вариантов спроса Максимальные потери
-28 -2 -10 -28
-6 -15 -11 -18 -18
-3 -11 -19 -19
-3 -22 -22

 

В дополнительном столбце матрицы рисков показывается максимальное значение риска (потеря) для каждой стратегии. Минимальное значение потерь наблюдается во втором случае (4 стратегия).

4. Вывод. Исходя из рассмотренных критериев и учета того, что принимается разовое ответственное решение, для рассматриваемого примера лучшим вариантом является стратегия 5

 

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ

Решение:

Определим чистые стратегии игроков. Первый игрок имеет три информационных множества – 3 чистые стратегии (выбирая стратегию 1 на первом ходу, у него нет более ходов; выбирая стратегию 2 на первом ходу, он может выбрать две стратегии на втором ходу). Второй игрок имеет три информационных множества – 2 чистые стратегии (две стратегии на первом ходу и единственная стратегия в случае выбора первым игроком на первом ходу вторую стратегию).

Строим платежную матрицу:

 

A\B
2,1 -1
2,2 -4

 

 

В матрице нет седловой точки, следовательно, игра имеет решение в смешанных стратегиях.

Проверим, есть ли в матрице доминируемые строки и доминирующие столбцы. Можно удалить третью строку, доминируемую с первой. В результате получим матрицу

 

Прибавив ко всем элементам матрицы А', например, число с =1, получим матрицу

.

все элементы которой неотрицательны, а элементы первой строки строго положительны.

Составим пару симметричных двойственных задач, так чтобы исходная задача была стандартной задачей максимизации, матрица коэффициентов этой задачи совпадала с платежной матрицей А", ·а коэффициенты при неизвестных в целевой функции и свободные члeны неравенств были бы равны единице.

Задача 1 Мах f(X) = x1+ x2 при условиях: x1 ≥0, x2 ≥0, 4x2≤1, 5x1 +x2≤1 Задача 2 Min g(Y) = у1 + у2 при условиях: 5 у1 ≥ 1, y1 + 4y2 ≥1, у1≥ 0, у2≥0.

Решим задачу 1 симплекс-методом. Она задана в форме общей задачи. Сведем её к основной при помощи дополнительных неизвестных x3≥0, x4≥0. В результате получим следующую задачу.

xj ≥ 0 (j = 1,…,4),

f(X) = x1+ x2→ тах.

 

Задача – каноническая и, применив к ней алгоритм симплекс-метода, c помощью MS Excel найдем решение:

причем f(X*) = g(Y*) =0,4

 

Из решений двойственных задач получим цену игры и оптимальные стратегии игроков в игре с матрицей А":

v" = = 2.5;

= ;

= =

Игра с матрицей А' будет иметь те же оптимальные стратегии и , что и игра с матрицей А", причем цена игры

v' = v" – с = 2.5-1 = 1.5.

И, наконец, исходная игра с матрицей А имеет оптимальные стратегии

Р*= и Q*=

и цену игры v = v' =1.5