Методические указания к теме 1
7.2.1 Основные теоретические положения начертательной геометрии, применяемые при выполнении задач № 1и 2.
1. Система плоскостей проекций П1, П2, П3 (рис.4)
П1 – горизонтальная плоскость проекций
П2 – фронтальная плоскость проекций
П3– профильная плоскость проекций
(П1┴П2┴ П3)
OX, OY, OZ – оси проекций (линии пересечения плоскостей проекций).
Рисунок 4
2. Точка в системе 2х и 3х плоскостей проекций.
Расположение точки "А" в пространстве:
АI - горизонтальная проекция точки "А",
АII - фронтальная проекция точки "А",
АIII - профильная проекция точки "А", т.е. проекция точки "А" на плоскости проекций П1, П2, П3 - А АI ┴ П1; А АII ┴ П2; А АIII ┴ П3
Проекции точки на плоскостях проекций есть точки пересечения лучей проведенных из заданной точки перпендикулярно плоскостям проекций.
3. Система прямоугольных координат.
Координаты точки определяют ее положение в системе плоскостей пространства, т.е. определяют расстояние ее до плоскостей П1, П2, П3 .
Записываются координаты в определенном порядке.
Например, координаты точки А(x; y; z), где
X – расстояние точки до плоскости П1 – на первом месте;
Y – расстояние точки до плоскости П2 – на втором месте;
Z – расстояние точки до плоскости П3 – на третьем месте.
Рисунок 5
Зная координаты точки можно построить ее чертеж и, наоборот, имея чертеж (эпюр) можно определить ее координаты, т.е. расстояние ее до плоскости проекций.
4. Четверти пространства.
Две плоскости делят пространство на 4 части – четверти. (см. рис.6)
Рисунок 6
Точки в различных четвертях пространства.
Рисунок 7
Следует помнить что:
· Горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда расположены на прямой линии связи перпендикулярной оси ОХ.
· Фронтальная и профильная проекции точки всегда расположены на прямой линии связи перпендикулярной оси ОZ.
· Одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве. Построение проекций отрезка прямой линии сводится к построению проекций ее 2х точек.
5.Различные положения точки в пространстве
На рис.8 представлены различные положения точки в пространстве.
Рисунок 8
Если имеется 3 измерения точки, то такая точка называется точкой общего положения и в этом случае все 3 проекции точки удалены от осей (см. рис.9)
Рисунок 9
Если точка имеет два измерения, то она принадлежит какой-либо плоскости проекций и в этом случае одна проекция совпадает с самой точкой, а две другие лежат на осях (см.рис. 10).
Рисунок 10
Если точка имеет одно измерение, то она принадлежит какой-либо оси проекций, две проекции ее совпадают с самой точкой, а третья проекция находится в начале координат (см.рис.11).
Рисунок 11
6. Определение истинной величины отрезка прямой линии и углов наклона ее к плоскостям проекций.
Рассмотрим чертеж (рис. 12).
Дана плоскость П1 и прямая АВ.
α- угол наклона АВ к плоскости П1.
Из точки А проводим прямую А1 параллельно плоскости П1.
В треугольнике АВ1 –
А1 – параллельна пл. П1 (катет)
В1 – перпендикулярна плоскости П1 (2ой катет)
АВ – гипотенуза.
Рисунок 12 Угол В1А – прямой
Построив истинную величину треугольника АВ1 определим истинную величину гипотенузы АВ и угол α. Для построения треугольника АВ1 необходимо определить величину катетов А1 и В1.
Катет А1=АIВI – как проекция параллельной прямой на плоскости П1.
Катет В1=ВВI-AAI(ΔΖ) как разность расстояний концов отрезка до плоскости П1.
Угол наклона прямой к плоскости определяется как угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
7. Следы прямой.
Следом прямой называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. Прямая может иметь один, два и три следа.
Из чертежа (рис.13) видно, что прямая АВ пересекла плоскость П2 в точке N и плоскость П1 в точке М.
