Метод наименьших квадратов

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значений функции от значений самой функции , будет наименьшей: . Обычно функция является функцией нескольких аргументов , где - неизвестные коэффициенты многочлена. Тогда на основании экспериментальных пар следует определить искомых аргументов аналитической зависимости, которая наилучшим образом описывает массив , т.е. в этом случае метод наименьших квадратов требует выполнения условия:

Применение метода наименьших квадратов при статистической обработке результатов измерений требует учета ряда условий:

§ Значения аргументов известны точно;

§ Результаты измерений независимы и содержат лишь случайные погрешности с одинаковыми дисперсиями;

§ Погрешности измерения имеют нормальное распределение.

Первое условие приближенно выполняется за счет измерения значения с меньшей погрешностью, чем . Наличие только случайных погрешностей обеспечивается исключением из результатов измерений возможных систематических погрешностей.

На основе метода наименьших квадратов можно выполнять аппроксимацию различных аналитических зависимостей, например, выражаемых такими полиномами:

, где a, b, c, d, …, g – константы.

Рассмотрим случай, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида .

При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из экспериментальных координат ( ) найти такие оценки неизвестных постоянных a и b, при которых получится прямая линия, наилучшим образом отражающая истинную анализируемую линию.

График функции – прямая линия с коэффициентом b = tgα, пересекающая ось ординат в точке а.

В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам a и b соответствуетминимальное значение выражения , где - отклонение измеренных значений от вычисленных при .

Эта величина минимальна, если ее частные производные равны нулю:

и = 0.

Решая систему этих двух уравнений, находим формулы для оценок значений a и b:

При этом:

; ; ; ; .

Степень приближения найденных значений a и b к истинным значениям

Этих величин оценивается с помощью их СКО и :

, ,

где - СКО погрешности измерения величины y, значение которой можно получить из паспортных данных на средство измерения или вычислить по формуле:

В качестве примера практического применения метода наименьших квадратов рассмотрим аппроксимацию нагрузочной характеристики одного из устройств преобразовательной техники. Для построения нагрузочной характеристики измеряют 5 ... 10 пар значений выходного напряжения и тока нагрузки . Индекс соответствует текущему измерению (n – число измерений).

В данном примере было снято десять пар (n=10) экспериментальных точек и напряжения и тока соответственно.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
,B	5,35	5,20	5,11	4,92	4,76	4.76	4,50	4,33	4,30	4,04
,mA	105	110	129	148	154	181	190	206	225	241

По полученным экспериментальным результатам построим графическое отображение полученных пар и аппроксимируем их.

Рис. 1 Аппроксимация исследуемой зависимости методом наименьших квадратов

Из расположения экспериментальных точек видно, что аппроксимирующим уравнением может быть полином первой степени типа . Таким образом, на основании массива экспериментальных данных по уравнениям вычисляем коэффициенты a и b:

;

Следовательно, исследуемое устройство имеет нагрузочную характеристику, аналитически описываемую как

ПРИМЕР 2

Требуется установить реальную зависимость сопротивления металлического проводника от температуры по результатам совместных измерений температуры и сопротивления. При этом теоретическая зависимость определена как , где - сопротивление проводника при температуре 0 ⁰С; - температурный коэффициент сопротивления проводника; - температура в ⁰С.