Точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к заданной прямой.

Сопряжение двух прямых. На плос­кости две прямые могут располагаться парал­лельно или под углом друг к другу. На рис. 130 приведены примеры различных сопряжений

двух прямых. Чтобы построить сопряжение двух прямых, необходимо провести окруж­ность, касательную к этим двум прямым.

 

Сопряжение двух параллельных прямых.Чтобы построить сопряжение двух параллельных прямых, необходимо провести дугу окружности, касательной к этим прямым (рис. 131). Радиус этой окружности будет ра­вен половине расстояния между заданными прямыми. Так как точка касания не задана, подобных окружностей можно провести мно­жество. Центры их будут находиться на пря­мой, проведенной параллельно заданным пря­мым на расстоянии, равном половине расстоя­ния между ними. Эта прямая будет линией центров. Точки касания (К и K₁) лежат на перпендикуляре, опущенном из центра каса­тельной окружности на заданные прямые (рис. 131, а). Так как центр касательной ок­ружности не задан, перпендикуляр проводится произвольно. Отрезок КК₁ делят пополам (рис. 131, б), проводят через точки пересечения засечек прямую линию параллельно заданным прямым, на которой будут располагаться цент­ры окружностей, касательных к заданным па­раллельным прямым, т. е. эта линия будет линией центров. Поставив ножку циркуля в точку О, проводят дугу сопряжения (рис. 131, в) от точки К до точки К₁.

Сопряжение двух непараллель­ных прямых. Две непараллельные прямые, располагаются друг к другу под углом, кото­рый может быть прямым, тупым или острым. При выполнении чертежей деталей часто такие углы необходимо скруглить дугой заданного радиуса (см. рис. 130). Скругление углов на чертеже есть не что иное, как сопряжение двух непараллельных прямых дугой окружности заданного радиуса. Для выполнения сопря­жения необходимо найти центр дуги сопря­жения и точки сопряжения. Известно, что если в сопряжении участвует прямая линия, то центр дуги сопряжения находится на линии центров, которая проводится параллельно заданной пря­мой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения. Поскольку угол образован двумя прямыми, то проводят две линии центров параллельно каждой прямой на расстоянии, равном радиусу R дуги сопряжения (рис. 132). Точка их пересечения будет центром дуги со­пряжения.

Для нахождения точек сопряжения из точки О опускают перпендикуляры на заданные пря­мые и получают точки сопряжения К и К₁ (рис. 132). Зная точки и центр сопряжения, из точки О радиусом R проводят дугу сопря­жения. При обводке чертежа следует сначала обвести дугу, а затем касательные прямые.

При построении сопряжения прямого угла упрощается проведение линии центров, так как стороны угла взаимно перпендикулярны. От вершины угла откладывают отрезки, рав­ные радиусу R дуги сопряжения, и через полу­ченные точки К и К₁, которые будут точками касания, проводят две линии центров, парал­лельные сторонам угла. Они будут являться одновременно и линиями центров, и перпен­дикулярами, определяющими точки сопряже­ния К и К₁ (рис. 132, в).

Построение прямых, касательных к окружностям, зависит от условия за­дачи. Может быть задана окружность с точкой касания, или окружность и точка, из которой следует провести касательную прямую, или две окружности, к которым нужно провести каса­тельную прямую. Подход к решению этих за­дач будет различным, но во всех случаях су­ществует одно правило: точка касания должна лежать на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к прямой.

Проведение прямой, касательной к окружности через точку, лежа­щую на окружности, показано на рис. 133. Так как точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окружности к прямой, то касательную прямую следует проводить через заданную точку А перпендикулярно радиусу, соединяющему точ­ку Л с центром окружности О (рис. 133). Это построение аналогично построению перпенди­куляра к прямой через заданную точку, ко­торое можно выполнить с помощью двух угольников (рис. 134).

 

 

Сначала угольник 1 (рис. 134, а) кладется так, чтобы одна его сторона совпала с точками О и А, затем к угольнику 1 прикладывается угольник 2, кото­рый будет направляющим, по которому сдви­гается угольник 1 (рис. 134, б). В новом по­ложении угольник 1 становится направляю­щим, а угольник 2 устанавливается на уголь­ник 1 так, чтобы одна сторона его прямого угла прошла через точку А (рис. 134, в). Через точку А по угольнику 2 проводят прямую, ка­сательную к окружности.

