Расчет гибких нитей

В технике встречается еще один вид растянутых элементов, при определении прочности которых важное значение имеет собственный вес. Это — так называемые гибкие нити. Таким термином обозначаются гибкие элементы в линиях электропередач, в канатных дорогах, в висячих мостах и других сооружениях.

Пусть (рис.2.60) имеется гибкая нить постоянного сечения, нагруженная собственным весом и подвешенная в двух точках, находящихся на разных уровнях. Под действием собственного веса нить провисает по некоторой кривой АОВ.

Горизонтальная проекция расстояния между опорами (точками ее закрепления), обозначаемая , носит название пролета.

Нить имеет постоянное сечение, следовательно, вес ее распределен равномерно по ее длине. Обычно провисание нити невелико по сравнению с ее пролетом, и длина кривой АОВ мало отличается (не более чем на 10%) от длины хорды АВ. В этом случае с достаточной степенью точности можно считать, что вес нити равномерно распределен не по ее длине, а по длине ее проекции на горизонтальную ось, т. е. вдоль пролета l.

 

Рис.2.60

 

Эту категорию гибких нитей мы и рассмотрим. Примем, что интенсивность нагрузки, равномерно распределенной по пролету нити, равна q. Эта нагрузка, имеющая размерность сила/длина, может быть не только собственным весом нити, приходящимся на единицу длины пролета, но и весом льда или любой другой нагрузкой, также равномерно распределенной. Сделанное допущение о законе распределения нагрузки значительно облегчает расчет, но делает его вместе с тем приближенным; если при точном решении (нагрузка распределена вдоль кривой) кривой провисания будет цепная линия, то в приближенном решении кривая провисания оказывается квадратной параболой.

Начало координат выберем в самой низшей точке провисания нити О, положение которой, нам пока неизвестное, очевидно, зависит от величины нагрузки q, от соотношения между длиной нити по кривой и длиной пролета, а также от относительного положения опорных точек. В точке О касательная к кривой провисания нити, очевидно, горизонтальна. По этой касательной направим вправо ось .

Вырежем двумя сечениями — в начале координат и на расстоянии от начала координат (сечение m — n) — часть длины нити. Так как нить предположена гибкой, т. е. способной сопротивляться лишь растяжению, то действие отброшенной части на оставшуюся возможно только в виде силы, направленной по касательной к кривой провисания нити в месте разреза; иное направление этой силы невозможно.

На рис.2.61 представлена вырезанная часть нити с действующими на нее силами. Равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q направлена вертикально вниз. Воздействие левой отброшенной части (горизонтальная сила Н) направлено, ввиду того, что нить работает на растяжение, влево. Действие правой отброшенной части, сила Т, направлено вправо по касательной к кривой провисания нити в этой точке.

Cоставим уравнение равновесия вырезанного участка нити. Возьмем сумму моментов всех сил относительно точки приложения силы Т и приравняем ее нулю. При этом учтем, опираясь на приведенное в начале допущение, что равнодействующая распределенной нагрузки интенсивностью q будет , и что она приложена посредине отрезка . Тогда

Рис.2.61

 

,

откуда

(2.39)

Отсюда следует, что кривая провисания нити является параболой. Когда обе точки подвеса нити находятся на одном уровне, то . Величина в данном случае будет так называемой стрелой провисания. Ее легко определить. Так как в этом случае, ввиду симметрии, низшая точка нити находится посредине пролета, то ; подставляя в уравнение (2.39) значения и получаем:

(2.40)

Из этой формулы находим величину силы Н:

(2.41)

Величина Н называется горизонтальным натяжением нити.

