Тема: Умножение двоичных знаковых чисел в компьютерных системах

 

При выполнении операции умножения знаковых чисел исходные сомножители могут быть представлены в ПК, ОК или ДК:

 

. (4.34)

 

При данном способе умножения знаковые и числовые разряды обрабатываются отдельно. Для определения знака произведения осуществляют суммирование (по модулю 2) цифр, записанных в знаковых разрядах операндов. Модуль произведения получают, перемножая модули сомножителей в соответствии с одним из рассмотренных ранее алгоритмов:

 

. (4.35)

 

Определение знака произведения показано в табл. 4.5. Где (0) - обозначает (+), а (1) – обозначает (-).

 

Таблица 4.5 – Определение знака произведения

0 0=0

0 1=1

1 0=1

1 1=0

 

Однако в современных компьютерах операнды в памяти обычно хранятся в ДК, что продиктовано, в частности, удобством выполнения операции сложения (учитывая автоматическое формирование знака суммы). Для того, чтобы умножить два числа, представленных в ДК можно использовать следующий прием: перед выполнением операции умножения исходные числа преобразуют в ПК, затем их перемножают, а результат далее переводят в ДК.

Такой прием не является эффективным. Поэтому на практике чаще всего используют специальные алгоритмы умножения чисел в дополнительных кодах. Алгоритмы корректного умножения операндов в ДК можно разделить на две группы:

- алгоритмы первой группы это алгоритмы с обработкой знаковых разрядов отдельно от числовых;

- алгоритмы второй группы это алгоритмы с обработкой знаковых разрядов вместе с числовыми. Т.е., на сумматоре дополнительных кодов в процессе перемножения машинных изображений операндов получают одновременно знаковую и числовую части произведения.

Теорема: произведение дополнительных кодов сомножителей равно дополнительному коду результата только в случае положительных сомножителей. Если хотя бы один сомножитель отрицателен, то произведение чисел на сумматоре дополнительных кодов получается прибавлением поправки ( ) к произведению дополнительных кодов сомножителей. Рассмотрим арифметическое обоснование алгоритмов первой группы при различных вариантах комбинаций знаков операндов. С этой целью у операндов отбрасывается знаковая цифра и выполняется умножение полученных псевдомодулей по одному из известных алгоритмов. Результат такого умножения назовем псевдопроизведением ( ). Обозначим вес знакового разряда сомножителей ( ). Тогда, в соответствии с рассмотренным ранее правилом формирования дополнительного кода, отрицательные сомножители будут представлены в ДК следующим образом:

 

. (4.36)

 

При удалении знакового разряда получаем псевдомодули:

 

. (4.37)

 

Всего возможны четыре варианта сочетания знаков сомножителей:

 

Случай №1. .

. (4.38)

 

В этом случае сразу получено истинное значение положительного произведения в ДК, которое не требует корректирования.

Случай №2. .

 

(4.39)

 

Результат значительно отличается от модуля кода истинного произведения:

 

;

. (4.40)

 

Сомножитель представляет собой (s-1)-разрядный псевдомодуль числа (-X), представленного в ДК. Сомножитель эквивалентен сдвигу на (s-1) разряд влево. Сравнение (Z) и (Z’) показывает, что результат умножения должен быть скорректирован посредством сложения (Z’) с поправкой ( ).

Случай №3. .

 

. (4.41)

 

. (4.42)

 

Случай №4. .

 

. (4.43)

На практике используют упрощенную поправку , поскольку нескорректированный операнд (C) проявит себя в виде (1) в знаковом разряде. Это не имеет значения, поскольку знак (Z) был сформирован отдельно на начальном этапе. Подход к формированию алгоритма умножения состоит в следующем.

1. Получим псевдомодули операндов, отбросив старшие (знаковые) цифры: (0) - в положительном числе, (1) - в отрицательном.

2. Считая разрядную сетку наращиваемой, видим, что операнд в старших разрядах содержит незначащие цифры, тождественно равные знаковой.

3. В таком случае истинные операнды можем считать «удлиненными псевдомодулями», у которых самые левые цифры играют роль знаковых разрядов.

