Линейные отображения и операторы.

13.1. Преобразование координат вектора при переходе от одного базиса к другому в линейном пространстве. Вернемся к линейным пространствам вообще – произвольным и произвольной (но конечной) размерности. До сих пор мы рассматривали пространства с некоторым фиксированным базисом. В этом базисе каждый вектор имел свои координаты, которые определялись однозначно. Посмотрим, как изменятся координаты вектора, если один базис линейного пространства заменить другим.

Итак, пусть в линейном пространстве зафиксирован базис . Произвольный вектор имеет некоторое разложение по этому базису:

.

Возьмем теперь другой базис . Каждый вектор нового базиса имеет свое разложение по старому базису:

Матрица , составленная из координат нового базиса в старом базисе, называется матрицей перехода:

.

Заметим, что –й столбец матрицы перехода – это столбец координат -го вектора нового базиса в старом базисе.

Предложение.Матрица перехода от одного базиса к другому невырождена, т.е. .

Доказательство предложения следует из того, что столбцы этой матрицы линейно независимы, поскольку являются координатами векторов нового базиса в старом базисе.

Пусть в новом базисе вектор имеет другие координаты:

.

Посмотрим, как связаны координаты в новом и старом базисах.

Так как координаты вектора определены однозначно, то:

Эти равенства можно записать в матричном виде:

,

или , где - это столбец координат вектора в старом базисе, а - столбец координат этого же вектора в новом базисе. Эту же формулу можно записать в виде , выразив новые координаты вектора через старые.

 

13.2. Линейные отображения.Пусть и - два линейных пространства, вообще говоря, различных (но оба пространства должны быть вещественными или оба комплексными). Назовем отображением линейного пространства в пространство закон, по которому каждому вектору из пространства ставится в соответствие единственный вектор из пространства . Кратко мы это будем записывать . Образ вектора при отображении будем обозначать .

Определение. Отображение называется линейным, если для любых векторов и любых чисел выполняется равенство .

Следует обратить внимание на то, что знак «+» в левой и правой частях равенства обозначает, вообще говоря, разные операции, поскольку и - различные пространства. То же самое относится и к операции умножения на число.

Очевидно, что любое линейное отображение переводит нулевой вектор пространства в нулевой вектор пространства .

Если , то линейное отображение называют линейным преобразованием, или линейным оператором.

Приведем некоторые примеры линейных отображений.

1). Пусть - линейное пространство и пусть - некоторое число (вещественное или комплексное в зависимости от того, каким является пространство ). Поставим каждому вектору из пространства в соответствие вектор . Получившееся отображение является линейным отображением , которое называется гомотетией.

2). Пусть - некоторое линейное пространство размерности . Выберем в нем базис. Сопоставим каждому вектору столбец его координат. Это соответствие является линейным отображением пространства в арифметическое линейное пространство Rⁿ.

Если же сопоставить каждому вектору его первую координату, то мы получим линейное отображение R.

3). Зафиксируем матрицу размера х. Возьмем арифметическое линейное пространство столбцов Rⁿ. Каждому элементу этого пространства поставим в соответствие столбец . Высота получившегося столбца равна . Мы получили линейное отображение из Rⁿ в R^m.

4). Пусть - линейное пространство многочленов одной переменной . Каждому многочлену поставим в соответствие его производную по переменной . Поскольку производная многочлена является многочленом, мы получим линейное отображение этого пространства на себя.

Пусть - линейное отображение.

Определение. Множество образов всех векторов называется образом линейного отображения .

Обозначение: .

Определение.Множество векторов , для которых , называется ядром отображения .

Обозначение: .

Предложение.Ядро линейного отображения является подпространством в . Образ линейного отображения является подпространством в .

Доказательство. 1). Ядро линейного отображения не пусто: оно всегда содержит нулевой вектор. Если , т.е. , то в силу линейности отображения для любых чисел .

2). Нулевой вектор пространства принадлежит , так как является образом нулевого вектора. Далее, если , т.е. существуют векторы такие, что , то .

Предложение доказано.

Задача.В примерах 1)-4) найти ядро и образ каждого отображения.

 

13.3. Координатная запись линейных отображений.Пусть - линейное отображение. Зафиксируем базис в пространстве и базис в пространстве . Пусть - произвольный вектор, который в базисе имеет разложение , и пусть его образ имеет в пространстве разложение . В силу линейности отображения

.