Таким образом, если известны нагрузка q и натяжение H, то по формуле (2.40) найдем стрелу провисания . При заданных и натяжение Н определяется формулой (2.41). Связь этих величин с длиной нити по кривой провисания устанавливается при помощи известной из математики приближенной формулы)

Составим еще одно условие равновесия вырезанной части нити, а именно, приравняем нулю сумму проекций всех сил на ось :

Из этого уравнения найдем силу Т — натяжение в произвольной точке

Откуда следует, что сила Т увеличивается от низшей точки нити к опорам и будет наибольшей в точках подвеса — там, где касательная к кривой провисания нити составляет наибольший угол с горизонталью. При малом провисании нити этот угол не достигает больших значений, поэтому с достаточной для практики степенью точности можно считать, что усилие в нити постоянно и равно ее натяжению Н. На эту величину обычно и ведется расчет прочности нити. Если все же требуется вести расчет на наибольшую силу у точек подвеса, то для симметричной нити ее величину определим следующим путем. Вертикальные составляющие реакций опор равны между собой и равны половине суммарной нагрузки на нить, т. е. . Горизонтальные составляющие равны силе Н, определяемой по формуле (2.41). Полные реакции опор получатся как геометрические суммы этих составляющих:

Условие прочности для гибкой нити, если через F обозначена площадь сечения, имеет вид:

Заменив натяжение Н его значением по формуле (2.41), получим:

Из этой формулы при заданных , , и можно определить необходимую стрелу провисания . Решение при этом упростится, если в включен лишь собственный вес; тогда , где — вес единицы объема материала нити, и

т. е. величина F не войдет в расчет.

Если точки подвеса нити находятся на разных уровнях, то, подставляя в уравнение (2.39) значения и , находим и :

Отсюда из второго выражения определяем натяжение

а деля первое на второе, находим:

или

Имея в виду, что , получаем:

или

Подставив это значение в формулу определенного натяжения Н, окончательно определяем:

(2.42)

Два знака в знаменателе указывают на то, что могут быть две основные формы провисания нити. Первая форма при меньшем значении Н (знак плюс перед вторым корнем) дает нам вершину параболы между опорами нити. При большем натяжении Н (знак минус перед вторым корнем) вершина параболы расположится левее опоры А. Получаем вторую форму кривой. Возможна и третья (промежуточная между двумя основными) форма провисания, соответствующая условию ; тогда начало координат совмещается с точкой А. Та или иная форма будет получена в зависимости от соотношений между длиной нити по кривой провисания АОВ (рис.2.60) и длиной хорды АВ.

Если при подвеске нити на разных уровнях неизвестны стрелы провисания и , но известно натяжение Н, то легко получить значения расстояний а и b и стрел провисания и . Разность h уровней подвески равна:

Подставим в это выражение значения и , и преобразуем его, имея в виду, что :

откуда

а так как то

и

Следует иметь в виду, что при будет иметь место первая форма провисания нити, при — вторая форма провисания и при — третья форма. Подставляя значения и в выражения для стрел провисания и , получаем величины и :

Теперь выясним, что произойдет с симметричной нитью, перекрывающей пролет , если после подвешивания ее при температуре и интенсивности нагрузки температура нити повысится до а нагрузка увеличится до интенсивности (например, из-за ее обледенения). При этом предположим, что в первом состоянии задано или натяжение , или стрела провисания (Зная одну из этих двух величин, всегда можно определить другую.)

При подсчете деформации нити, являющейся по сравнению с длиной нити малой величиной, сделаем два допущения: длина нити равна ее пролету, а натяжение постоянно и равно Н. При пологих нитях эти допущения дают небольшую погрешность.

В таком случае удлинение нити, вызванное увеличением температуры, будет равно

где — коэффициент линейного температурного расширения материала нити.

При повышении температуры нить удлиняется. В связи с этим увеличится ее стрела провисания и, как следствие, уменьшится ее натяжение. С другой стороны, из-за увеличения нагрузки, как видно из формулы (2.41), натяжение увеличится. Допустим, что окончательно натяжение увеличивается. Тогда удлинение нити, вызванное увеличением натяжения, будет, согласно закону Гука, равно:

Если окажется меньше, чем то величина будет отрицательной. При понижении температуры будет отрицательной величина .