4. Выполняя их умножение по правилам, рассмотренным выше, получаем уже не модуль (Z’), а само псевдопроизведение с некоторыми псевдознаковыми цифрами в двух самых старших разрядах. Указанные цифры относятся к знаковым по расположению, но не имеют смысла таковых.

5. Возникает задача найти истинное значение знаковой цифры числа (Z).

Рассмотрим арифметическое обоснование алгоритмов второй группы при различных вариантах комбинаций знаков операндов, т.е. умножение чисел в ДК с обработкой знаковых разрядов вместе с числовыми в зависимости от сочетания знаков сомножителей. При этом используем предпосылки, приведенные в предыдущем доказательстве. Считаем, что вес знакового разряда равен (A). Тогда вес разряда, следующего за знаковым: .

Случай №1. .

Перемножая машинные представления сомножителей в ДК, получим:

 

. (4.44)

 

Случай №2. .

Учитывая, что разрядность произведения (и псевдопроизведения) составит (2s) - бит, вес разряда, следующего за знаковым разрядом произведения:

 

(4.45)

 

Тогда:

(4.46)

 

Перемножая ДК сомножителей, получим:

 

. (4.47)

 

Истинное значение произведения получается:

 

. (4.48)

 

. (4.49)

 

Случай №3. .

Аналогично предыдущему можно показать, что данному варианту требуется коррекция:

 

. (4.50)

 

Случай №4. .

 

. (4.51)

 

На практике используют упрощенную поправку:

 

. (4.52)

 

При умножении в ДК по любому из вариантов данной группы в процессе прибавления ( ) к (Z’) важно соблюдать соответствие весов разрядов псевдопроизведения и корректирующей поправки (с учетом наличия псевдознака). Старший разряд корректирующей поправки сформирует знаковую цифру. Из рассмотренных ранее вариантов умножения в соответствии с алгоритмами обеих групп, следует, что для коррекции результата умножения ДК операндов необходимо в каждом случае по комбинации знаков определять величину коррекции, а затем выполнять 1-2 шага суммирования. Однако этого можно избежать, если коррекцию совмещать с процессом суммирования частичных произведений. Рассмотренные алгоритмы являются базовыми и реализуют непосредственный способ введения поправок. Более широкое применение на практике получили алгоритмы с косвенным способом введения поправок.

Случай №1. .

По примеру первой и второй групп результат является истинным произведением и корректировка не требуется. Т.е. сформированы истинные модуль и знак.

Случай №2. .

При умножении младшими разрядами вперед получится известный для этого случая модуль псевдопроизведения. Если при умножении на знаковую цифру множителя не прибавлять последнее ЧП к их сумме, а вычесть его, тем самым, (Z’) будет уменьшено на ( ). Кроме того, если для представления последнего ЧП воспользоваться ДК, то при его прибавлении не только будет откорректирована числовая часть произведения, но и сформируется правильный его знак. При этом, последний сдвиг ЧП должен быть арифметическим с учетом отрицательного знака ЧП.

Случай №3 .

Если сдвиг суммы ЧП вправо на (i) разрядов выполнять по правилам сдвига модифицированного ДК, а затем выполнять суммирование ЧП по правилам суммирования модифицированных ДК (с потерей переноса из знакового разряда), то будет получено правильное произведение исходных чисел в ДК, т.е. ( ). Т.о., коррекция не требуется.

Случай №4 .

Коррекция результата выполняется объединением двух предыдущих вариантов, т.е. при умножении на знаковый разряд множителя выполняют вычитание, а суммирование и сдвиг частичных произведений производят с использованием МДК. Таким образом при положительном множителе умножение в ДК можно выполнять по алгоритмам умножения в ПК, если только суммировать ЧП и сдвиг выполнять по правилам сложения и сдвига модифицированного ДК (перенос из ЗР будет игнорироваться). Существует еще один способ умножения знаковых чисел в ДК. Он заключается в том, что отрицательный множитель необходимо преобразовать в положительный. Это выполняется умножением на (-1) множимого и множителя. В итоге, в соответствии с выше приведенной теоремой, умножение выполняется по обычным правилам, а результат не нуждается в корректировке. Общий алгоритм умножения целых двоичных знаковых чисел, представленных в ДК заключается в следующем:

1. Исходное значение суммы ЧП принимается равным (0), (Сч.Т) присваивается значение, равное числу разрядов множителя.