Получается, что образ вектора при линейном отображении может быть найден по координатам этого вектора, если известны образы базисных векторов.

Каждый из векторов может быть разложен по базису :

Тогда

Поскольку координаты вектора определены однозначно, имеем:

Эти равенства можно записать в матричном виде:

. (*)

Матрицу размера хназовем матрицей линейного отображения в паре базисов и . Чтобы различить отображение и его матрицу в некотором базисе, будем отображение обозначать письменной латинской буквой, а его матрицу – печатной: отображение : , оно имеет матрицу в данном зафиксированном базисе. Образ любого вектора можно найти с помощью этой матрицы, умножив ее слева на столбец координат вектора.

Заметим, что для любой матрицы размера хсуществует линейное отображение, такое, что эта матрица является матрицей этого отображения в данной паре базисов.

Рассмотрим отдельно случай, когда линейное отображение является линейным оператором, действующим на -мерном пространстве . Зафиксируем базис в пространстве . Тогда матрица линейного оператора является квадратной и можно говорить об определителе этой матрицы. Заметим, что если , то . Это следует из того, что система линейных уравнений имеет единственное нулевое решение. Если же , то эта система имеет ненулевое решение, и в этом случае ядро оператора нетривиально.

Задача.Пусть - линейное пространство многочленов степени не выше . Очевидно, размерность этого пространства равна . Пусть - линейный оператор , сопоставляющий каждому многочлену его производную. Выберем в качестве базиса одночлены . Найдите матрицу оператора в этом базисе.

 

13.4. Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов.Посмотрим, как изменится матрица линейного отображения, если в пространствах и перейти к новым базисам. Пусть и - новые базисы. Обозначим через матрицу перехода от к , через - матрицу перехода от к . Тогда:

, .

Подставим в равенство (*):

.

Отсюда

.

Значит, при изменении базисов матрица отображения преобразуется в матрицу .

В случае, когда линейное отображение является линейным оператором, вместо пары базисов мы имеем один базис в пространстве . Тогда при замене этого базиса матрица оператора преобразуется по формуле .

Предложение.Определитель матрицы линейного оператора инвариантен, т.е. не меняется при переходе от одного базиса к другому.

Доказательство. Воспользуемся тем, что определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Поскольку определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса, то можно говорить об определителе линейного оператора. Будем называть линейный оператор вырожденным, если его определитель равен нулю, и невырожденным в противном случае.

 

13.5. Операции над линейными отображениями.Пусть и - два линейных отображения. Назовем суммой этих отображений отображение , определяемое равенством . Для краткости будем

писать . Легко проверить, что отображение является линейным. Матрица этого отображения равна сумме матриц и .

Можно определить произведение линейного отображения на число как отображение , определяемое равенством . Отображение является, очевидно, линейным, и его матрица получается из матрицы умножением на число .

Добавим еще, что нулевое отображение является линейным. Все вышесказанное означает, что множество всех линейных отображений образует линейное пространство. Будем обозначать это пространство .

Задача.Найдите размерность пространства и укажите какой-нибудь его базис. (В частности, найдите размерность пространства всех линейных операторов, действующих на -мерном векторном пространстве)

Рассмотрим теперь множество всех линейных операторов , действующих на конечномерном пространстве . Как и для произвольных линейных отображений, для линейных операторов определены операции сложения и умножения на число. Кроме этого, можно ввести операцию умножения линейных операторов.

Определение.Назовем произведением линейных операторов оператор , действие которого определено равенством

Зафиксировав базис в пространстве , мы получим матрицы операторов и . Пусть - столбец координат вектора . Тогда - столбец координат вектора , - столбец вектора . Значит, .

Вообще говоря, умножение операторов, как и умножение матриц, некоммутативно. Но умножение операторов (как и умножение матриц) ассоциативно:

Кроме того, справедлив закон дистрибутивности умножения относительно сложения операторов (и матриц):

Для его доказательства достаточно проверить его выполнение для матриц. Пусть . Тогда, обозначив через матрицу , через матрицу , через матрицу , получим:

.

Выделим в тождественный оператор , действующий по формуле для любого . Он имеет единичную матрицу в любом базисе.

Произведение будем обозначать . Аналогично определим оператор

для всех . Нулевую степень оператора будем считать равной . Тогда для любого многочлена

можно определить

 

 

Заметим, что операторы и коммутируют. Действительно, в силу линейности оператора

 

Отсюда можно сделать вывод, что для любых многочленов и