N – фронтальный след прямой АВ.
М–горизонтальный след прямой АВ.
МI – горизонтальная проекция горизонтального следа.
МII – фронтальная проекция горизонтального следа.
NI – горизонтальная проекция
фронтального следа.
NII – фронтальная проекция фронтального следа.
Рисунок 13
7.2.2 Данные для выполнения задач 1и2
Таблица2
| вариант | точки | координаты | Угол наклона прямой к пл. пр. | вариант | точки | координаты | Угол наклона прямой к пл. пр. | ||||
| X | Y | Z | X | Y | Z | ||||||
| А В | П1 (угол φ1) | А В | П1 (угол φ1) | ||||||||
| А В | -30 | -5 -35 | П2 (угол φ2) | А В | П2 (угол φ2) | ||||||
| А В | П2 (угол φ2) | А В | П3 (угол φ3) | ||||||||
| А В | -10 -25 | П1 (угол φ1) | А В | П1 (угол φ1) | |||||||
| А В | -5 -30 | -25 | П2 (угол φ2) | А В | П2 (угол φ2) | ||||||
| А В | П2 (угол φ2) | А В | П1 (угол φ1) | ||||||||
| А В | -10 | П1 (угол φ1) | А В | -10 | П2 (угол φ2) | ||||||
| А В | -35 | П1 (угол φ1) | А В | -35 -8 | -12 -32 | П1 (угол φ1) | |||||
| А В | -20 | -40 | П2 (угол φ2) | А В | -5 -15 | П2 (угол φ2) | |||||
| А В | -10 | П2 (угол φ2) | А В | -22 | П1 (угол φ1) | ||||||
| А В | П1 (угол φ1) | А В | П1 (угол φ1) | ||||||||
| А В | П2 (угол φ2) | А В | -5 | П2 (угол φ2) | |||||||
| А В | -10 -15 | -20 -5 | П1 (угол φ1) | А В | П2 (угол φ2) | ||||||
| А В | -20 | П2 (угол φ2) | А В | -10 | П1 (угол φ1) | ||||||
| А В | -5 -10 | П1 (угол φ1) | А В | П1 (угол φ1) |
7.2.3 Пример решения задач 1и 2
Задача №1.
а) По заданным координатам построить горизонтальную, фронтальную и профильные проекции прямой линии АВ.
Координаты точек А(80;-30;-30); В(30;-10;-15)
Рисунок 14
Решение:
Проводим ось Х, намечаем центр координат точку О. По заданным координатам строим проекции прямой АВ. Начинаем построение с горизонтальной и фронтальной проекции, затем выполняем профильную проекцию.
б) Определить истинную величину отрезка прямой СD и угол наклона ее к плоскости П2.
Решение:
При определении угла наклона прямой к плоскости П2 разность расстояний концов отрезка берется до плоскости П2 (рис.15).
β – угол наклона прямой СD к плоскости П2
.
Рисунок 15
Задача №2:
Построить следы прямой и определить через какие четверти пространства она проходит.
Решение:
По координатам строим чертеж прямой.
1. Строим горизонтальный след прямой АВ, для этого фронтальную проекцию прямой продолжаем до пересечения с осью Х (точка МII).
2. Из точки пересечения опускаем перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой (точка МI). Точка М–является горизонтальным следом прямой АВ
3. 
Для определения фронтального следа прямой АВ необходимо горизонтальную проекцию продолжить до пересечения с осью Х (точка NI). Из точки пересечения восстановить перпендикуляр до пересечения с фронтальной проекцией прямой (точка NII). Точка N – является фронтальным следом прямой АВ.
Рисунок 16
Определение прямой в четвертях пространства проведено по точкам 1 и 2 взятым на прямой. Точка 1 находится в IV четверти, точка 2 во II четверти. Следовательно прямая проходит через IV-I-II четверти пространства.
