Ханс Бете Феликс Блох

(1906 - 2005) (1905 - 1983)

Позднее Г.А.Бете проделал аналогичные вычисления на основе квантовой механики.

В 1930-1933 гг. Г.А.Бете и Ф.Блохом были теоретически вычислены и получены из многочисленных экспериментальных данных величины bmin и bmax. Кроме того, в

1933 г. Ф.Блохом было предложено несколько иное выражение для среднего потенциала ионизации: I (Z) = Iн Z, где Iн = 13,5 эВ – энергия, соответствующая частоте Ридберга.

Формула для ионизационных потерь энергии, выведенная Бете и Блохом с учетом квантовых и релятивистских эффектов, называется их именем (формулой Бете-Блоха) и имеет вид:

- формула Бете-Блоха.

Почему релятивизм не проявился в коэффициенте перед логарифмом

в формуле?

Причина в том, что этот коэффициент, как видно из вывода формулы, определяется величиной переданного импульса pe = F ×t. В случае релятивистских скоростей максимальное значение силы F, действующей со стороны частицы на электрон, увеличивается на множитель .

(Как указано в Теории поля, Ланд., Лифшиц закон Кулона пишется в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси координат, вдоль которой движется частица )

С другой стороны время взаимодействия t уменьшается на множитель γ. Произведение их остается неизменным.

Рис. 3 Зависимость средних удельных ионизационных потерь энергии тяжелых частиц в свинце от энергии. Вся сложная кривая рисунка разделена буквами А, В, С, D, E, F

на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

Зависимость ионизационных потерь от параметров частицы

(важное уточнение: до остановки частицы еще далеко)

1. Удельные ионизационные потери энергии (или линейная тормозная способность вещества):

пропорциональны квадрату заряда частицы: .

Это означает, что при одинаковой скорости ядро железа (z=26) теряет на ионизацию вещества в 676 раз больше энергии, чем протон.

2. Удельные потери не зависят от массы частицы М. Это получается из-за того,

что происходит взаимодействие электрических зарядов частиц, а не их масс. Однако, если сопоставлять потери на ионизацию различных частиц с одинаковой кинетической энергией, тогда в коэффициент перед логарифмическим членом неизбежно

войдет масса частицы, так как V²~ E/M. Поскольку в нерелятивистском случае ионизационные потери обратно пропорциональны квадрату скорости частицы:

, то .

Следовательно, частицы с одинаковой кинетической энергией теряют ее на ионизацию тем больше, чем больше их масса. Например, на единице своего пути дейтрон теряет на ионизацию энергию в 2 раза большую, чем протон с такой же кинетической энергией, а мюон в ~ 9 раз меньшую.

Рис. 1. Зависимость удельной потери энергии в воздухе от энергии частицы для нескольких типов частиц

Другой вариант иллюстрации ионизационных потерь энергии частицами с различными массами в кремнии представлен на рис. 2. (Почему в кремнии?)

Здесь потери энергии приведены не на единицу длины пути (в см), а на толщу вещества мг/см² – т.е. .

Массовая тормозная способность:

Рис.2. Ионизационные потери заряженных

частиц в кремнии .

3. Удельные потери энергии на единице пути являются довольно сложной функцией скорости (и, следовательно, кинетической энергии) частицы. Эта зависимость схематически изображена на рис.3 , где по оси абсцисс отложена кинетическая энергия в единицах своей собственной энергии массы покоя Mc², а по оси ординат – средние удельные потери энергии этой частицей на ионизацию среды.

на отдельные участки с характерным для них поведением этой зависимости.

(BC). Участок (ВС) соответствует случаю, когда с, одной стороны,

частица нерелятивистская, т.е. E < Mc² и b < 1, другой стороны, она

настолько быстрая, что все электроны атомов могут считаться

свободными. Поведение кривой в этой области (ВС) определяется

коэффициентом перед квадратными скобками в формуле Бете-Блоха:

т.е.

Такая зависимость в нерелятивистской области получилась из-за того, что переданный электрону импульс pe = F ×t, зависит от времени взаимодействия t, которое, в свою очередь, обратно пропорционально скорости частицы t ~ 1/ V. Переданная же

электрону энергия, потерянная частицей ~ 1/ V² , и , следовательно , ~ 1/E.

