Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин. Критерий Фишера – Снедекора

(Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормально распределенных совокупностей)

 

Пусть случайные величины Х и Y распределены по нормальному закону. По независимым выборкам, объемы которых равны и , найдены исправленные выборочные дисперсии и . Требуется при заданном уровне значимости a проверить основную гипотезу о равенстве дисперсий случайных величин Х и Y, т.е. ( ). Такая задача возникает при сравнении точности двух приборов или двух методик исследования. Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания. Чем меньше разброс, тем точнее прибор или методика исследования. Для проверки основной гипотезы необходимо сформулировать конкурирующую гипотезу. Рассмотрим два случая.

Случай 1. .

В качестве статистического критерия рассматривается случайная величина , которая распределена по закону Фишера – Снедекорас и степенями свободы. Здесь - наибольшая из исправленных выборочных дисперсий и , - наименьшая из них, - объем выборки с наибольшей выборочной дисперсией, - объем выборки с наименьшей выборочной дисперсией.

Порядок проверки гипотезы :

1) вычисляем наблюдаемое значение критерия по формуле , где , ;

2) по таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора,по заданному уровню значимости a и по числу степеней свободы и находим критическую точку ;

3) если , то основную гипотезу отвергаем в пользу конкурирующей гипотезы . В этом случае говорят, что исправленные выборочные дисперсии и различаются значимо или существенно. Их различие обусловлено действительным различием дисперсий и случайных величин Х и Y. Если - нет оснований отвергнуть гипотезу . В этом случае говорят, что исправленные выборочные дисперсии и различаются незначимо или несущественно. Их различие обусловлено случайностью выборки.

 

Случай 2. Пусть, например, в результате расчетов оказалось, что . Тогда конкурирующую дисперсию можно сформулировать в виде . Проверка гипотезы осуществляется точно также как в случае 1, но для определения критической точки рассматривается правосторонняя критическая область.