Таким образом, длина нити во втором ее состоянии будет равна длине при первом ее состоянии с добавлением тех деформаций, которые произойдут от повышения температуры и натяжения:

Изменение длины нити вызовет изменение и ее стрелы провисания. Вместо , она станет .

Теперь заменим в последнем уравнении и их известными выражениями, а деформации и — также их полученными ранее значениями. Тогда уравнение для S₂ примет следующий вид:

В этом уравнении заменим и их значениями по формуле (2.40):

и

Тогда, после некоторых преобразований, уравнение для расчета натяжения может быть написано в виде:

Определив из этого уравнения натяжение , можно найти по формуле (2.40) и стрелу .

В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию нагрузка не изменяется, а изменяется лишь температура, то в последнем уравнении интенсивность заменяется на . В случае, если при переходе от первого ко второму состоянию не изменяется температура, а изменяется лишь нагрузка, то в этом уравнении средний член в квадратной скобке равен нулю. Полученное уравнение пригодно, конечно, и при понижении температуры и уменьшении нагрузки.

В тех случаях, когда стрела провисания не является малой по сравнению с пролетом, выведенные выше формулы, строго говоря, неприменимы, так как действительная кривая провисания нити, цепная линия, будет уже значительно отличаться от параболы, полученной нами благодаря предположению о равномерном распределении нагрузки по пролету нити, а не по ее длине, как то имеет место в действительности.

Точные подсчеты показывают, что значение погрешности в величине натяжения Н, вызванной этим предположением, таково: при отношении погрешность не превосходит 0,3%, при ошибка составляет уже 1,3%, а при погрешность несколько, превосходит 5%.

 

Вопросы для самопроверки

- Что называется стержнем?

- Какой вид нагружения стержня называются осевым растяжением (сжатием)?

- Как вычисляется значение продольной силы в произвольном поперечном сечении стержня?

- Что такое эпюра продольных сил и как она строится?

- Как распределены нормальные напряжения в поперечных сечениях центрально-растянутого или центрально-сжатого стержня и по какой формуле они определяются?

- Как связаны гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) и закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении растянутого (сжатого) стержня?

- Что называется удлинением стержня (абсолютной продольной деформацией)? Что такое относительная продольная деформация? Каковы размерности абсолютной и относительной продольных деформаций?

- Что называется модулем упругости Е? Как влияет величина Е на деформации стержня?

- Что называется жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии)?

- Относительные деформации и перемещения.

- Что такое жесткость?

- Принципы расчета на жесткость.

- Типы задач при расчетах на жесткость.

- Примеры влияния жёсткости на работоспособность конструкции.

- Сформулируйте закон Гука. Напишите формулы для абсолютной и относительной продольных деформаций стержня.

- Что происходит с поперечными размерами стержня при его растяжении (сжатии)?

- Что такое коэффициент Пуассона? В каких пределах он изменяется?

- На рисунке изображён стержень, находящийся под действием растягивающей силы.

Большие напряжения возникнут в точке

1) C;

2) D?

 

- Выберите формулу закона Гука при растяжении (сжатии)?

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

- Какие внутренние усилия возникают при растяжении (сжатии)?

1) поперечная сила,

2) продольная сила.

 

- Что связывает закон Гука при растяжении (сжатии)?

1) продольную и поперечную силу,

2) напряжение и деформацию.

 

- Что является характеристикой жесткости при растяжении?

1) модуль упругости первого рода,

2) модуль упругости второго рода.

 

- Условие жесткости:

1) рабочее напряжение должно быть меньше временного сопротивления;

2) относительная деформация: линейная , угловая ;

3) относительная линейная и угловая деформации одинаковы численно.

 

- При растяжении (сжатии):

1) ;

2) ;

3) , .

 

- Три вида задач из условия жесткости:

1) определение линейных размеров;

2) проверка на условие жесткости; определение размеров сечения; определение максимально допустимых размеров;

3) определение изменения объема конструкции.

 

- Выбор сечения из условия жесткости

1) сечение должно удовлетворять как условию прочности, так и жесткости;

2) сечение должно удовлетворять только условию прочности;

3) сечение должно удовлетворять только условию жесткости.