7.2.4 Основные теоретические положения начертательной геометрии применяемые при выполнении задач 3,4,5
1. Прямая может быть задана либо проекциями двух точек, либо проекциями одной точки и направлением. Прямая в пространстве безгранична. Ограниченную часть прямой называют отрезком.
2. На рис.17 представлены различные положения прямой в пространстве.
Рисунок17
.
Прямой общего положения (см. рис .18)называется прямая не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций.
Графическое свойство: ни одна проекция прямой общего положения не параллельна и не перпендикулярна осям.
Рисунок18
Прямыми уровня называются прямые, параллельные плоскостям проекций. На рис. 19 изображена горизонталь (АВ//П1).
Графические свойства:
а) на одну из плоскостей проекций отрезок прямой проецируется в натуральную величину;
б) на две другие плоскости отрезок прямой проецируется искаженными отрезками, занимающими вертикальное или горизонтальное положение;
в) по чертежу можно определить угол наклона
Рисунок19
Проецирующими прямыми называются прямые, перпендикулярные плоскостям проекций. На рис.20 изображена фронтально-проецирующая прямая.
Графические свойства:
а) прямая проецируется на одну из плоскостей проекций в точку;
б) на две другие плоскости проекций отрезок прямой проецируется в виде горизонтальных или вертикальных отрезков, равных натуральной величине отрезков прямой;
в) прямая составляет с одной из плоскостей проекций угол 90°.
Рисунок 20
3. Взаимное положение двух прямых линий.
Две пространственные линии могут быть взаимно параллельными, пересекаться и скрещиваться.
Параллельные прямые.
а) Если прямые в пространстве параллельны между собой , то их одноименные проекции также параллельны.
АВ // СD, следовательно
АIBI // CIDI и АIIBII // CIIDII
Рисунок 21
б) Если на чертеже одноименные проекции двух прямых параллельны, то в пространстве они могут быть не параллельны.
В этом случае их взаимное положение может быть установлено при помощи профильной плоскости проекций.
Как видим из чертежа (рис. 22) прямые скрещиваются.
Рисунок 22
Прямые пересекаются если они проходят через одну общую точку. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции проходят через одноименные проекции их общей точки (К).
Рисунок 23
Если две прямые не параллельны между собой и не пересекаются, то они скрещиваются.
Определение конкурирующих точек.
Конкурирующие точки рассматриваются относительно плоскости П1 и плоскости П2 раздельно.
а) Относительно плоскости П2 точка 1 расположена ближе к ней, следовательно, она закрывается точкой 2. Точка 2 видимая.
б) Относительно плоскости П1 точка 3 расположена дальше от плоскости П1, следовательно, она закрывает точку 4. Точка 3 видимая.
Рисунок 24
7.2.5 Данные для выполнения задач 3,4,5
Таблица 3
| вариант | точки | координаты | вариант | точки | координаты | ||||
| X | Y | Z | X | Y | Z | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | -10 ? | ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | ||||||
| А В С Д | -10 ? -15 | -35 -5 ? | А В С Д | -36 -5 ? | -16 -30 ? | ||||
| А В С Д | ? | -25 ? -30 -10 | А В С Д | -20 ? | ? -5 | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | ? -15 | ? | А В С Д | ? | -5 ? | ||||
| А В С Д | ? | -10 ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | -15 -15 ? | -25 -15 ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | -15 ? | ? -10 -10 | А В С Д | ? | -5 ? | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | -10 ? | -10 ? | А В С Д | -5 ? -20 -25 | -40 ? -15 -20 | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | ? | ? | ||||
| А В С Д | ? | ? | А В С Д | -5 ? | -5 -35 -20 | ? | |||
| А В С Д | ? | -20 -15 ? | А В С Д | ? | ? |
7.2.6 Пример решения задач 3,4,5
Задача №3 Задача №4 Задача №5
Рисунок 25
7.2.7 Основные теоретические положения начертательной геометрии, применяемые при выполнении задачи №6
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость прямой угол проецируется в прямой.
