Приклад розв’язання задачі

Дано:

m₁ = 100 г = 0,1 кг

m₂ = 700 г = 0,7 кг

m = 300 г = 0,3 кг

d = 30 мм = 30×10^{-3 м}

H = 0,2 м

Знайти:

1. Сили реакції шнура F₁ і F₂ .

2. Лінійне прискорення тягарів а.

3. Кутове прискорення блоку e.

4. Час, протягом якого тягар m₁або m₂впаде на поверхню.

5. Кількість оборотів блоку до падіння тягаря на поверхню.

6. Побудувати графіки залежності від часу лінійної швидкості тягарів v(t), кутової швидкості блоку e(t), кінетичній енергії тягарів E_к1(t) і Ек2(t), потенційної енергії тягарів E_п1(t) і E_п2(t), моменту імпульсу блоку L(t).

Тягарі рухаються прямолінійно і рівноприскорено, блок виконує обертальний прискорений рух. за умовою завдання m₂> m₁, тому тягар m2 опускається, а тягар m₁ піднімається.

2-й закон Ньютона для 1-го тягаря:

(1)

де F₁- сила реакції шнура, прикладена до тягаря m₁, g = 9,8 м/с² - прискорення вільного падіння, а – лінійне прискорення тягаря, m₁g – сила тяжіння, що діє на тягар m₁.

2-й закон Ньютона для 2-го тягаря:

(2)

Рівняння динаміки обертального руху блоку:

, (3)

де M – результуючий момент сил, прикладених до блоку, I – момент інерції блоку, e – кутове прискорення блоку.

Оскільки тягар m₂ опускається, то . Результуючий момент сил, прикладених до блоку, дорівнює

, (4)

де і - сили натягу шнура, прикладені до блоку, - радіус блоку.

Момент інерції блоку (суцільного циліндра) рівний

, (5)

Вважаємо, що шнур не прослизає по блоку. Тоді:

(6)

Згідно третьому закону Ньютона ; . Тому рівняння (4) приймає вигляд:

(7)

Підставивши співвідношення (7), (5) і (6) у формулу (3), отримаємо:

(8)

Рівняння (1), (2) і (8) - це система трьох рівнянь з невідомими величинами: F₁, F₂, а .

Запишемо цю систему в канонічній формі. Всі невідомі величини переносимо в ліву частину рівняння, відомі, – в праву частину рівняння. Якщо в рівнянні відсутня якась невідома величина, то її записуємо з множником «нуль».

Визначник системи рівний:

(9)

Далі по правилах математики знаходимо визначників невідомих величин:

DF₁

DF₂

Dа

Визначаємо сили F₁і F₂і прискорення тягарів а:

(10)

(11)

(12)

Перевірка одиниць вимірювань:

Тут кг - кілограм, м – метр, с - секунда, Н – ньютон.

Залежність швидкості тягарів від часу дається рівнянням:

(13)

Шлях S, пройдений тілами при падінні тягаря m₂ :

(14)

Якщо S = H, то тягар m₂впаде на поверхню. Вважаючи у формулі (14) S = H, знаходимо час падіння t_n :

(15)

Кут повороту радіусу блоку:

Кількість оборотів блоку, вчинених до падіння тягаря на поверхню:

(16)

Кінетична енергія 1-го тягаря:

(17)

Кінетична енергія 2-го тягаря:

(18)

Залежність кутової швидкості блоку від часу:

(19)

Кінетична енергія блоку:

(20)

Потенційна енергія 1-го тягаря:

(21)

Потенційна енергія 2-го тягаря:

, (22)

де ( ) і ( ) - висоти тягарів над поверхнею.

Момент імпульсу блоку:

(23)

Обчислення

1. Визначник системи (формула (9)):

D = кг

2. Сили реакції шнура (формули (10) і (11)):

F₁= Н

F₂ = Н

3. Прискорення тягарів (формула (12)):

а = м/с²

4. Кутове прискорення блоку (формула (6)):

e = рад./с²

5. Момент інерції блоку (формула (5)):

I = кг×м²

6. Час падіння тягаря (формула (15)):

t_п = с

7. Кількість оборотів (формула (16)):

N =

Для побудови графіків проводимо обчислення по формулах (13), (17) - (23) для різних моментів часу в інтервалі від 0 до t_n . Крок за часом вибираємо таким, щоб на графіках було не менше п'яти крапок.

Результати обчислень:

F₁= 1,2 H F₂ = 1,52 H a = 2,178 м/с²

t c	м/с	Ω с^-1	E_к1 Дж	Е_к2 Дж	E_к Дж	Е_п1 Дж	Е_п2 Дж	L
						0,196	0,392
0,05	0,109	7,26	0,0006	0,001	0,0009	0,199	0,387	0,00025
0,1	0,218	14,52	0,002	0,005	0,004	0,207	0,371	0,00049
0,15	0,327	21,78	0,005	0,011	0,008	0,220	0,344	0,00074
0,2	0,436	29,04	0,01	0,019	0,014	0,239	0,307	0,00098
0,25	0,545	36,3	0,015	0,03	0,022	0,263	0,259	0,00123
0,3	0,653	43,56	0,021	0,043	0,032	0,292	0,2	0,00147
0,35	0,762	50,82	0,029	0,058	0,044	0,327	0,131	0,00172
0,4	0,871	58,08	0,038	0,076	0,057	0,367	0,05	0,00196
0,429	0,934	62,29	0,044	0,087	0,065	0,392		0,00210

На підставі табличних даних побудувати графіки залежності v, Ω, E_к1, E_к2, E_к, Е_п1, Е_п2, L від часу t.

З приведених в таблиці даних виходить, що повна механічна енергія системи у відсутності тертя не міняється.

Дійсно, при t=0 повна енергія рівна:

При падінні вантажу (t=0,429 с) повна енергія рівна:

Нижче як приклад показані 3 з потрібних 8 графіків.