Теорема об изменении кинетической энергии механической системы

.

В случае неизменяемой системы сумма работ внутренних сил на любом перемещении равна нулю (), тогда

,

Закон сохранения механической энергии.При движении механической системы под действием сил, имеющих потенциал, изменения кинетической энергии системы определяются зависимостями:

, откуда ,

т.е.

.

Сумму кинетической и потенциальной энергий системы называют полной механической энергией системы.

Таким образом, при движении механической системы в стационар­ном потенциальном поле полная механическая энергия системы при движении остается неизменной.

Задача. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость и ускорение тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s (рис. 3.70). В задаче принять:

Решение. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождения от связей системы, покажем реакции шарнирно-неподвижной опоры 2 и шероховатой наклонной поверхности. Направления скоростей тел системы изобразим с учетом того, что тело 1 спускается.

Задачу решим, применяя теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

,

где Т и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - алгебраическая сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; - сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

.

Так как в начальном положении система покоилась, то . Следовательно,

.

а)

б)

Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3

.

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, равна:

.

Кинетическая энергия блока 2, совершающего вращение вокруг оси Оz, перпендикулярной плоскости чертежа,

.

Кинетическая энергия тела 3 в его поступательном движении

.

Таким образом,

.

Выражение кинетической энергии содержит неизвестные скорости всех тел системы. Начать определение необходимо с . Избавимся от лишних неизвестных, составив уравнения связей.

Уравнения связей это не что иное, как кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы. При составлении уравнений связей выразим все неизвестные скорости и перемещения тел системы через скорость и перемещение груза 1.

Скорость любой точки обода малого радиуса равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения r

.

Отсюда выразим угловую скорость тела 2

. (а)

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса , с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока и радиуса вращения, а с другой – скорости тела 3

.

Подставив значение угловой скорости, получим:

. (б)

Проинтегрировав при начальных условиях выражения (а) и (б), запишем соотношение перемещений точек системы:

. (в)

Зная основные зависимости скоростей точек системы, вернемся к выражению кинетической энергии и подставим в него уравнения (а) и (б):

.

Момент инерции тела 2 равен:

.

Подставляя значения масс тел и момента инерции тела 2, запишем

.

Определение суммы работ всех внешних сил системы на заданном перемещении.

.

Работа силы тяжести тела 1

.

Работа сил равна нулю, так как эти силы приложены к неподвижной точке.

.

Работа силы тяжести тела 3

.

Работа нормальной реакции тела 3 равна нулю, так как сила перпендикулярна направлению движения

.

Работа силы трения скольжения

,

так как

,

тогда

.

Сумма работ внешних сил

.

Подставляя значения масс тел, соотношения перемещений (в) и числовые параметры, запишем:

Теперь согласно теореме об изменении кинетической энергии механической системы приравняем значения Т и

. (г)

Скорость тела 1 получим из выражения (г)

.

Ускорение тела 1 можно определить, продифференцировав по времени равенство (г):

,

где .

Тогда

.