 

- При расчетах на жесткость получают:

1) гибкость стержня;

2) твердость материала;

3) линейные и угловые деформации.

 

- Какие напряжения возникают в поперечном сечении при растяжении (сжатии)?

1) сжимающие,

2) касательные,

3) продольные,

4) нормальные,

5) изгибающие.

 

- Как определяются напряжения при осевом растяжении (сжатии)?

1) ;

2) ;

3) ;

4)

 

- Что характеризует жесткость при растяжении (сжатии)?

1) модуль упругости второго рода,

2) модуль упругости первого рода,

3) коэффициент Пуассона.

 

- Какие характеристики связывает закон Гука при растяжении (сжатии)?

1) силу и напряжение,

2) касательное и нормальное напряжение,

3) напряжение и деформацию.

 

-Что связывает поперечную и продольную деформацию при растяжении (сжатии)?

1) модуль упругости,

2) модуль сдвига,

3) коэффициент Пуассона.

 

-Что характеризует произведение ЕА при растяжении (сжатии)?

1) твердость материала,

2) жесткость материала,

3) жесткость стержня.

 

- В каких сочетаниях растянутого бруса возникают наибольшие нормальные, и в каких наибольшие касательные напряжения?

1) Наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Наибольшие касательные возникают в сечениях под углом =45°.

2) Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечениях под углом =45°. Наибольшие касательные напряжения в поперечных сечениях бруса.

3) Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечениях под углом =0°. Наибольшие касательные напряжения возникают под углом =45°.

4) Наибольшие нормальные напряжения возникают в сечениях бруса под углом =90°. Наименьшие касательные напряжения возникают под углом =0°.

 

- Что называется жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии)?

1) Жесткостью называется такое состояние материала, при котором деформации ниже допустимых величин.

2) Отношение называется жесткостью поперечного сечения.

3) Произведение называется жесткостью поперечного сечения.

4) Произведение называется жесткостью поперечного сечения.

 

- Назовите единицы измерения коэффициента Пуассона?

1) Н/м².

2) Па.

3) безразмерная величина.

4) м/Н.

 

- Наибольшее по модулю напряжение равно, полагая

1)

2)

3)

4)

 

 

- Если F = 30 кН, А₁ = 5 см² , l = 0,5 м, Е = 200 ГПа, то удлинение стержня 1 (в мм) составит

1) 0,1

2) 0,2

3) 0,3

4) 0,5

 

- Если F = 250 кН, А = 25 см² , l = 0,5 м, Е = 200 ГПа, а = 0,4 м, то изменение длины среднего участка (в мм) составит

1) 0,2

2) 0,3

3) 0,4

4) 0,5

 

- Стержни кронштейна, изготовленные из одного материала с коэффициентом линейного расширения нагреваются на градусов. При этом вертикальное перемещение узла В составит, полагая .

1)

2)

3)

4)

 

- Ступенчатый брус при нагружении заданными силами укоротится на величину, кратную

1)

2)

3)

4)

- Наибольшее напряжение в конструкции равно, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- Считая перемещение влево положительным и полагая , определите перемещение сечения В

1)

2)

3)

4)

 

- Если предел текучести материала стержней равен , то при нагружении заданной силой F запас прочности конструкции равен, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- При нагружении бруса заданными силами наибольшее по модулю напряжение (в МПа) равно

1) 250

2) 220

3) 200

4) 160

 

- Наибольшее по модулю напряжение в брусе равно, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- Тензометр Т, прикрепленный вдоль оси стержня 1, показывает деформацию = 4·10^-4 . Чему равна величина силы F (в кН), если площадь поперечного сечения стержня А = 10 см² ,и модуль Юнга Е= 200 ГПа?

