Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии можно получить из 2го закона Ньютона. Пусть имеется материальная точка, которая движется под воздействием внешних сил, как потенциальных, так непотенциальный.
(1) |
(3) |
(2) |
Если движение тела происходит со скоростью много меньше скорости света, то считается что масса не зависит от времени, и ее можно вывести за знак потенциала.
Если умножим скалярно левую и правую части уравнения 1 на элементарный вектор , соответствующий перемещению точки альфа, за время dt.
Преобразуя левую часть уравнения 2:
(4) |
Это и есть элементарная работа дА, где дА- это работа совершаемая силой .
Это работа приводит к изменению величины уравн. 5, и называемой кинетической энергией материальной точки.
(5) |
Энергия - физ. величина, характеризующая способность тела или системы тел совершать работу.
Кинетическая энергия – это энергия, обусловленная движением тел с некоторой скоростью.
Энергия обусловленная нахождением в потенциальном поле сил называется потенциальной.
Конкретный ее вид зависит от характера силового поля. Так например, ось сил тяжести в близи земной поверхности потенциальная энергия тела n имеет вид:
(6) |
где h – высота отсчитанная от уровня для которого приято, U=0, поскольку начало отсчета у можно выбирать произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательные значения.
Если принять за 0 потенциальную энергию тела, находяющуюся на поверхности Земли, то потенциальная энеригия тела лежащего на дне ямы, глубиной h’, будет равна –mgh’. Отметим, кинетическая энергия не может быть отрицательной.
В этом основное различие между потенциальной и кинетической энергией.
Умножим на m числитель и знаменатель в выр.5, и приняв во внимание, что m*U=P импульсу, выражение имеет вид:
(7) |
Работа (А) совершаемая над телом равна приращению его кинетической энергией:
Чтобы доказать это напишем выражение для элементарной работы:
(8) |
где F- сила совершающая над телом работу.
u- скорость тела.
это следует из 2го закона Ньютона.
, откуда
это и есть скалярное произведение 2х векторов, но поскольку
(9) |
Проинтегрировав это выражение придем к формуле:
(10) |
Из уравнения 10 следует, что энергия имеет такую же размерность как и работа. Это дает возможность измерять энергию, в тех же единицах, какие используются для измерения работы.
! Когда принята система СИ? в 60х годах В Англии в 2005 году |
В качестве единиц работы служит работа, совершаемая силой равной 1, и действующая в направлении перемещения на пути равным 1.
1) В системе СИ единицы работы являются Дж (джоуль), который равен работе сов силой в 1 Н на пути в 1 м.
2) В СГС единицы работы явл. в 1 Дин на пути в 1 см.
3) В МКГСС единицы работы 1 кг*м [кГ]
Между единицами работы такое соотношение:
102 см = 107 эрк
1 кгс*м = 1 кгс * 1м
1 кгс = 9,811 Н * 1м = 9,81 Дж
Кинетическая энергия Т системы точек образуется суммированием:
(11) |
(12) |
(14) |
(13) |
12 - дифференциальная запись закона сохранения энергии. Упростим 12 представление потенциальных сил через силовую функцию:
Удобно вместо силовой силы ввести потенциальную энергию точки, которая равна работе производимой потенциальной силой при перемещении этой материальной точки из данного положения в другое, для которой величина потенциальной энергии равна 0.
Пусть перемещение происходит из 1 в 2 пространства. Тогда
Пределы интегрирования записаны в символической форме отражающей начальное и конечное положение материальной точки. По определению R второго положения=0, следовательно, U=-R. Перепишем уравнение 13:
(17) |
(18) |
(19) |
(15) |
(16) |
используя полный дифференциал:
находим, что производная:
Справа стоит работа непотенциальная.
Величина равна суммеT+Uсистемы называется полной механической энергией системы. В общем случае полная механическая энергия не сохраняется, если не потенциальные силы носят характер сил сопротивления зависящих от скорости точек механической системы, то ДИССПАЦИЯ (убыль, рассеяние) механической энергии системы. А упомянутые силы носят название диссипативных сил.
Член стоящий справа в уравнении 19, может быть связан с энергией не только механическим происхождением. Обозначим эту величину через dQ, тогда получим уравнение баланса (сохранения) энергии.
(20) |
При такой обобщенной трактовке в уравнение 20, может быть учтена ядерная энергия, проявляющаяся при сильных и слабых взаимодействиях системы. Электромагнитная энергия явл. основной характеристикой:
· электромагнитных полей;
· химическая энергия, имеющая также электромагнитную природу;
· теплота, проявляющаяся как энергия беспорядочных структурных состояний.
Если ΔQ=0, то для полной механической энергии Е(эпсилон):
(21) |
Если отсутствуют силы непотенциального происхождения.