Зависимость имеет место вплоть до релятивистских скоростей. При V ≈ c коэффициент перед скобкой принимает минимальное значение.

(CD). На участке (СD) кривой (см. рис.4) удельные ионизационные потери начинают увеличиваться. Этот рост потерь обусловлен ростом величины логарифмического члена, так как при b®1 .

Поскольку этот множитель стоит под знаком логарифма, то и рост потерь наблюдается медленный - "логарифмический". Логарифмическое возрастание с увеличением энергии обычно называют релятивистским подъемом ионизации. Он начинается после того, как достигнет минимальной величины при V @ 0.96с. Частично этот подъем

происходит за счет близких столкновений, так как увеличивается максимальная передаваемая энергия DEmaх , а частично за счет далеких столкновений из-за релятивистского увеличения bmax. Рост потерь, обусловленный вторым фактором, происходит из-за релятивистского сжатия кулоновского поля частицы в продольном направлении (вдоль траектории частицы) и возрастания поля в поперечном направлении. Рис.5 иллюстрирует сказанное: для нерелятивистских частиц эквипотенциальная поверхность имеет сферически симметричную форму (а), а форма эквипотенциальной поверхности поля релятивистских частиц другая (б): расстояние в продольном направлении уменьшается в раз, а в поперечном - увеличивается в g раз, получается эллипсоид, "блин", который с увеличением скорости частицы все более сплющивается в продольном направлении и увеличивается в поперечном. Это означает, что все большее число электронов среды попадает в поле воздействия летящей частицы. Растет bmax и все большему числу электронов частица передает свою энергию. Следовательно, и потери энергии частицей на единице ее пути растут.

Рис. Форма эквипотенциальной поверхности кулоновского поля: (а) для нерелятивистской, (б) релятивисткой скорости частицы

Задача:

Вспомним как выглядит поле движущегося заряда.

Поля будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов A и j .

(DE). Казалось бы, эффект релятивистского сжатия поля должен был бы приводить к неограниченному увеличению потерь. Однако это не так. При дальнейшем увеличении энергии частицы bmax может стать больше расстояния между атомами среды. В этом случае возникает так называемый эффект плотности, который особенно существенен для плотных газов, жидкостей и, тем более, для твердых веществ. Эффект плотности связан с тем, что поле летящей частицы поляризует атомы среды. В результате поляризации многих атомов возникает поле диполей, направленное в сторону, противоположную полю летящей частицы. Оно ослабляет поле частицы и как бы экранирует от него далеко расположенные электроны. На некотором расстоянии от траектории частицы поле ее компенсируется полностью противоположным полем диполей.

(EF). Область кривой (EF) и соответствует этому случаю: рост потерь энергии существенно замедляется из-за эффекта плотности. Остается только рост потерь за счет увеличения передаваемой энергии, которое обязанно росту DЕmax. В формуле Бете-Блоха эффект плотности учитывается членом "δ". Поскольку эффект поляризации прямо пропорционален плотности электронов среды ne, то этот эффект в сильной степени зависит от плотности вещества, за что и получил свое название.

Энрико Ферми (1901 - 1954)

Поправка на эффект плотности в несколько упрощенном виде впервые была рассчитана Э.Ферми в 1939 г. и поэтому область (EF) часто называют "плато Ферми". В крайнем релятивистском случае поправка на эффект плотности дается выражением:

где , а - плазменная частота электронов.

В предельном случае очень больших энергий часть релятивистского возрастания потерь полностью компенсируется эффектом плотности. Оставшаяся часть связана с передачей энергии при близких столкновениях. В случае не очень больших энергий

максимальная передаваемая энергия DEmax растет как . При очень высоких энергиях DEmax возрастает приблизительно как , т.е. релятивистский подъем оказывается в три раза меньше того, который можно было ожидать без учета эффекта плотности.

