РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Под -окрестностью точки будем понимать внутренность круга радиуса с центром в точке , то есть множество точек , для которых .

Определение.Число называется пределом последовательности комплексных чисел , если можно указать такой номер , , начиная с которого выполняется неравенство .

Иначе: если , то как бы мала ни была -окрестность точки , все точки последовательности , начиная с , попадут внутрь этой окрестности. Существование предела равносильно существованию двух пределов:

, , где .

Пример 1. Найти 1) ; 2) .

Решение. 1) Имеем , значит . Из существования пределов и следует, что предел последовательности существует и равен .

2) Представим число в тригонометрической форме: . Затем применим формулу Муавра

.

Значит . Из существования пределов и (произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность) следует, что предел последовательности существует и равен . ☻

Определение.Последовательность комплексных чисел называется ограниченной, если существует такое число , что для всех элементов последовательности имеет место неравенство (и неограниченной в противном случае).

Принято считать, что всякая неограниченно возрастающая последовательность комплексных чисел сходится к комплексному числу . Комплексная плоскость вместе с бесконечно удаленной точкой, изображающей число , называется полной комплексной плоскостью. Точки неограниченно возрастающей последовательности комплексных чисел стремятся к точке независимо от направ-

ления на полной комплексной плоскости. Выражение означает , при этом аргумент бесконечно удаленной точки не имеет определенного значения (так же, как и аргумент точки ). Окрестность бесконечно удаленной точки – это внешность круга с центром в точке , т.е. . Для бесконечно удаленной точки устанавливаются следующие соотношения:

; ; ; .

Рассмотрим ряд с комплексными членами

(1)

Его частичные суммы . Ряд (1) называется сходящимся, если существует предел последовательности частичных сумм при . Этот предел называется суммой ряда.

Так как , то сходимость ряда (1) равносильна сходимости двух рядов с действительными членами и .

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда можно указать такой номер , что при всех и любом натуральном (критерий Коши).

Пример 2. Показать, что необходимым условием сходимости ряда (1) является требование .

Решение. Пусть ряд (1) сходится. В силу критерия Коши для можно указать такой номер , что при всех и при : . Это и означает, что последовательность бесконечно малая. ☻

Задача 1. Убедиться, что ряд расходится.

Если сходится ряд

, (2)

то сходится и ряд (1), который в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Достаточные признаки сходимости ряда (2).

Признак Даламбера. Ряд (2) сходится, если выполняется соотношение

для всех , здесь .

Признак Коши. Ряд (2) сходится, если выполняется соотношение

для всех , .

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. По формуле Эйлера . Таким образом, вопрос о

сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов и . Для первого ряда . По признаку Даламбера этот ряд сходится абсолютно. Это верно и для второго ряда, значит, данный ряд сходится абсолютно. ☻