Проведение прямой, касательной к окружности через точку, не лежа­щую на этой окружности. Даны окружность радиусом R и точка А, не лежащая на окруж­ности (рис. 135, а), требуется провести из точ­ки А прямую, касательную к данной окруж­ности в верхней ее части. Для этого необходимо найти точку касания. Точка касания лежит на перпендикуляре, проведенном из центра окруж­ности к касательной прямой. Следовательно, касательная и перпендикуляр образуют прямой угол. Зная, что всякий угол, вписанный в окруж­ность и опирающийся на ее диаметр, является прямым, соединив точки А и О, принимают отрезок АО за диаметр описанной окружности. В пересечении описанной окружности и окруж­ности радиуса R будет находиться вершина прямого угла (точка К). Отрезок АО делят пополам, получают точку О₁ (рис. 135, б). Из центра О₁радиусом, равным отрезку АО₁, проводят окружность, получают точки К и К₁ в пересечении с окружностью радиуса R (рис. 135, в). Так как нужно провести только одну касательную к верхней части окружности, выбирают нужную точку касания. Этой точкой будет точка К. Точку К соединяют с точками А и О, получают прямой угол, который опи­рается на диаметр АО описанной окружности радиусом R₁. Точка К — вершина этого угла (рис. 135, г), отрезки ОК и АК — стороны прямого угла, следовательно, точка К будет искомой точкой касания, а прямая АК — ис­комой карательной.

 

 

 

Проведение прямой, касательной к двум окружностям. Даны две окружности радиусами R и R₁, требуется построить касательную к ним. Возможны два случая касания: внешнее и внутреннее.

При внешнем касании касательная прямая находится с одной стороны от окружностей и не пересекает отрезок, соединяющий центры данных окружностей (рис. 136, а). При внут­реннем касании касательная прямая находится с разных сторон от окружностей и пересекает отрезок, соединяющий центры окружностей (рис. 136, б).

Внешнее касание.Прежде всего необходимо найти точки касания. Известно, что они долж­ны лежать на перпендикулярах, проведенных из центров окружностей (О и О₁) к касатель­ной. Рассмотрим рис. 137, г_% где задача уже решена. Найденные точки касания К₁ и К₂ лежат на перпендикулярах О₁К₁ и О₁К₂. Если перемещать касательную К₁К₂ параллельно самой себе в направлении центров заданных окружностей, то точки К₁ и К₂ будут скользить по перпендикулярам О₁К₁ и ОК₂. В конце кон­цов точка К₂ совпадет с центром О (окруж­ности меньшего радиуса, а точка К₁ — с точ­кой К). Так как касательная К₁К перемеща­лась параллельно самой себе, то отрезки К₂О и К₁К равны, и отрезок К₂0 равен радиусу R. Через точку К из центра О₁ проводим вспомо­гательную окружность радиусом R₂ = R₁ — R. Далее построение будет как в предыдущей задаче — проведение прямой, касательной к окружности, из заданной точки, не лежащей на этой окружности.

 

 

На рис. 137 показало поэтапное построение касательной к двум окружностям. Сначала строят касательную ОК из центра О к окруж­ности радиуса #₂ (рис. 137, а, б, в). Касатель­ную ОК перемещают параллельно самой себе. Точки касательной при этом будут переме­щаться по перпендикулярам к ней. Перпенди­куляр О₁К, по которому перемещается точка К, продолжают до пересечения с заданной окруж­ностью радиуса R₁ получают точку К₁. Из точ­ки О перпендикулярно ОК или параллельно О₁К₁ проводят прямую. Она будет тем перпен­дикуляром, по которому перемещается второй конец касательной ОК. В пересечении этого перпендикуляра с окружностью радиуса R по­лучают вторую точку касания — К₂. Соединив точки К₁ и К₂, получают внешнюю касатель­ную к двум заданным окружностям (рис. 137, г).

Внутреннее касание.Построение внутренней касательной к двум заданным окружностям вы­полняют аналогично построению внешней каса­тельной, только вспомогательную окружность радиуса R₂ проводят из центра О₁ суммой радиусов R₂ = R₁ + R (рис. 138). Центры О и О₁ соединяют прямой и отрезок ОО₁ делят пополам в точке О₂, из точки О₂ проводят окружность радиуса Rз, получают точку К₁. Точку К соединяют с центрами О и О₂. От­резок О₁К пересекает окружность радиуса R₁ в точке К₁. Из центра О параллельна КО₁ проводят прямую до пересечения ее d окружностью радиуса R в точке К₂. Точки К₁ и К₂ будут точками касания, соединим которые получают внутреннюю касательную А двум заданным окружностям (рис. 138, б).

