Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Функция называется бесконечно большой при ,если для любого числа M>0 существует число = (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство . Записывают . Коротко:

Функция называется бесконечно большой при ,если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Коротко:

Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.

Бесконечно малая функция:
Функция называется бесконечно малой при ,если : для любого числа >0 найдется число >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0< , выполняется неравенство .

Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Док-во:

 

Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Док-во:

 

Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.

Док-во: