Равновесие с учетом сил трения

25.

Центр тяжести криволинейного стержня:

Центр тяжести дуги окружности:

Если известен радиус дуги r и центральный угол 2α, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести C (рис. а) относительно центра дуги O определится формулой: (1)

x_c = (r sin α)/α.

 

Если же задана хорда AB=b дуги, то в формуле (1) можно произвести замену
sin α = b/(2r) и тогда

x_c = b/(2α).

 

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. б):

x_c = OC = 2r/π = d/π.

 

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. в), определяется при помощи формулы:

x_c = (2r sin α)/(3α).

 

Если же задана хорда сектора, то:

x_c = b/(3α).

 

В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. г)

x_c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

 

26.

Равновесие с учетом сил трения

 

При стремлении сдвинуть тело, лежащее на шероховатой поверхности, возникает сила реакции R, которая имеет две составляющие – нормальную N и силу трения F_mp (рисунок 2).

 

В теоретической механике обычно рассматривается только сухое трение между поверхностями, при этом различают трение при покое или равновесии тела и трение скольжения при движении одного тела по поверхности другого с некоторой относительной скоростью.

 

Рисунок 2

 

При покое сила трения зависит только от активных сил и может быть определена (рисунок 2):

F_mp=∑F_iτ. (2)

 

В результате экспериментальных исследований французскими учеными Гийомом Амонтоном и Шарлем Кулоном были установлены законы для сухого трения:

 

1) сила трения находится в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного скольжения тела под действием активных сил. Величина силы трения зависит от активных сил и заключена между нулем и своим максимальным значением, которое достигается в момент выхода тела из положения равновесия:

 

0≤F_mp≤F_mp^max;

 

2) максимальное значение силы трения при прочих равных условиях не зависит от площади контакта трущихся поверхностей и пропорционально нормальной реакции:

F_mp^max=fN [Н],

где f – коэффициент трения, являющийся безразмерной величиной и зависящий от материала и физического состояния трущихся поверхностей.

 

Если твердое тело под действием активных сил находится на шероховатой поверхности в предельном состоянии равновесия (сила трения достигает своего максимального значения), то полная реакция шероховатой поверхности отклонена от нормали к общей касательной плоскости трущихся поверхностей на наибольший угол φ, который называют углом трения (рисунок 3). При этом

 

tgφ=F_mp^max/N=fN/N=f. (2.1)

 

То есть тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

 

Рисунок 3

 

 

Конусом трения называют конус, описанный линией действия полной реакции, построенной на максимальной силе трения, вокруг направления нормальной реакции.

 

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

 

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

 

Вследствие деформации тел их касание происходит вдоль площадки AB, появляется распределенная система сил реакций, которая, согласно основной теореме статики, может быть заменена силой и парой (рисунок 4). Сила раскладывается на две составляющие – нормальную N и силу трения F_mp; пара сил называется моментом сопротивления качению M_C.

 

Рисунок 4

 

При равновесии тела момент сопротивления качению определяется из условий равновесия системы сил. При этом установлено, что момент сопротивления принимает значения от нуля до максимального значения. Максимальное значение момента сопротивления, соответствующее началу качения, определяется равенством

 

M_{C max}=δN [Нм],

 

где δ – коэффициент трения качения, измеряемый в метрах и зависящий от материала контактирующих тел и геометрии зоны контакта.