Задания для самостоятельной работы.

1. Придумайте для дошкольников задания с геометрическими
фигурами, которые предполагают их объединение, пересечение, до­полнение.

2. Придумайте диалог с дошкольником, раскрывающий существенные свойства понятий:

а) треугольник,

б) квадрат,

в) прямоугольник,

г) четырехугольник,

д) многоугольник.

3. Придумайте диалог с младшим дошкольником на распознавание объемных форм (куба, пирамиды, параллелепипеда, конуса, цилиндра, шара) и раскрытие их свойств.

Лекция 4

ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ

1. Понятие величины. Основные свойства однородных величин.

2. Измерение величины. Численное значение величины.

3. Длина, площадь, масса, время.

4. Зависимости между величинами.

Понятие величины

Величина – одно из основных математических понятий, воз­никшее в древности и в процессе длительного развития подверг­шееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость и многие другие – все это величины.

Величина — это особое свойство реальных объектов или явле­ний. Например, свойство предметов «иметь протяженность» назы­вается «длиной». Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свой­ства конкретного объекта. Величины можно оценивать количест­венно на основе сравнения.

Например, понятие длины возникает:

1) при обозначении свойств класса объектов («многие окружающие нас предметы имеют длину»);

2) при обозначении свойства конкретного объекта из этого
класса («этот стол имеет длину»);

3) при сравнении объектов по этому свойству («длина стола
больше длины парты»).

Однородные величины – величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса.

Разнородные величины выражают различные свойства объ­ектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).

Свойства однородных величин:

1. Однородные величины можно сравнивать.

Для любых величин а и b справедливо только одно из отно­шений: а < b, а > b, а = b.

Например, масса книги больше массы карандаша, а длина ка­рандаша меньше длины комнаты.

2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В
результате сложения и вычитания получается величина того же рода.

Величины, которые можно складывать, называются аддитив­ными. Например, можно складывать длины предметов. В резуль­тате получается длина. Существуют величины, которые не явля­ются аддитивными, например, температура. При соединении воды разной температуры из двух сосудов, получается смесь, темпера­туру которой нельзя определить сложением величин.

Мы будем рассматривать только аддитивные величины.

Пусть: а – длина ткани, b – длина куска, который отрезали, тогда: (а - b) – длина оставшегося куска.

3. Величину можно умножать на действительное число. В
результате получается величина того же рода.

Пример: «Налей в банку 6 стаканов воды».

Если объем воды в стакане – V,то объем воды в банке – 6V.

4.Однородные величины делят. В результате получается не­отрицательное действительное число, его называют отношением величин.

Пример: «Сколько ленточек длиной b, можно получить из ленты длиной а ?» ( х = а : b )

5. Величину можно измерить.

Измерение величины

Сравнивая величины непосредственно мы можем установить их равенство или неравенство. Например, сравнивая полоски по длине наложением или приложением, можно установить, равны они или нет:

- если концы совпадают, то полоски имеют равную длину;

- если левые концы совпадают, а правый конец нижней полоски выступает, то ее длина больше.

Для получения более точного результата сравнения величины измеряют.

Измерение заключается в сравнении данной величины с неко­торой величиной, принятой за единицу.

Измеряя массу арбуза на весах, сравнивают ее с массой гири.

Измеряя длину комнаты шагами, сравнивают ее с длиной шага.

Процесс сравнения зависит от рода величины: длину измеря­ют с помощью линейки, массу — используя весы. По каким бы ни был этот процесс, в результате измерения получается определен­ное число, зависящее от выбранной единицы величины.

Цель измерения – получить численную характеристику дан­ной величины при выбранной единице.

Если дана величина а и выбрана единица величины е, то в ре­зультате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = х • е. Это число х называют численным значе­нием величины а при единице величины е.

Примеры:

1) Масса дыни 3кг.

3кг = 3∙1 кг, где 3 – численное значение массы дыни при единице массы 1кг.

2) Длина отрезка 10см.

10см = 10 • 1см, где 10 – численное значение длины отрезка при единице длины 1см.

Величины, определяемые одним численным значением, назы­ваются скалярными (длина, объем, масса и др.). Существуют еще векторные величины, которые определяются численным значе­нием и направлением (скорость, сила и др.).

Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами – к действиям над числами.

1. Если величины аиb измерены при помощи единицы ве­личины е, то отношения между величинами аиbбудут такими же, как и отношения между их численными значениями (и наобо­рот):

Пусть а = т • е, b = п • е , тогда a=b<= > m = n,

а > b < = > т > п ,

а < b < = > т < п .

Пример: «Масса арбуза 5кг. Масса дыни 3кг. Масса арбуза больше массы дыни, т.к. 5 > 3».

2. Если величины аиbизмерены при помощи единицы вели­чины е, то чтобы найти численное значение суммы (а + b), достаточно сложить численные значения величин а и b.

Пусть а=т • е, b=п • е, с=k • е, тогда а + b=с < = > т + п = k.

Например, для определения массы купленного картофеля, наcыпанного в два мешка, необязательно ссыпать их вместе и взве­шивать, достаточно сложить численные значения массы каждого мешка.

3. Если величины а и b таковы, что b = х • а , где х – положитель-ное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы величины е, то, чтобы найти численное значение величины b при единице е, достаточно число х умножить на численное значение величины а.

Пусть а = т • е, b = х • а , тогда b =(х • т ) • е.

Пример: «Длина голубой полоски 2 дм. Длина желтой в 3 раза больше. Какова длина желтой полоски?»

2дм • 3 = (2 • 1дм) • 3 = (2 • 3) • 1дм = 6 • 1дм = 6дм .

Дошкольники знакомятся с измерением величин сначала с по­мощью условных мерок. В процессе практической деятельности они осознают взаимосвязь величины и ее численного значения, а также численного значения величины от выбранной единицы из­мерения.

Пример:

«Измерь шагами длину дорожки от дома до дерева, а теперь от дерева до забора. Какова длина всей дорожки?».

(Дети складывают величины, пользуясь их численными зна­чениями.)

- Какова длина дорожки, измеренная шагами Маши? (5 ша­гов Маши.)

- Какова длина этой же дорожки, измеренная шагами Коли?
(4 шага Коли.)

- Почему мы измеряли длину одной и той же дорожки, а получили разные результаты?

(Длина дорожки измерена разными шагами. Шаги Коли длин­нее, поэтому их получилось меньше).

Численные значения длины дороги отличаются из-за приме­нения разных единиц измерения.

Потребность в измерении величин возникла в практической деятельности человека в процессе его развития. Результат измере­ния выражается числом и дает возможность глубже осознать суть понятия числа. Сам процесс измерения учит детей логически мыс­лить, формирует практические навыки, обогащает познавательную деятельность. В процессе измерения дети могут получить не толь­ко натуральные числа, но и дроби.