Гармонический осциллятор.
Казахстан
Украина
Россия
Линейным одномерным гармоническим осциллятором называют частицу массы 
, совершающую одномерное движение под действием квазиупругой силы 
.
Уравнение движения
.
Собственная частота классического гармонического осциллятора
, откуда 
.
Потенциальная энергия осциллятора
.
Рассмотрение колебательной системы методами квантовой механики: уравнение Шредингера для стационарных состояний частицы в параболической потенциальной яме
.
Преобразуем это уравнение следующим образом
;
.
Введем обозначения: 
и 
.
Тогда
.
Решение этого уравнения должно удовлетворять следующим требованиям:
1) 
симметрична относительно начала координат, следовательно, 
должно быть тоже симметрична по отношению к началу координат (
- симметрична или асимметрично);
2) при 
.
Предположим, что 
- решение уравнения Шредингнра.
Тогда
и 
.
Подставляя решение в уравнение Шредингера, получим
или
.
Отсюда следует, что искомая функция будет решением при 
. Тогда
.
Следовательно,
.
Состояние с энергией 
- основное квантовое состояние осциллятора.
Возможные значения полной энергии гармонического осциллятора
или 
, 
.
Энергетический спектр квантового гармонического осциллятора является дискретным, а уровни энергии 
- эквидистантны
.
Взаимодействие квантового осциллятора с фотоном (излучение или поглощение света) приводит к изменению вида функции: превращает симметричную функцию в антисимметричную, и наоборот. Это приводит к необходимости правила отбора
.
Поэтому квантово-механический осциллятор способен поглотить лишь 
и осуществить при этом переход только на соседний уровень.
Из условия нормировки
,
тогда 
.
Т.к. функция симметрична относительно начала координат, то
.
Откуда
или 
.
Таким образом
.
Если известен вид функции 
, то можно найти все другие величины. Среднее значение координаты:
.
Среднее значение проекции импульса
.
.
В квазиклассическом приближении
.
Отсюда следует, что средние значения потенциальной и кинетической энергий осциллятора равны:
;
.
Значениям энергии соответствуют собственные функции 
. Все функции
должны быть симметричны относительно начала координат Функции - либо симметричны, либо антисимметричны. При 
. Если все эти функции стремятся к нулю на бесконечности, то они должны содержать множитель 
(
). Решение уравнения Шредингера для произвольных 
имеет вид:
,
где 
- это полином Чебышева-Эрмита, степень которого возрастает с увеличением 
; 
- это нормировочный множитель
.
Следовательно,
.
Конкретный вид полиномов:
; 
; 
и т.д.
Некоторые особенности классических и квантовых осцилляторов.
1. Разрешенные значения для квантово-механического осциллятора представляют собой набор эквидиситантных энергетических уровней, а собственные - функции – набор стоячих волн, заключенных в потенциальной яме параболической формы.
Для классического осциллятора границы этой ямы определяют границы пространства, в котором может быть локализована частица. Расстояние по оси 
от 
до 
.
График - функции, являющейся решением уравнения Шредингера, выходит за рамки ограничивающей кривой 
. Такое поведение - функции связано с тем, что она должна быть непрерывной и гладкой везде, в том числе и в точках поворота, и при этом должно выполняться соотношение неопределенности.
2. Вероятность локализации классического осциллятора в окрестностях точки с координатой в потенциальной яме является наибольшей в точках поворота (где скорость 
), т.е. на стенках параболы.
Для квантово-механического осциллятора 
имеет конечное значение и на границах ямы и на некотором расстоянии от нее. Следовательно, существует конечная вероятность локализации частицы вне пределов ямы. Наибольшая вероятность локализации частицы - в точках, соответствующих «пучностям» - функций.
Для больших функция имеет распределение, близкое к классическому. В этом проявляется принцип соответствия.