 

 

Втораягруппа задач на сопряжения включает в себя задачи, в которых участвуют только окружности и дуги. Плавный переход одной
окружности в другую может происходить или непосредственным касанием, или через третий элемент — дугу окружности.

Касание двух окружностей может быть внешним (рис. 139, а) или внутренним (рис. 140, а).

 

 

 

 

Внешнее касание.При внешнем касании двух окружностей расстояние между центрами этих окружностей будет равно сумме их ра­диусов (рис. 139).

Например, требуется построить плавный переход от окружности радиуса R к окруж­ности радиуса R₁ с внешней стороны, точка касания не задана. К окружности радиуса R можно построить множество касательных окружностей радиуса R₁ с внешним касанием (рис. 139, б). Их центры (O₁, О₂ и т. д.) будут находиться от центра О на одинаковом расстоянии, т. е. на окружности радиуса R₂ = R – R₁, проведенной из центра О заданной окружности. Точки касания К, К₁ и т. д. лежат на прямых, соединяющих центры сопрягаю­щихся окружностей (рис. 139, б).

На рис. 139, в показано построение внешне­го касания двух окружностей с произвольно выбранной точкой касания К.

Внутреннее касание. При внутреннем каса­нии двух окружностей одна из касательных окружностей находится внутри другой окруж­ности, и расстояние между центрами этих окружностей будет равно разности их радиусов (рис. 140).

Например, требуется построить плавный пе­реход от окружности радиуса R к окружности радиуса R₁ с внутренней стороны, точка ка­сания не задана. К окружности радиуса R можно построить множество касательных ок­ружностей радиуса R₁ с внутренней стороны (рис. 140, б). Их центры (О₁ О₂ и т. д.) будут находиться на одинаковом расстоянии от цент­ра О, т. е. на окружности радиуса R₂= R — R₁, проведенной из центра О (рис. 140, б). Точки касания К, К₁ К₂ и т. д. лежат на прямых, проходящих через центры сопрягающихся ок­ружностей (рис. 140, б).

 

Так как точка касания не задана, на рис. 140, в показано построение внутреннего сопряжения двух окружностей с произвольно выбранной точкой касания.

 

Из рассмотренного выше следует, что если в сопряжении участвуют только окружности, то центр дуги сопряжения лежит на окружности, проведенной, из центра заданной окружности радиусом, равным сумме или разности радиу­сов заданных окружностей, в зависимости от внешнего или внутреннего касания, точка ка­сания лежит на прямой, соединяющей центры сопрягающихся окружностей. Для нахождения точки касания достаточно при внешнем каса­нии только соединить центры (рис. 140, в), а при внутреннем касании — соединить и про­длить эту прямую.

Сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса может быть внешним, внутренним и смешанным.

Внешнее сопряжение двух заданных окруж­ностей дугой заданного радиуса.Если обе сопрягаемые окружности располагаются сна­ружи сопрягающей дуги, то центр этой дуги будет находиться от заданных окружностей на расстоянии, равном сумме радиусов (дуги и соответствующей окружности). Даны две ок­ружности радиусов R и R₁ (рис. 141, а), тре­буется построить внешнее сопряжение дугой радиуса R₂. Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной суммой радиу­сов R + R₂ из центра О. Для окружности ра­диуса R₁ центр дуги сопряжения лежит на линии центров, проведенной радиусом R₄ = R₁ + R₂ из центра О₁. Эти окружности (ли­нии центров) проводят не полностью, а только до взаимного пересечения в точке О₂ (рис. 141, а). Точка О₂ будет центром дуги сопряжения, так как она одновременно при­надлежит двум линиям центров. Точка сопряжения лежит на прямой,

соединяющей центр дуги сопряжения с центром заданной окруж­ности, поэтому, соединяя точку О₂ с точками О и О₁ (рис. 141, б), в пересечении с за­данными окружностями получают точки сопря­жения К и К₁. Из точки О₂ радиусом R₂ от точки К до точки К₁ проводится дуга сопря­жения. Затем от точек К и К₁ обводят дуги радиусами R и R₁ из центров О и О₁ (рис. 141, б).

Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса.Сопрягаемые окруж­ности располагаются внутри сопрягающей дуги, и центр сопрягающей дуги будет нахо­диться от центров заданных окружностей на расстоянии, равном разности радиусов (дуги и соответствующей окружности).

