Тема 2. Статистическая проверка гипотез
Оценку генерального параметра получают на основе выборочного показателя с учетом ошибки репрезентативности. Ошибка выборки – это разница между значениями показателя, полученного по выборке и генеральным параметром. В другом случае в отношении свойств генеральной совокупности выдвигается некоторая гипотеза о величине средней, дисперсии, характере распределения, форме и тесноте связи между переменными. Проверка гипотезы осуществляется на основе выявления согласованности эмпирических данных с гипотетическими (теоретическими). Если расхождение между сравниваемыми величинами не выходит за пределы случайных ошибок, гипотезу принимают. При этом не делается никаких заключений относительно правильности самой гипотезы, речь идет лишь о согласованности сравниваемых данных. Основой проверки статистических гипотез являются данные случайных выборок. При этом безразлично, оцениваются ли гипотезы в отношении реальной или гипотетической генеральной совокупности. Последнее открывает путь применения этого метода за пределами собственно выборки: при анализе результатов эксперимента данных сплошного наблюдения, но малой численности. В этом случае рекомендуется проверить, не вызвана ли установленная закономерность стечением случайных обстоятельств, насколько она характерна для того комплекса условий, в которых находится изучаемая совокупность.
Статистической гипотезой (обозначается Н) называется произвольное предположение о свойстве генеральной совокупности, которое проверяется, опираясь на данные выборки. Так может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя m в генеральной совокупности равна некоторой величине а (записывается Н: m = а) или о том, что генеральная средняя больше некоторой величины Н : m > в.
Различают простые и сложные гипотезы. Гипотеза называется простой, если она однозначно характеризуется параметром распределения случайной величины. Например, Н: m = а. Гипотеза называется сложной, если она состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез, при этом указывается некоторая область вероятных значений параметра. Например, Н: m > в. Эта гипотеза состоит из множества простых гипотез Н: m = с, где с – любое число большее в.
Гипотезы о параметрах генеральной совокупности называются параметрическими, о распределениях – непараметрическими.
Гипотеза о том, что две совокупности, сравниваемые по одному или нескольким признакам, не отличаются, называется нулевой гипотезой или нуль - гипотезой(обозначается Н0). При этом предполагается, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля носит случайный характер. Например, Н0: m1 = m2 и т.д.
Нулевая гипотеза отвергается тогда, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен. Границей невозможного или маловероятного обычно считают a = 0,05, т.е. 5% или 0,01, 0,001. Если ориентироваться на правило «трех сигм» (оно состоит в следующем: s = 1/6(хmах - хmin), так как в нормальном распределении в размахе вариации «укладывается» 6s (±3s)) , то вероятность ошибки a должна быть равна 0,0027. Однако для этого уровня вероятности ошибки значений критериев редко табулируются: как правило, значения критериев в статистико-математических таблицах рассчитаны для вероятностей ошибки 0,05; 0,01; 0,001.
Статистическим критерием называют правило, устанавливающее условия отклонения проверяемой нулевой гипотезы.
Проверка статистических гипотезсостоит из следующих этапов:
· формулируется в виде статистической гипотезы задача исследования;
· выбирается статистическая характеристика гипотезы;
· выбираются испытуемая и альтернативная гипотезы на основе анализа возможных ошибочных явлений и их последствий;
· определяется область допустимых значений, критическая область, а также критическое значение статистического критерия (t; F; c2) по соответствующей таблице;
· вычисляется фактическое значение статистического критерия;
· проверяется гипотеза на основе сравнения фактического и критического значений критерия, и в зависимости от результатов проверки гипотеза либо отклоняется, либо нет.
При проверке гипотез по одному из критериев возможны 2 ошибочных решения:
1) неправильное отклонение Н0: ошибка 1-го рода;
2) неправильное принятие Н0: ошибка 2-го рода.
В то время, как фактически Н0 верна (1) и Н0 не верна (2), принимают 2 ошибочных решения:
· Н0 отклоняется и принимается альтернативная гипотеза;
· Н0 не отклоняется/
Если, например, установлено, что новое минеральное удобрение лучше, хотя на самом деле его действие не отличается от старого, то это ошибка 1-го рода. Если мы решили, что оба вида удобрения одинаковы, то допущена ошибка 2-го рода.
Вероятности, соответствующие неверным решениям, называется риском 1 и риском 2. Риск 1 равен вероятности ошибки a (уровню значимости), риск 2 равен вероятности ошибки b. Поскольку a всегда больше 0, то всегда есть риск ошибки b. Обычно задают значение a и пытаются сделать возможно b малым. Вероятность 1-b называется мощностью критерия: чем она больше, тем меньше вероятность ошибки 2-го рода.
Альтернативная гипотеза Н1 может быть сформулирована по-разному в зависимости от того, какие отклонения от гипотетической величины нас особенно беспокоят: положительные, отрицательные либо и те, и другие. Соответственно альтернативные гипотезы могут быть записаны как:
Н1: m > а, Н1: m < а, Н1: m ¹ а