Ранг матрицы
Метод Жордана - Гаусса
Лекция 3. Критерий совместности системы уравнений.
Определение 1. Минором порядка k матрицы A размера m×n называется определитель квадратной матрицы порядка k, получаемой из матрицы A вычеркиванием каких-либо ее строк и столбцов.
Пример 1.Найдем миноры второго порядка для матрицы
.
Для этого достаточно вычеркнуть один столбец. Получим
, , .
Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Из определения ранга матрицы следует:
а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.
;
б) только в том случае, если все элементы матрицы равны 0.
Пример 2.Найдемранг матрицы .
Среди миноров второго порядка есть как равные нулю, так и отличные от нуля (не будем вычислять все), например,
, , , .
Зато все миноры третьего порядка равны нулю (вторая и третья строки пропорциональны):
, , , .
Таким образом, наибольший порядок отличных от нуля миноров этой
матрицы равен 2. Значит, ранг матрицы .
При нахождении ранга матрицы используются матрицы специального вида − ступенчатые. Примерами таких матриц являются матрицы:
, , .
Ступенчатые матрицы отличаются следующими особенностями:
10. ступенчатая матрица не содержит нулевых строк;
20. все ступеньки матрицы имеют в высоту одну строку;
30. элементы матрицы, стоящие под ступеньками, равны нулю;
40. число ступенек равно числу строк матрицы.