Даны две окружности с радиусами R и R₁ (рис. 142, а), требуется построить внутреннее сопряжение дугой радиуса R₂ в верхней части.

 

 

Известно, что для окружности радиуса R центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R₃ = R₂ - R из центра О заданной окружности. Для окружности ра­диуса R₁ центр дуги сопряжения находится на линии центров, проведенной радиусом R₄= R₂ — R₁ из центра О₁ заданной окружности. В нижней части чертежа из центров О и О₁ радиусами R₃ и R₄ проводят дуги до взаимного пересечения в точке О₂, которая будет центром дуги сопряжения, так как является общей точкой для двух линий центров (рис. 142, а). На­ходят точки сопряжения. Для этого точку О₂ (центр дуги сопряжения) соединяют с точками О и О₁ прямыми линиями, которые продлевают до пересечения с заданными окружностями в точках К и К₁ которые будут точками сопря­жения (рис. 142, б).

Смешанное сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса.В этом случае дуга сопряжения с одной окружностью имеет внеш­нее касание, ас другой — внутреннее. Даны две окружности с радиусами R и R₁. (рис. 143), требуется построить сопряжение дугой радиуса R₂ так, чтобы с окружностью радиуса R было внешнее касание, а с окруж­ностью радиуса R₁ — внутреннее. При внеш­нем касании линия центров - это окружность с радиусом, равным сумме радиусов заданной окружности и дуги сопряжения (R + R2), a при внутреннем — с радиусом, равным разности этих радиусов (R₂— R₁). Поэтому из центра О проводят дугу (линию центров) радиусом R₃, равным R+R₂ (рис. 143), а из центра О₁ — линию центров радиусом R₄, равным R₂ — R₁ (рис. 143). В пересечении линий центров полу­чают точку 0₂ (центр дуги сопряжения). Для нахождения точек сопряжения центр дуги со­пряжения О₂ соединяют с центрами О и О₁ прямыми. Прямую O₂O₁ продолжают. В пере­сечении этих прямых с заданными окружностя­ми получают точки сопряжения Ки К₁. Из точки О₂ дугой радиуса R₂ от точки К до точки К₁ проводят дугу сопряжения (рис. 143).

Если две сопрягающиеся окружности имеют близко расположенные центры, то одна окруж­ность может находиться внутри другой или они будут пересекаться друг с другом (рис. 144). Чтобы построить сопряжение, необходимо найти центр и точки сопряжения. Для этого радиусом R₃ = R+ R₂ проводят дугу из центра О, а радиусом R₄= R₁ — R₂ — дугу линии центров из центра О₁. В пересечении полу­чают точку О₂ — центр дуги сопряжения. Сое­динив точку О₂ с точками О и О₁ прямыми, получают точки сопряжения К и К₁. Из цент­ра О₂ радиусом R₂ проводят дугу сопряжения (рис. 144) от точки К до точки К₁.

Третья группа задачвключает в себя задачи на сопряжения прямой и дуги окружности ду­гой заданного радиуса.

Сопряжение прямой и дуги окру­жности дугой заданного радиуса. Выполняя такое построение, решают как бы две задачи: проведение касательной дуги к прямой и касательной дуги к окружности. Ка­сание в этом случае может быть как внешним, так и внутренним.

Внешнее касание.Заданы прямая и дуга ок­ружности радиуса R, требуется построить со­пряжение дугой радиуса R₁. Так как сопря­гается прямая линия, то центр дуги сопряже­ния находится на прямой, проведенной парал­лельно заданной прямой на расстоянии, рав­ном радиусу сопряжения R₁ (рис. 145). А центр дуги сопряжения при внешнем каса­нии двух окружностей находится на окруж­ности радиуса R₂, равного сумме радиусов R и R₁. В пересечении прямой и окружности (ли­ний центров) получают точку О₁, которая яв­ляется центром дуги сопряжения. Затем на­ходят точки сопряжения. Одна точка сопряже­ния — это точка пересечения заданной прямой с перпендикуляром, опущенным из центра дуги сопряжения О₁ на эту прямую (точка К). Вто­рая точка сопряжения находится на пересече­нии заданной окружности и прямой, соединяющей центр дуги сопряжения с центром этой ок­ружности (точка К₁). Из точки О₁ радиусом R₁ проводят дугу сопряжения от точки К до точки К₁.

Внутреннее касаниестроится аналогично внешнему, только радиус R₂ равен разности R₁-R (рис. 146).