Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Функция называется бесконечно большой при
,если для любого числа M>0 существует число
=
(М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<
, выполняется неравенство
. Записывают
. Коротко:
Функция называется бесконечно большой при
,если для любого числа M>0 найдется такое число N=N (М)>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство
. Коротко:
Всякая бесконечно большая функция в окрестности точки х0 является неограниченной в этой окрестности.
Бесконечно малая функция:
Функция называется бесконечно малой при
,если
: для любого числа
>0 найдется число
>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<
, выполняется неравенство
.
Теорема: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Док-во:
Теорема: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Следствие: так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы вытекает произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие: произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема: частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Док-во:
Теорема: если функция - бесконечно малая, то обратная ей функция – бесконечно большая и наоборот.
Док-во: