Ранг матрицы

Метод Жордана - Гаусса

Лекция 3. Критерий совместности системы уравнений.

Определение 1. Минором порядка k матрицы A размера m×n называется определитель квадратной матрицы порядка k, получаемой из матрицы A вычеркиванием каких-либо ее строк и столбцов.

Пример 1.Найдем миноры второго порядка для матрицы

.

Для этого достаточно вычеркнуть один столбец. Получим

, , .

Определение 2. Рангом матрицы называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из определения ранга матрицы следует:

а) ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

;

б) только в том случае, если все элементы матрицы равны 0.

Пример 2.Найдемранг матрицы .

Среди миноров второго порядка есть как равные нулю, так и отличные от нуля (не будем вычислять все), например,

, , , .

Зато все миноры третьего порядка равны нулю (вторая и третья строки пропорциональны):

, , , .

Таким образом, наибольший порядок отличных от нуля миноров этой

матрицы равен 2. Значит, ранг матрицы .

 

При нахождении ранга матрицы используются матрицы специального вида − ступенчатые. Примерами таких матриц являются матрицы:

, , .

 

Ступенчатые матрицы отличаются следующими особенностями:

 

10. ступенчатая матрица не содержит нулевых строк;

20. все ступеньки матрицы имеют в высоту одну строку;

30. элементы матрицы, стоящие под ступеньками, равны нулю;

40. число ступенек равно числу строк матрицы.