2. Анализируется младшая разрядная цифра множителя. Если она равна (1), то к сумме ЧП прибавляется множимое; если (0) - прибавление не производится. Множимое при этом совмещается с суммой ЧП по старшим разрядам и представлено в исходном коде.

3. Производится арифметический сдвиг суммы ЧП вправо на (1) разряд с учетом флагов переноса (FC) и переполнения (FO). Содержимое (Сч.Т) уменьшается на (1).

4. пп.2-3 последовательно выполняются для всех цифровых разрядов множителя.

5. Если множитель — положительное число, то полученный результат является истинным произведением (Z). Если множитель - отрицательное число, то к полученному результату (Z’) прибавляется множимое с обратным знаком (дополнение), совмещенное по старшим разрядам. Полученная сумма представляет собой истинное произведение (Z). . Рассмотрим примеры вышеописанного алгоритма.

Пример №1. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((+7)∙(+3) = (+21)). Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно: Х = (+7) – множимое, Y = (+3) – множитель, Z = (+21) – произведение. Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением, т.е длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя. Алгоритм умножения приведен в табл. 4.6.

 

Таблица 4.6 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
				множимое
				1Я СЧП
							1ЫЙсдвиг СЧП
				множимое
				2Я СЧП
							2 ОЙсдвиг СЧП
							3 ИЙсдвиг СЧП
							4ЫЙсдвиг СЧП и получили число – (+21)
		СТОП

Пример №2. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((+7)∙(-3) = (-21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (+7) – множимое;

Y = (-3) – множитель;

Z = (-21) – произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя.

Алгоритм умножения приведен в табл. 4.7.

 

Таблица 4.7 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
				множимое
				1Я СЧП
							1ЫЙсдвиг СЧП
							2 ОЙсдвиг СЧП
				множимое
				2Я СЧП
							3 ИЙсдвиг СЧП
				множимое
				3Я СЧП
				4ЫЙсдвиг СЧП и (получили (Z’))
				кор-ция на (ХД)
				число (-21)
		СТОП

 

Пример №3. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((-7)∙(+3) = (-21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (-7) – множимое;

Y = (+3) – множитель;

Z = (-21) – произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя.

Алгоритм умножения приведен в табл. 4.8.

 

Таблица 4.8 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
				множимое
				1Я СЧП
							1ЫЙсдвиг СЧП
				множимое
				2Я СЧП
							2 ОЙсдвиг СЧП
							3 ИЙсдвиг СЧП
				4ЫЙсдвиг СЧП и (получили (Z’))
				кор-ция на (YД)
				число (-21)
		СТОП

 

Пример №4. Необходимо перемножить два знаковых числа:

((-7)∙(-3) = (+21)).

Для удобства возьмем длину разрядной сетки равную четырем битам, а именно:

Х = (-7) – множимое;

Y = (-3) – множитель;

Z = (+21) – произведение.

Если (X) и (Y) равняется четырем битам, то как было отмечено выше (Z) должно быть восьмиразрядным значением.

То есть длина разрядной сетки произведения в два раза больше множимого и множителя. Алгоритм умножения приведен в табл. 4.9.

 

Таблица 4.9 - Алгоритм умножения со сдвигом вправо двоичных знаковых чисел

Регистр (В) множимое X	Регистр (С) множитель Y	Регистр (А) произведение Z	Счетчик тактов (Сч.Т)	Комментарии
				множимое
				1Я СЧП
							1ЫЙсдвиг СЧП
							2 ОЙсдвиг СЧП
				множимое
				2Я СЧП
							3 ИЙсдвиг СЧП
				множимое
				3Я СЧП
	>

---