Метод Жордана - Гаусса

Метод Жордана-Гаусса опирается на следующее свойство систем уравнений: если к какому-либо уравнению системы прибавить любое другое уравнение системы, умноженное на некоторое число, то получится система, равносильная исходной системе уравнений. Если такое преобразование применить к системе несколько раз, то вновь полученная система уравнений также будет равносильна исходной системе.

С помощью элементарных преобразований исключим переменную из всех уравнений, начиная со второго; затем исключим переменную из всех уравнений, начиная с третьего, и т.д. Этот процесс называется прямым ходом и продолжается до тех пор, пока система уравнений не приобретет ступенчатого или треугольного вида. Если система совместна, то выполняется обратный ход − нахождение решений.

Алгоритм метода рассмотрим на конкретных примерах.

Случай 1.Решить систему уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы

и выполним элементарные преобразования ее строк. Для этого умножим первую строку на (−1) и прибавим ко второй строке; затем умножим первую строку на (−2) и прибавим к третьей строке. В результате мы исключим переменную из всех уравнений, кроме первого. Получим

~ .

Исключим переменную из третьего уравнения. Умножим вторую строку полученной матрицы на (−3) и прибавим к третьей строке:

~

Прямой ход закончен. . Так как , то система уравнений совместна. Ранг матрицы системы , поэтому система имеет единственное решение.

Выполним обратный ход:

~ ~ .

Последней матрице соответствует система уравнений

Таким образом, (1; 3;−1) − единственное решение системы уравнений.

 

Случай 2. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк как в примере 1.

~ ~

A ~ , A₁ ~ .

. Итак, , значит, данная система уравнений несовместна.

Случай 3. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования строк как в примере 1.

~ ~ .

Система уравнений совместна, так как =2. Так как , то система неопределенная. Определитель, составленный из коэффициентов при переменных и ,

.

Поэтому переменные х₁ и х₂ будем считать основными, или базисными, а х₃ и х₄ − свободными.

Выполним обратный ход:

~

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице:

или

Выражение основных переменных через свободные называется общим решением системы уравнений. Придавая свободным переменным произвольные числовые значения, получим частное решение системы уравнений.

Система имеет бесконечное множество решений

.

Выводы:

Если , то система уравнений несовместна.

Если , то система уравнений совместна.

Если , то система уравнений имеет единственное решение.

Если , тосистема уравнений имеет бесконечное множество

решений.