Введение в терминологию теории систем линейных уравнений

Определение

Системой линейных уравнений (СЛУ) с тремя неизвестными называется выражение вида:

где

, , - неизвестные переменные,

,( =1,2,3, =1,2,3) - постоянные коэффициенты при неизвестных , ,

,( =1,2,3) - свободные члены уравнений,

- индекс, указывающий номер уравнения,

- индекс, указывающий номер неизвестной в уравнении.

Определение

Решением СЛУ c тремя неизвестными называется упорядоченная тройка чисел ( , , ), удовлетворяющая всем уравнениям системы.

Т.е., упорядоченный набор чисел ( , , ) называется решением СЛУ, если он обращает в тождества все уравнения системы при подстановке в них = , = , = .

Пример.Для СЛУ

тройка чисел (1,2,3) является решением.

Определение

СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение;

в противном случае, если решений нет, СЛУ называется несовместной.

В примере №1 показана совместная система.

СЛУ может иметь бесконечно много решений.

Пример.Легко проверить что, СЛУ

имеет бесконечно много решений.

Действительно, бесконечно много упорядоченных троек чисел удовлетворяет ей, например: (0,3,3), (1,2,3), (2,1,3), и т.д.

Эти решения получены из общей записи решения СЛУ:

Решение (0,3,3) получается из общего решения, если параметр = 0.

Решение (1,2,3) - при = 1.

Решение (2,1,3) - при = 2, и т.д.

Определение

Совместная СЛУ называется определенной, если она имеет единственное решение; и - неопределенной, если решений бесконечно много.

Пример.Легко проверить, что для СЛУ

не существует ни одного упорядоченного набора чисел, который удовлетворял бы всем уравнениям системы одновременно.

Действительно, умножая левую и правую части второго уравнения на , получим противоречивую систему

В данной системе первые два уравнения не могут одновременно выполняться ни при каких значениях переменных , , .

Определение

Решить СЛУ – это значит найти все ее решения, или доказать, что система решений не имеет.

Метод Гаусса

Пример №4.Найдем решение системы двух линейных уравнений

Определение

Таблица, составленная из коэффициентов СЛУ при неизвестных называется матрицей системы.

Пример. Матрицей рассматриваемой системы является таблица:

Определение

Матрица системы с приписанным к ней столбцом из свободных членов называется расширенной матрицей системы.

Пример. Расширенная матрица данной системы имеет вид:

Запишем процесс нахождения решения системы

через расширенную матрицу.

Первая строка умножается на (–2), складывается со второй строкой, и результат сложения записывается на позиции второй строки.

Далее первая строка умножается на .

Получили, так называемую, ступенчатую матрицу

у которой под главной диагональю содержатся только нулевые элементы. (Для матриц данного размера под главной диагональю – только один элемент, который размещается во второй строке и первом столбце).

На этом процесс преобразования над строками расширенной матрицы заканчивается.

Далее записывается СЛУ, соответствующая полученной ступенчатой матрице (коэффициентами СЛУ являются элементы ступенчатой матрицы):

Определение

Элементарными преобразованиями над уравнениями системы называются следующие процедуры:

- перестановка местами двух уравнений системы;

- умножение некоторого уравнения системы на константу;

- сложение одного уравнения системы, умноженного на константу, с другим уравнением.

Определение

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если их решения совпадают, либо они обе - несовместны.

Утверждение

В результате элементарных преобразований над уравнениями СЛУ получается система, эквивалентная исходной.

Определение

Элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы СЛУ называются следующие процедуры:

- перестановка местами двух строк;

- умножение некоторой строки на константу;

- сложение строки расширенной матрицы, умноженной на константу, с другой строкой.

Утверждение

Применение элементарных преобразований над строками расширенной матрицы СЛУ эквивалентно применению элементарных преобразований над уравнениями данной системы.

Пример. Решить систему методом Гаусса

1 шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки расширенной матрицы, умноженной на (–2), со второй строкой (при этом исключается первая неизвестная во втором уравнении);

2 шаг. Третья строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на (–4), с третьей строкой (исключается первая неизвестная в третьем уравнении);

3 шаг. Вторая строка получена путем умножения ее на ;

4 шаг. Третья строка получена как результат сложения второй строки, умноженной на 6, с третьей строкой (исключается вторая неизвестная в третьем уравнении);

5 шаг. Третья строка получена умножением ее на .

Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду (под главной диагональю - нули). На этом процесс элементарных преобразований над строками расширенной матрицы заканчивается.

Далее записываем СЛУ, соответствующую полученной ступенчатой матрице, и являющуюся эквивалентной исходной системе.

Ответ: (1,2,3) – решение единственное.

Так как расширенная матрица приведена к треугольному ступенчатому виду, все переменные определяются однозначно, поэтому система имеет единственное решение.

Пример. Решить систему методом Гаусса

1 шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на (–2), со второй строкой (исключаются первая и вторая неизвестные во втором уравнении);

2 шаг. Третья строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на (–1), с третьей строкой (исключаются первая и вторая неизвестная в третьем уравнении);

3 шаг. Третья строка получена как результат сложения второй строки, умноженной на (-1), с третьей строкой (исключается третья строка);

Ответ: , .

Расширенная матрица приведена к трапецевидному ступенчатому виду, поэтому система имеет бесконечно много решений. Каждому значению параметра соответствует некоторое частное решение.

Например, значению параметра =0 соответствует решение (0,3,3).

Пример. Решить систему методом Гаусса

1 шаг. Вторая строка получена как результат сложения первой строки, умноженной на (–2), со второй строкой.

Полученной второй строке расширенной матрицы соответствует противоречивое выражение:

которое не выполняется ни при каких значениях неизвестных переменных, поэтому система не совместна (решений нет).

Исследование решений СЛУ с помощью метода Гаусса

1. Если расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к треугольному виду, тогда – система имеет единственное решение.

2. Если расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований над строками приводится к трапецевидному виду, тогда – система имеет бесконечное множество решение.

3. Если, в ходе элементарных преобразований над строками расширенной матрицы, образуется строка вида: ( 0 0 0 | b), b 0, тогда – система решений не имеет.