Иногда употребляется понятие "ограниченные ионизационные потери" энергии, обычно связанное с условиями наблюдения, например, с ограничением пробега в трековом детекторе δ-электронов, получивших в результате ионизации максимальную энергию . Из-за этого регистрируется не максимальная передача энергии, а меньшая , т.к. она ограничена размерами детектора. В этом случае не будет наблюдаться рост ионизационных потерь в области (EF).

(АВ). Формула для ионизационных потерь была выведена в предположении, что все электроны атомов среды при взаимодействии с частицей могут считаться свободными, т.е. выполняется условие: , и .

По мере уменьшения энергии частицы это соотношение может оказаться нарушенным. В первую очередь это нарушение будет относиться к наиболее сильно связанным электронам в атомах: K- и L- электронам. Когда скорость частицы станет меньше скорости орбитального

движения K-электронов, ионизация их станет невозможной, и, следовательно, K-электроны должны быть выключены при вычислении плотности электронов в среде, т.е. число их как бы

уменьшится, и, соответственно, потери энергии также уменьшатся. При дальнейшем уменьшении скорости частицы то же самое следует отнести и к L-электроном, затем к М-электронам и т.д. Чем больше Z среды, тем больше εсв и тем выше граничная энергия частицы, при которой следует учитывать этот эффект. Поскольку , то граничная кинетическая энергия частицы будет

где α = 1/137 -постоянная тонкой структуры . В таблице 2.2 приведена граничная энергия для протонов и α-частиц в нескольких средах. Уменьшение потерь энергии при малых энергиях частицы соответствует левому "завалу" кривой ионизационных потерь (АВ), и в

формуле Бете-Блоха учитывается последним членом u в квадратных

скобках.

Таблица 2.2. Граничная энергия для протонов и α-частиц

Вещество	Егр для протонов, МэВ	Егр для α-частиц, МэВ
Углерод	0.9	3.6
Алюминий	4.2	16.9
Медь	21.0	84.4

ЯВЛЕНИЕ ПЕРЕЗАРЯДКИ

При рассмотрении ионизационного торможения тяжелых заряженных частиц (ионов атомов) нужно учитывать явление перезарядки, связанное с захватом частицей электронов вещества. Этот эффект становится существенным при скоростях частицы, сравнимых со скоростями орбитального движения электронов (АВ).

Эффективный заряд частицы уменьшается по мере снижения энергии. Для приближенных оценок можно воспользоваться следующим выражением для величины эффективного заряда частицы Ремизов В.С., Рогозкин Д.Б., Рязанов М.И. Флуктуации пробегов заряженных частиц. –

М.:Энергоатомиздат, 1988, с.240. ; Ковалев В.П.Эффективный заряд иона.- М.:Энергоатомиздат, 1991, с.168

, где ; ; z – заряд частицы.

На Рис. представлен эффект изменения эффективного заряда протонов, a-частиц и ионов углерода в кремнии в зависимости от энергии, нормированной на массу(атомный номер) частицы.

3ависимость ионизационных потерь от параметров среды

1. Положение максимума кривой (В) определяется Eгр для каждой среды, так как

2. Удельные ионизационные потери энергии

(или линейные тормозные способности вещества):

Пропорциональны плотности электронов в среде:

В 1 см³ среды содержится электронов

где NA – число Авогадро, Z и A – заряд и атомный вес среды, а ρ – плотность среды.

Для легких веществ . Следовательно, для этих сред

получается простая зависимость г/см³. Это обстоятельство

побудило ввести в обиход массовую единицу длины xρ, размерность которой [xρ] - г/см². Смысл массовой единицы длины: это вес столбика вещества высотою x.

В массовых единицах формула Бете-Блоха принимает вид:

Поскольку Z/A~0.5, а I(A,Z) слабо влияет на величину потерь, так как входит под знаком логарифма, то оказывается, что при расчете на 1 г/см² ионизационные потери во всех веществах

приблизительно одинаковы. Для иллюстрации сказанного в таблице 2.3 приведены ионизационные потери энергии однозарядных релятивистских частиц около минимума кривой, где E ≈(2-3) Mc².

Таблица 2.3. Величина ионизационных потерь энергии в 1 г/см²