1) 60

2) 70

3) 80

4) 90

 

- Если F = 320 кН, А = 40 см² , = 240 МПа, то запас прочности бруса по пределу текучести равен

1) 1,5

2) 1,6

3) 2,0

4) 3,0

 

- Если А₁ = 10 см² , А₂ = 16 см² , [ ] = 160 МПа, то грузоподъемность кронштейна G (в кН) равна

1) 160

2) 172

3) 181

4) 190

 

- Если F = 200 кН, = 200 МПа, А₁ = 16 см² , = 340 МПа, А₂ = 10 см², то фактический запас прочности конструкции равен

1) 1,5

2) 1,6

3) 1,7

4) 1,8

 

- При нагружении заданной стержневой системы силой F отношение удлинений стержней 1 и 2 численно равно

1) 2,0

2)

3) 0,5

4)

 

- Деформация, замеренная тензометром Т, равна = 1,5 ·10^-4 . Какова величина силы F (в кН), если ЕА = 200 МН?

1) 60

2) 80

3) 100

4) 120

 

- Считая известными размеры а, l, , площадь поперечного сечения A и модуль Юнга Е, определите монтажное усилие в стержне 2 после сборки системы, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- Для разгрузки вертикального стержня 1 дополнительно установлены стержни 2. Если все три стержня абсолютно одинаковы, то за счет установки наклонных стержней 2 разгрузка стержня 1 (в процентах) составит

1) 23

2) 28

3) 33

4) 43

 

- Жесткий брус ВД подвешивается на трех титановых стержнях, каждый из которых короче проектной длины на 0,1%. Если Е = 100 ГПа, то после сборки системы наибольшее монтажное напряжение составит (в МПа)

1) 20

2) 40

3) 60

4) 80

 

- Заделанный по концам брус подвергается температурному воздействию: часть АС нагревается, а часть СВ охлаждается на градусов. Определите напряжение в брусе, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- Система состоит из трех одинаковых стальных стержней (Е = 200 ГПа, = 12,5·10^-6). На сколько градусов нужно нагреть всю систему, чтобы наибольшее напряжение достигло величины 100 МПа?

1) 40°

2) 50°

3) 60°

4) 80°

 

- При нагреве стержня 3 на градусов во всех стержнях системы возникли усилия. Какой температурный режим нужно создать для стержня 1, чтобы эти усилия исчезли?

1) охладить на

2) нагреть на

 

- Определите наибольшее по модулю напряжение в системе, полагая

1)

2)

3)

4)

 

- Если все стержни системы нагреть на одно и то же число градусов, то при заданных величинах ЕА и усилие в стержне 2 будет равно, полагая

1) 0

2) N₀

3) 1,5N₀

4) 2N₀

 

- Для стержня, изготовленного из хрупкого материала, опасным является участок

1) ОС

2) ВС

3) СД

4) одновременно СВ и СД

 

- Стержни 1 и 2 имеют одинаковую жесткость , причем стержень 1 изготовлен короче проектной длины на величину . После сборки системы в стержне 1 возникнет монтажное усилие, равное

1)

2)

3)

4)

 

- Стальной стержень помещен между двумя медными стержнями. Все три стержня жестко соединены по концам. Если =12,5·10^-6, Е_с = 200 ГПа, = 16,5·10^-6, Е_м = 100 ГПа, то при нагревании системы на 50° в стальном стержне возникнут напряжения, равные (в МПа)

1) 15

2) 20

3) 25

4) 30

 

- Для разгрузки стержня 1 вводится дополнительный стержень 2 (показан пунктиром), совершенно аналогичный стержню 1. В результате напряжение в стержне 1 уменьшится на величину (в процентах)

1) 15

2) 20

3) 25

4) 30

 

- На сколько градусов можно нагреть жестко защемленный по концам медный стержень, не нарушая его прочности, если Е = 100 ГПа, = 16·10^-6, [ ] = 80 МПа

1) 30

2) 40

3) 50

4) 60

 

- При нагружении системы силой F относительная деформация стержня 1, замеренная тензометром, составила величину = 5·10^-4. Если А = 15 см², Е = 200 ГПа, то величина силы равна (в кН)

1) 100

2) 200

3) 300

4) 400