Доверительные вероятности и уровни значимости.

По выборочным характеристикам можно построить интервал, в котором с той или иной вероятностью находится генеральный параметр. Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называют доверительными.

Понятие о доверительных вероятностях вытекает из принципа, что маловероятные события считаются практически невозможными, а события, вероятность которых близка к единице, принимают за почти достоверные. Обычно в качестве доверительных используют вероятности Р₁=0.95, Р₂=0.99, Р₃=0.999. Определенным значениям вероятностей соответствуют уровни значимости, под которыми понимают разность α=1–Р. Вероятности 0.95 соответствует уровень значимости α₁=0.05 (5%), вероятности 0.99 – α₂=0.01 (1%), вероятности 0.999 – α₃=0.001 (0.1%). Это означает, что при оценке генеральных параметров по выборочным показателям существует риск ошибиться в первом случае 1 раз на 20 испытаний, т.е. в 5% случаев; во втором – 1 раз на 100 испытаний, т.е. в 1% случаев; в третьем – 1 раз на 1000 испытаний, т.е. в 0.1% случаев. Таким образом, уровень значимости обозначает вероятность получения случайного отклонения от установленных с определенной вероятностью результатов. Вероятности, принятые как доверительные, определяют доверительный интервал между ними. На них можно основывать оценку той или иной величины и те границы, в которых она может находиться при разных вероятностях.

Для различных вероятностей доверительные интервалы будут следующими:

Р₁=0.95 интервал –1.96σ до +1.96σ (рис. 5)

Р₂=0.99 интервал –2.58σ до +2.58σ

Р₃=0.999 интервал –3.03σ до +3.03σ

Доверительным вероятностям соответствуют следующие величины нормированных отклонений:

вероятности Р₁=0.95 соответствует t₁=1.96σ

вероятности Р₂=0.99 соответствует t₂=2.58σ

вероятности Р₃=0.999 соответствует t₃=3.03σ

Выбор того или иного порога доверительной вероятности осуществляют исходя из важности события. Уровень значимости в таком случае – эта та вероятность, которой решено пренебрегать в данной исследовании или явлении.

 

7. Средняя ошибка (m), или ошибка репрезентативности.

Выборочные характеристика, как правило, не совпадают по абсолютной величине с соответствующими генеральными параметрами. Величину отклонения выборочного показателя от его генерального параметра называют статистической ошибкой, или ошибкой репрезентативности. Статистические ошибки присущи только выборочным характеристикам, они возникают в процессе отбора вариант из генеральной совокупности. Средняя ошибка вычисляется по формуле:

 

(5) ,

где σ – среднее квадратическое отклонение,

n – количество измерений (объем выборки).

 

Выражается в тех же единицах измерения, что и .

Величина средней ошибки обратно пропорциональна численности выборочной совокупности. Чем больше размеры выборки, тем меньше средняя ошибка, а следовательно, меньше расхождение между значениями признаков в выборочных и генеральной совокупностях.

Среднюю ошибку выборки можно использовать для оценки генеральной средней согласно закону нормального распределения. Так, в пределах ±1 находится 68.3% всех выборочных средних арифметических , в пределах ±2 – 95.5% всех выборочных средних , в пределах ±3 – 99.7% всех выборочных средних . Поэтому, зная среднюю арифметическую выборки и среднюю ошибку выборки , можно с определенной степенью вероятности судить о пределах, в которых заключены возможные величины выборочных средних. Средняя арифметическая выборки с учетом средней ошибки записывают с виде ± , либо ±2 , либо ±3 в зависимости от значений лимитов (Х_max и Х_min). Лимиты при нормальной распределении не должны отклоняться за пределы 3 .