Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.
(25.1)
где v – объем области V.
Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах основано на понятии правильной пространственной области. Область V называют правильной в направлении оси Oz, если:
1) всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку пространственной области V параллельно оси Oz, пересекает только один раз (только одну) «поверхность входа» и только один раз (только одну) «поверхность выхода»;
2) проекция D пространственной области V на плоскость xOy является правильной плоской областью в направлении оси Ox или Oy.
Пусть область V является правильной в направлении оси Oz, ограниченной снизу поверхностью 
а сверху – поверхностью 
(рис. 25.1). Пусть она проектируется на область 
элементарную в направлении оси Oy, и снизу ее ограничивает кривая 
а сверху – кривая 
(рис. 25.2).
| | |
Тогда справедлива следующая формула:
(25.2)
причем интеграл в правой части равенства называется повторныминтегралом от функции f(x; y; z) по области V с внешним интегрированием по x, а 
– внутренним интегралом по переменной z.
Аналогично рассматривают пространственные области, правильные в направлении оси Ox или Oy, и применяют соответствующие формулы перехода к повторным интегралам.
Если область интегрирования V не подпадает под эти случаи, необходимо произвести разбиение этой области V на конечное число правильных областей и воспользоваться свойством аддитивности.