Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

 

 


у

f(x)

 

 

f(x0 +Dx) P

Df

f(x0) M

 

a b x 0 x0 Dx x0 + Dx

 

 

 

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).

 

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

Уравнение касательной к кривой:

 

Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение.