Метод Ньютона-Рафсона

В этом методе решение также находят итеративно, постепенно шаг за шагом уточняя оценку. Метод разработан для решения нелинейных уравнений вида

f(x)=0.

В нашем конкретном случае алгоритм поиска сводится к трем операциям на каждом шаге, которые зависят от постановки задачи (задана S или A) и типа ренты.

Сначала будем считать, что известна наращенная сумма S и найдена какая-то начальная оценка процентной ставки (например, методом проб).

А) Постоянная годовая рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p=1, m=1.

Требуется решить уравнение вида

или

Если ввести обозначение q=1+i и умножить обе части уравнения на –(q-1), то получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

Б) Постоянная p-срочная рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p³1, m=1.

Требуется решить уравнение вида

или .

 

 

Вновь используем обозначение q=1+i и получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

Замечания:

1) Начальную оценку q₀=1+i₀, требующуюся для начала итеративной процедуры следует выбирать такой, чтобы соответствующий ей множитель наращения был как можно ближе к заданному отношению S/R. Это сократит число итераций и обеспечит сходимость алгоритма.

2)Остановка вычислений осуществляется после того как проверка, заключающаяся в сравнении множителя наращения и отношения S/R, свидетельствует об их совпадении с достаточной (наперед заданной) точностью.

 

Теперь будем считать, что известна современная стоимость A и найдена какая-то подходящая начальная оценка процентной ставки.

А) Постоянная годовая рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p=1, m=1.

Требуется решить уравнение вида

или

Здесь также используем обозначение q=1+i, и после умножения обеих частей равенства на (q-1) получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

Б) Постоянная p-срочная рента постнумерандо, проценты начисляются один раз в конце года, p³1, m=1.

Требуется решить уравнение вида

или . .

 

Сделав подстановку q=1+i, получим алгоритм уточнения оценки на каждом шаге k, состоящий из следующих трех операций:

.