Пример 1: Пусть угол АВС в пространстве имеет сторону ВС, расположенную параллельно плоскости П1. В этом случае на плоскость П1 угол проецируется в прямой.
В пространстве АВ ┴ ВС и ВС // П1 . Горизонтальная проекция угла СВА=90°
Рисунок 26
Пример 2: Из точки «С» провести прямую перпендикулярную заданной прямой АВ.
Прямая АВ – фронтальная прямая параллельная плоскости П2. Следовательно, прямой угол на плоскость П2 проецируется в прямой.
СIIKII ┴ AIIBII
Рисунок 27
7.2.8 Пример решения задачи №6
Задача: Даны прямая MN, параллельная горизонтальной плоскости проекций, и фронтальная проекция перпендикулярной к ней прямой АВ, Построить прямоугольник ABCD с основанием ВС на прямой, исходя из условия, что его длина равна 1,5 АВ.
Решение: Определяем точку BI и, проведя через не прямую ^ mInI, находим АIBI. Найдя истинную величину АI1 стороны АВ, откладываем на прямой mInI от точки BI отрезок длиной 1,5 АВ. Получив точку С (CI, CII), проводим через эту точку и точку А (АI, АII) прямые параллельные сторонам.
Рисунок 28
7.2.8 Основные теоретические положения начертательной геометрии, применяемые при выполнении задач №7, 8, 9
1. Способы задания плоскости.
Плоскость может быть задана тремя точками не лежащими на одной прямой, точкой и прямой, двумя параллельными прямыми, двумя пересекающимися прямыми, фигурой, следами (см.рис 27).
Рисунок 29
2. Главные линии плоскости. (Горизонталь, фронталь, линия наибольшего ската (наклона) плоскости.)
Горизонталь плоскости – прямая в плоскости параллельная горизонтальной плоскости проекций.
Рисунок 30
Примечание: Фронтальная проекция горизонтали всегда параллельна оси Х (в случае плоскости общего положения).
Фронталь плоскости – прямая в плоскости параллельная фронтальной плоскости проекций.
Рисунок 31
Линия ската плоскости - прямая в плоскости перпендикулярная горизонтали плоскости (см.рис.32).
Следовательно, на чертеже на основании проецирования прямого угла, горизонтальная проекция горизонтали перпендикулярна горизонтальной проекции линии наибольшего ската .
Рисунок 32
На рис.33 приведены примеры построения 23 - линии ската плоскости.
Рисунок 33
3. Точка в плоскости.
Точка принадлежит плоскости, если она находится на прямой, принадлежащей плоскости.
Прямая, проходящая через точку 1 принадлежит плоскости, следовательно, точка К так же принадлежит плоскости (см. рис 34).
Рисунок 34
4. На рис.35 представлены различные положения плоскости в пространстве.
Рисунок35
а) Плоскость уровня - параллельная одной плоскости и перпендикулярная к двум другим плоскостям проекций.
Горизонтальная – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций α // П1 (см. рис.36).
Рисунок 36
Фронтальная – плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций α // П2 (см.рис.37).
Рисунок 37
Профильная – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций α // П3 (см. рис.38).
Рисунок 38
б) Проецирующие плоскости. Плоскость перпендикулярная к одной плоскости проекций.
Горизонтально-проецирующая – плоскость перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекций (см. рис.39).
Рисунок 39
Фронтально-проецирующая – плоскость перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (см. рис.40).
Рисунок 40
Профильно-проецирующая – плоскость перпендикулярная профильной плоскости проекций (см. рис.41).
Рисунок 41
5. Проведение проецирующей плоскости через прямую линию.
Через прямую общего положения можно провести любую проецирующую плоскость (см. рис.42).
Рисунок 42
Но через прямую общего положения нельзя провести ни фронтальную, ни горизонтальную, ни профильную плоскость. Такие плоскости можно проводить лишь через соответственно расположенные прямые. На рис.43 проведены горизонтальные и фронтальные плоскости. 
Рисунок 43